Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Ноябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , А унипотентный элемент г из кольца R является одним из таких , что г - 1 является нильпотентным элементом ; другими словами, ( r - 1) n равно нулю для некоторого n .
В частности, квадратная матрица , М , является унипотентна матрицей , тогда и только тогда , когда его характеристический полином , Р ( т ), является степень т - 1. Таким образом , все собственные значениями матриц являются унипотентными 1.
Термин квазиунипотентный означает, что некоторая степень унипотентна, например, для диагонализуемой матрицы с собственными значениями , которые все являются корнями из единицы .
В унипотентной аффинной алгебраической группе все элементы унипотентны (см. Ниже определение унипотентного элемента в такой группе).
Определение [ править ]
Определение с матрицами [ править ]
Рассмотрим группу верхнетреугольных матриц с на диагонали, так что они являются группой матриц [1]
тогда унипотентная группа может быть определена как некоторая подгруппа . Используя теорию схем, группу можно определить как групповую схему
а аффинная групповая схема унипотентна, если она является замкнутой групповой схемой этой схемы.
Определение с теорией колец [ править ]
Элемент x аффинной алгебраической группы унипотентен, если связанный с ним оператор правого сдвига r x на аффинном координатном кольце A [ G ] группы G локально унипотентен как элемент кольца линейного эндоморфизма группы A [ G ] . (Локально унипотентность означает, что ее ограничение на любое конечномерное стабильное подпространство в A [ G ] унипотентно в обычном кольцевом смысле.)
Аффинная алгебраическая группа называется унипотентной, если все ее элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа изоморфна замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и, наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентной группой , хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GL n ( k )).
Например, стандартное представление on со стандартной базой имеет фиксированный вектор .
Определение с теорией представлений [ править ]
Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии, все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно в конечномерном векторном пространстве, то у нее есть ненулевой фиксированный вектор. Фактически последнее свойство характеризует унипотентные группы. [1] В частности, это означает, что нет нетривиальных полупростых представлений .
Примеры [ править ]
U n [ править ]
Конечно, группа матриц унипотентна. Использование нижнего центрального ряда
где
и
есть ассоциированные унипотентные группы. Например, на центральном ряду являются группы матриц
, , , И
даны некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.
G a n [ править ]
Аддитивная группа является унипотентной группой благодаря вложению
Обратите внимание, что умножение матриц дает
следовательно, это групповое вложение. В общем, есть вложение с карты
Используя теорию схем, задается функтором
где
Ядро Фробениуса [ править ]
Рассмотрим функтор в подкатегории , есть подфунктор, где
поэтому он задается ядром эндоморфизма Фробениуса .
Классификация унипотентных групп по характеристике 0 [ править ]
Над характеристикой существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентных алгебр Ли . Напомним, что нильпотентная алгебра Ли - это такая подалгебра , что итерированное сопряженное действие в конечном итоге завершается нулевым отображением. С точки зрения матриц, это означает , что она является подалгеброй из , матриц с для .
Тогда существует эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп [1] стр. 261 . Его можно построить с помощью ряда Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , где для конечномерной нильпотентной алгебры Ли отображение
дает структуру унипотентной алгебраической группы на .
В другом направлении экспоненциальное отображение переводит любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную матрицу. Более того, если U - коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм алгебры Ли группы U в сам U.
Замечания [ править ]
Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любого заданного измерения в принципе могут быть классифицированы, но на практике сложность классификации очень быстро возрастает с увеличением размерности, поэтому люди [ кто? ] склонны сдаваться где-то около измерения 6.
Унипотентный радикал [ править ]
Унипотентный радикал из алгебраической группы G называется множество унипотентных элементов в радикал из G . Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы G , содержащая все другие такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если G редуктивна, то ее радикал - тор.
Разложение алгебраических групп [ править ]
Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия, но утверждение о том, как они разлагаются, зависит от характеристики их базового поля.
Характеристика 0 [ править ]
Над характеристикой есть хорошая теорема о разложении алгебраической группы, связывающая ее структуру со структурой линейной алгебраической группы и абелевого многообразия . Существует краткая точная последовательность групп [2] стр. 8
где - абелево многообразие, имеет мультипликативный тип, смысл и является унипотентной группой.
Характеристика p [ править ]
Когда характеристика базового поля есть, имеется аналогичное утверждение [2] для алгебраической группы : существует наименьшая подгруппа такая, что
- унипотентная группа
- является расширением абелевого многообразия группой мультипликативного типа.
- уникальна ДО соразмерности в и единственна с точностью до изогении .
Разложение Джордана [ править ]
Любой элемент g линейной алгебраической группы над совершенным полем можно однозначно записать как произведение g = g u g s коммутирующих унипотентных и полупростых элементов g u и g s . В случае группы GL n ( C ) это по существу означает, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена с произведением диагональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативной версией матрицы Жордана – Шевалле. разложение .
Существует также вариант разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над совершенным полем является произведением унипотентной группы и полупростой группы.
См. Также [ править ]
- Редуктивная группа
- Унипотентное представительство
- Теория Делиня – Люстига
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Милн, Дж. С. Линейные алгебраические группы (PDF) . С. 252–253, Унипотентные алгебраические группы.
- ^ a b Брион, Мишель (27.09.2016). «Коммутативные алгебраические группы с точностью до изогении». arXiv : 1602.00222 [ math.AG ].
- А. Борель, Линейные алгебраические группы , ISBN 0-387-97370-2
- Борель, Арманд (1956), "Groupes linéaires algébriques", Анналы математики , второй серии Annals математики, 64 (1): 20-82, DOI : 10,2307 / 1969949 , JSTOR 1969949
- Попов, В.Л. (2001) [1994], "унипотентный элемент" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Попов, В.Л. (2001) [1994], "унипотентная группа" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Унипотентная матрица» , Энциклопедия математики , EMS Press