Редуктивная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , А восстановительная группа представляет собой тип линейной алгебраической группы над полем . Одно из определений является то , что связной линейной алгебраической группы G над совершенным полем является восстановительное , если он имеет представление с конечным ядром , которое является прямой суммой из неприводимых представлений . Редуктивные группы включают некоторые из наиболее важных групп в математике, такие как общая линейная группа GL ( n ) обратимых матриц , специальная ортогональная группа SO (n ) и симплектическая группа Sp (2 n ). Простые алгебраические группы и (в более общем смысле) полупростые алгебраические группы редуктивны.

Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одинакова над любым алгебраически замкнутым полем . В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина , как в теории компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли . Редуктивные группы над произвольным полем труднее классифицировать, но для многих полей, таких как действительные числа R или числовое поле , классификация хорошо изучена. Классификация конечных простых групп говорит , что большинство конечных простых групп возникают как группа G ( K ) из к -рациональные точки простой алгебраической группы G над конечным полем k или как второстепенные варианты этой конструкции.

Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучить представления редуктивной группы G над полем k как алгебраической группы, которые являются действиями группы G на k -векторных пространствах. А кроме того , можно исследовать сложные представления группы G ( K ) , когда к есть конечное поле, или Бесконечномерные унитарные представления вещественной восстановительной группы, или автоморфное представление о качестве адельной алгебраической группы . Во всех этих областях используется структурная теория редуктивных групп.

Определения [ править ]

Линейная алгебраическая группа над полем к определяются как гладкая замкнутая подгруппой схема из GL ( п ) над к , для некоторого положительного целого числа п . Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над k является гладкой аффинной групповой схемой над k .

С односторонним радикалом [ править ]

Соединена линейной алгебраической группы над алгебраически замкнутым полем называется полупростом , если каждые гладкие связными решаемая нормальная подгруппа из тривиально. В более общем смысле связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы тривиальна. ^[1] Эта нормальная подгруппа называется унипотентным радикалом и обозначается . (Некоторые авторы не требуют связности редуктивных групп.) Группа над произвольным полем k${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G}$называется полупростом или восстановительным , если изменение базового полупроста или восстановительное, где есть алгебраическое замыкание на к . (Это эквивалентно определению редуктивных групп во введении, когда k совершенно. ^[2] ) Любой тор над k , такой как мультипликативная группа G _m , редуктивен.${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

С теорией представлений [ править ]

Другое эквивалентное определение редуктивной группы - это связная группа, допускающая точное полупростое представление, которое остается полупростым над своим алгебраическим замыканием ^{[3], стр. 383} .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k ^ {al}}$

Простые редуктивные группы [ править ]

Линейная алгебраическая группа G над полем к называется простой (или к - простой ) , если она полупрост, нетривиальная, и каждая гладким связная нормальная подгруппа в G над к тривиальна или равно G . ^[4] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не менее 2 и любого поля k группа SL ( n ) надK является простым, и его центром является групповой схема М п о л -й корнями из единицы.

Центральная изогения редуктивных групп является сюръективным гомоморфизмом с ядром конечной центральной подгруппой схемой. Каждая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Так , например, над любым полем к ,

${\ displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ times SL (n)) / \ mu _ {n}.}$

Немного неудобно, что определение редуктивной группы над полем включает переход к алгебраическому замыканию. Для совершенного поля k этого можно избежать: линейная алгебраическая группа G над k редуктивна тогда и только тогда, когда каждая гладкая связная унипотентная нормальная k -подгруппа группы G тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу , которая является несколько более общей.

Сплит-редуктивные группы [ править ]

Редуктивная группа G над полем k называется расщепляемой, если она содержит расщепляемый максимальный тор T над k (то есть расщепляемый тор в G , замена базы которого на является максимальным тором в ). Это эквивалентно сказать , что T является расщепленный тор в G , что является максимальным среди всех K -tori в G . ^[5] Эти виды групп полезны, потому что их классификация может быть описана с помощью комбинаторных данных, называемых корневыми данными.${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Примеры [ править ]

GL _n и SL _n [ править ]

Основным примером редуктивной группы является общая линейная группа обратимых матриц размера n × n над полем k для натурального числа n . В частности, мультипликативная группа G _m - это группа GL (1), а значит, ее группа G _m ( k ) k -рациональных точек - это группа k * ненулевых элементов k при умножении. Другой редуктивной группой является специальная линейная группа SL ( n ) над полем k${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ , подгруппа матриц с определителем 1. Фактически SL ( n ) является простой алгебраической группой для n не менее 2.

