В математике , группа Ли разложения используются для анализа структуры групп Ли и связанных с ними объектов, показывая , как они построены из подгрупп . Они являются важными техническими инструментами в теории представлений групп Ли и алгебр Ли ; их также можно использовать для изучения алгебраической топологии таких групп и связанных с ними однородных пространств . Поскольку использование методов групп Ли стало одним из стандартных методов математики двадцатого века, многие явления теперь можно отнести к разложению.
Те же идеи часто применяются к группам Ли, алгебрам Ли, алгебраическим группам и аналогам p-адических чисел , что затрудняет обобщение фактов в единую теорию.
Список разложений
- Разложение Жордана-Шевалье элемента в алгебраической группы как произведение полупростых и унипотентных элементов
- Разложение Брюа G = BWB из полупростой алгебраической группы в двойные смежные классы одного подгруппы Борель можно рассматривать как обобщение принципа Гаусса-Иордан ликвидации , которая в общем пишет матрицу в виде произведения верхней матрицы треугольной с нижним треугольным матрица - но с исключительными случаями. Это связано с клеточным разложением грассманианов Шуберта : см. Группу Вейля для более подробной информации.
- Разложение Картана пишет полупростую вещественная алгебра Ли как сумма собственных подпространств инволюции Картана .
- Разложение Ивасавы G = KAN полупростой группы G как произведение компактных , абелевые и нильпотентные подгруппы обобщающих образом квадрат действительная матрица может быть записана в виде произведения с ортогональной матрицей и верхней треугольной матрицей (вследствие грамотрицательного Шмидта ).
- Разложение Ленглендса Р = MAN записывает параболическую подгруппу P группы Ли как произведение полупростых, абелевых и нильпотентных подгрупп.
- Разложение Леви пишет конечную алгебру Ли как полупрямое произведение нормального решаемого идеала и полупростая подалгебру.
- LU разложение плотного подмножества в общей линейной группе. Его можно рассматривать как частный случай разложения Брюа .
- Разложение Биркгофа , особый случай разложения Брюо для аффинных групп.