В математике разложение Картана - это разложение полупростой группы Ли или алгебры Ли , которое играет важную роль в их теории структуры и теории представлений . Он обобщает полярное разложение или разложение матриц по сингулярным числам . Его история восходит к работам Эли Картана и Вильгельма Киллинга 1880-х годов . [1]
Картановские инволюции на алгебрах Ли
Позволять - вещественная полупростая алгебра Ли и пустьбыть его смертоносной формой . Инволюции наявляется автоморфизмом алгебры Ли из квадрат которого равен единице. Такая инволюция называется инволюцией Картана на если является положительно определенной билинейной формой .
Две инволюции а также считаются эквивалентными, если они отличаются только внутренним автоморфизмом .
Любая вещественная полупростая алгебра Ли имеет инволюцию Картана, и любые две инволюции Картана эквивалентны.
Примеры
- Инволюция Картана на определяется , где обозначает транспонированную матрицу .
- Карта идентичности на инволюция. Это уникальная инволюция Картана тогда и только тогда, когда убийственная форма отрицательно определен или, что то же самое, тогда и только тогда, когда является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли.
- Позволять - комплексификация вещественной полупростой алгебры Ли, то комплексное сопряжение на инволюция на . Это инволюция Картана на если и только если является алгеброй Ли компактной группы Ли.
- Следующие отображения являются инволюциями алгебры Ли из специальной унитарной группы SU (N) :
- Инволюция идентичности , которая в данном случае является единственной инволюцией Картана.
- Комплексное сопряжение , выражаемое как на .
- Если странно, . Инволюции (1), (2) и (3) эквивалентны, но не эквивалентны тождественной инволюции, поскольку.
- Если четный, есть также .
Картановые пары
Позволять инволюция на алгебре Ли . С, линейная карта имеет два собственных значения . Если а также обозначим собственные подпространства, соответствующие +1 и -1 соответственно, то . Сявляется автоморфизмом алгебры Ли, скобка Ли двух ее собственных подпространств содержится в собственном подпространстве, соответствующем произведению их собственных значений. Следует, что
- , , а также .
Таким образом является подалгеброй Ли, а любая подалгебра в коммутативен.
Наоборот, разложение с этими дополнительными свойствами определяет инволюцию на это на а также на .
Такая пара также называется Картана пара из, а также называется симметричной парой . Это понятие пары Картана здесь не следует путать с отдельным понятием, связанным с относительными когомологиями алгебры Ли..
Разложение ассоциированный с инволюции Картана называется разложение Картана из. Особенностью разложения Картана является то, что форма Киллинга отрицательно определена на и положительно определенно на . Более того, а также являются ортогональными дополнениями друг друга относительно формы Киллинга на .
Разложение Картана на уровне группы Ли
Позволять - некомпактная полупростая группа Ли и его алгебра Ли. Позволять инволюция Картана на и разреши - получившаяся пара Картана. Позволятьбыть аналитическая подгруппа в с алгеброй Ли . Потом:
- Существует автоморфизм группы Ли с дифференциалом в тождестве, которое удовлетворяет .
- Подгруппа элементов, фиксируемая является ; в частности, - замкнутая подгруппа.
- Отображение дано является диффеоморфизмом .
- Подгруппа - максимальная компактная подгруппа в .
Автоморфизм также называется глобальной инволюцией Картана , а диффеоморфизмназывается глобальным разложением Картана . Если мы напишем это говорит о том, что карта продукта является диффеоморфизмом, поэтому .
Для общей линейной группы является инволюцией Картана. [ требуется разъяснение ]
Уточнение разложения Картана для симметрических пространств компактного или некомпактного типа утверждает, что максимальные абелевы подалгебры в уникальны с точностью до спряжения . Более того,
где .
Таким образом, в компактном и некомпактном случае из глобального разложения Картана следует
Геометрически образ подгруппы в является вполне геодезическим подмногообразием.
Отношение к полярному разложению
Рассмотреть возможность с инволюцией Картана . [ требуется разъяснение ] Тогда - вещественная алгебра Ли кососимметрических матриц, так что , пока является подпространством симметричных матриц. Таким образом, экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом изна пространство положительно определенных матриц. Вплоть до этого экспоненциального отображения глобальное разложение Картана является полярным разложением матрицы. Полярное разложение обратимой матрицы уникально.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Чистая и прикладная математика, 80 , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, Руководство по ремонту 0514561
- Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4685-1 . ISBN 978-0817646844. Руководство по ремонту 2347309 .
- Кнапп, Энтони В. (2005) [1996]. Басс, Хайман ; Остерле, Джозеф ; Алан, Вайнштейн (ред.). Группы лжи за пределами введения . Успехи в математике. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389 .