O (n), SO (n) и Sp (n) [ править ]

Важной простой группой является симплектическая группа Sp (2 n ) над полем k , подгруппа в GL (2 n ), сохраняющая невырожденную знакопеременную билинейную форму на векторном пространстве k ^{2 n} . Точно так же ортогональная группа O ( q ) является подгруппой общей линейной группы, сохраняющей невырожденную квадратичную форму q на векторном пространстве над полем k . Алгебраическая группа O ( q ) имеет две компоненты связности , и ееЕдиничная компонента SO ( q ) является редуктивной, на самом деле простой для q размерности n не менее 3. (Для k характеристики 2 и нечетного n групповая схема O ( q ) на самом деле связна, но не является гладкой над k . группу SO ( q ) всегда можно определить как максимальную гладкую связную подгруппу в O ( q ) над k .) Когда k алгебраически замкнуто, любые две (невырожденные) квадратичные формы одной размерности изоморфны, и поэтому разумно позвони в эту группуSO ( п ). Для общего поля k различные квадратичные формы размерности n могут давать неизоморфные простые группы SO ( q ) над k , хотя все они имеют одинаковую замену базы на алгебраическое замыкание .${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Тори [ править ]

Группа и ее произведения называются алгебраическими торами . Они являются примерами редуктивных групп, поскольку они вкладываются через диагональ, и из этого представления их унипотентный радикал тривиален. Например, вставляется с карты${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ times \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {2}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}}$

Не примеры [ править ]

• Любая унипотентная группа не является редуктивной, поскольку ее унипотентный радикал есть сам. Это включает аддитивную группу .${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$
• Группа Борель из имеет нетривиальный унипотентный радикал из верхних треугольных матриц с по диагонали. Это пример нередуктивной группы с не унипотентной.${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle 1}$

Связанная редуктивная группа [ править ]

Обратите внимание, что нормальность унипотентного радикала влечет редуктивность фактор-группы . Например,${\displaystyle R_{u}(G)}$${\displaystyle G/R_{u}(G)}$

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}}$

Другие характеристики редуктивных групп [ править ]

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию , которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. Для компактной группы Ли K с комплексификацией G включение из K в комплексную редуктивную группу G ( C ) является гомотопической эквивалентностью относительно классической топологии на G ( C ). Например, включение унитарной группы U ( n ) в GL ( n, C ) является гомотопической эквивалентностью.

Для редуктивной группы G над полем нулевой характеристики все конечномерные представления G (как алгебраической группы) вполне приводимы , т. Е. Являются прямыми суммами неприводимых представлений. ^[6] Отсюда и название «редуктивный». Заметим, однако, что полная сводимость не выполняется для редуктивных групп с положительной характеристикой (кроме торов). Более подробно: аффинная групповая схема G из конечного типа над полем к называется линейно восстановительной , если его конечномерные представления вполне приводимы. Для k нулевой характеристикиG линейно редуктивна тогда и только тогда, когда единица G ^o группы G редуктивна. ^{[7] Однако} для k характеристики p > 0 Масаёши Нагата показал, что G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда G ^o имеет мультипликативный тип, а G / G ^o имеет порядок, простой с p . ^[8]

Корни [ править ]

Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной корневой системы , как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. Вот как появляются корни редуктивных групп.

Пусть G - расщепляемая редуктивная группа над полем k , и пусть T - расщепляемый максимальный тор в G ; поэтому Т изоморфна ( С _м ) ^п для некоторого п , с п называется ранг из G . Каждое представление группы T (как алгебраической группы) является прямой суммой одномерных представлений. ^[9] вес для G означает класс изоморфизма 1-мерных представлений Т или , что эквивалентно гомоморфизм Т → G_м . Веса образуют группу X ( T ) при тензорном произведении представлений, с Й ( Т ) изоморфна произведению п экземпляров целых чисел , Z ^н .

Присоединенное представление является действием G сопряжениями на ее алгебре Ли . Корень из G означает ненулевой вес , что происходит в действии T ⊂ G на . Подпространство , соответствующие каждый корень 1-мерное, а подпространство фиксируется Т в точности алгебры Ли из Т . ^[10] Следовательно, алгебра Ли группы G распадается на одномерные подпространства, индексированные множеством корней Φ:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, когда G - группа GL ( n ), ее алгебра Ли - это векторное пространство всех матриц размера n × n над k . Пусть T подгруппа диагональных матриц в G . Тогда разложение корневого пространства выражается как прямая сумма диагональных матриц и одномерных подпространств, индексированных недиагональными позициями ( i , j ). Записывая L ₁ , ..., L _n для стандартного базиса решетки весов X ( T ) ≅ Z ⁿ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$, корнями являются элементы L _i - L _j для всех i ≠ j от 1 до n .

