Разложение Ивасавы

В математике , то разложение Ивасавы (ака KAN от его выражения) от полупростыми группы Ли обобщается как квадрат действительная матрица может быть записана в виде произведения с ортогональной матрицы и матрицы верхней треугольной ( QR - разложения , вследствие Грама-Шмидта ортогонализация ). Он назван в честь Кенкичи Ивасавы , японского математика , разработавшего этот метод. ^[1]

Определение [ править ]

• G - связная полупростая вещественная группа Ли .
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$является алгеброй Ли группы G
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ является усложнение из .${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$
• θ является картановская инволюции из${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {p}} _ {0}}$соответствующее разложение Картана
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {0}}$ является максимальной абелевой подалгеброй в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$
• Σ - множество ограниченных корней , соответствующих собственным значениям действующего на .${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Σ ⁺ - это выбор положительных корней Σ
• ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$- нильпотентная алгебра Ли, заданная как сумма корневых пространств Σ ⁺
• K , A , N - подгруппы Ли группы G, порожденные и .${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$

Тогда разложение Ивасава из вне${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus {\mathfrak {n}}_{0}}$

а разложение Ивасавы группы G есть

${\displaystyle G=KAN}$

это означает, что существует аналитический диффеоморфизм (но не гомоморфизм групп) от многообразия к группе Ли , посылая .${\displaystyle K\times A\times N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (k,a,n)\mapsto kan}$

Размер из А (или , что эквивалентно в ) равно вещественного ранга в G .${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

Разложения Ивасавы также верны для некоторых несвязных полупростых групп G , где K становится (несвязной) максимальной компактной подгруппой, если центр группы G конечен.

Разложение ограниченного корневого пространства

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {m}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus _{\lambda \in \Sigma }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

где - централизатор в, а - корневое пространство. Число называется кратностью .${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}}$${\displaystyle m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

Примеры [ править ]

Если G = SL _n ( R ), то мы можем взять K как ортогональные матрицы, A как положительные диагональные матрицы с определителем 1 и N как унипотентную группу, состоящую из верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали.

В случае n = 2 разложение Ивасавы группы G = SL (2, R ) осуществляется в терминах

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ {\text{ rotation group, angle}}=\theta \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0{\text{ real number, diagonal, }}\det =1\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} {\text{ upper triangular with diagonals = 1}},\right\}.}$

Для симплектической группы G = Sp (2n , R ) возможное разложение Ивасавы в терминах

${\displaystyle \mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ D{\text{ positive, diagonal}}\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ N{\text{ upper triangular with diagonals = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.}$

Неархимедово разложение Ивасавы [ править ]

Существует аналог приведенного выше разложения Ивасавы для неархимедова поля : в этом случае группа может быть записана как произведение подгруппы верхнетреугольных матриц и (максимальной компактной) подгруппы , где - кольцо целых чисел оф . ^[2]${\displaystyle F}$${\displaystyle GL_{n}(F)}$${\displaystyle GL_{n}(O_{F})}$${\displaystyle O_{F}}$${\displaystyle F}$

См. Также [ править ]

• Разложения группы Ли
• Система корней полупростой алгебры Ли

Ссылки [ править ]

• Феденко А.С.; Штерн, AI (2001) [1994], "Разложение Ивасавы" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения (2-е изд.). ISBN 9780817642594.