Корни полупростой группы образуют корневую систему ; это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. В более общем смысле, корни редуктивной группы образуют корневую систему координат , небольшую вариацию. ^[11] группа Вейля редуктивной группы G означает фактор - группа из нормализатора максимального тора на торе, W = N _G ( T ) / T . Группа Вейля на самом деле является конечной группой, порожденной отражениями. Например, для группы GL ( n ) (или SL ( n)) группа Вейля - это симметрическая группа S _n .

Существует конечное число борелевских подгрупп, содержащих данный максимальный тор, и они просто транзитивно переставляются группой Вейля (действуя сопряжением ). ^[12] Выбор борелевской подгруппы определяет набор положительных корней Φ ⁺ ⊂ Φ, обладающих тем свойством, что Φ является несвязным объединением Φ ⁺ и −Φ ⁺ . В явном виде алгебра Ли B является прямой суммой алгебры Ли T и положительных корневых пространств:

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, если B - борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц в GL ( n ), то это очевидное разложение подпространства верхнетреугольных матриц в . Положительные корни равны L _i - L _j для 1 ≤ i < j ≤ n .${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Простой корень означает положительный корень , который не является суммой двух других положительных корней. Напишите Δ для обозначения множества простых корней. Число простых корней r равно рангу коммутатора группы G , называемому полупростым рангом группы G (который является просто рангом группы G, если G полупроста). Например, простые корни для GL ( n ) (или SL ( n )) - это L _i - L _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n - 1.

Системы корней классифицируются соответствующей диаграммой Дынкина , которая представляет собой конечный граф (с некоторыми направленными или кратными ребрами). Множество вершин диаграммы Дынкина - это множество простых корней. Короче говоря, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительную длину относительно инвариантного для группы Вейля внутреннего произведения на решетке весов. Связные диаграммы Дынкина (соответствующие простым группам) изображены ниже.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k важным моментом является то, что корень α определяет не только одномерное подпространство алгебры Ли группы G , но и копию аддитивной группы G _a в G с заданной Ли алгебра, называемая корневой подгруппой U _α . Корневая подгруппа является единственной копией аддитивной группы в G , которая нормированная на Т и который имеет заданную алгебру Ли. ^[10] Вся группа G порождается (как алгебраическая группа) T и корневыми подгруппами, а борелевская подгруппаB порождается T и положительными корневыми подгруппами. Фактически, расщепляемая полупростая группа G порождается только корневыми подгруппами.

Параболические подгруппы [ править ]

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k гладкие связные подгруппы группы G , содержащие заданную борелевскую подгруппу B группы G, находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами множества простых корней ∆ (или, что эквивалентно, подмножествами множества вершин диаграммы Дынкина). Пусть г есть порядок А, полупростой ранг G . Каждая параболическая подгруппа из G является сопряженной с подгруппой , содержащей B на некоторый элемент из G ( K ). В результате получается ровно 2 ^rклассы сопряженности параболических подгрупп в G над k . ^[13] Явное, параболическая подгруппа , соответствующая данное подмножество S из А является группа , порожденная B вместе с корневыми подгруппами U _-альфа для а в S . Например, параболические подгруппы в GL ( n ), которые содержат борелевскую подгруппу B выше, являются группами обратимых матриц с нулевыми элементами ниже заданного набора квадратов по диагонали, например:

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

По определению, параболическая подгруппа Р редуктивной группы G над полем к является гладкой K -подгруппы, что многообразие фактора G / P является собственно над к , или , что эквивалентно проективному над K . Таким образом, классификация параболических подгрупп сводится к классификации проективных однородных многообразий для G (с гладкой стабилизирующей группой, то не существует никаких ограничений для к нулевой характеристике). Для GL ( n ) это многообразия флагов, параметризация последовательностей линейных подпространств заданных размерностей a ₁ , ..., a _i, содержащихся в фиксированном векторном пространстве V размерности n :

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют такое же описание, как и многообразия изотропных флагов относительно данной квадратичной формы или симплектической формы. Для любого восстановительным группы G с подгруппой Бореля B , G / B называется разнообразие флаг или флаг коллектора из G .

Классификация разделенных редуктивных групп [ править ]

Шевалле показал в 1958 г., что редуктивные группы над любым алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до изоморфизма по корневым данным. ^[14] В частности, полупростые группы над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до центральных изогений по их диаграмме Дынкина, а простые группы соответствуют связным диаграммам. Таким образом, существуют простые группы типов A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Этот результат по существу идентичен классификации компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли Вильгельма Киллинга иЭли Картан в 1880-х и 1890-х годах. В частности, размерности, центры и другие свойства простых алгебраических групп можно прочитать из списка простых групп Ли . Примечательно, что классификация редуктивных групп не зависит от характеристики. Для сравнения: простых алгебр Ли в положительной характеристике намного больше, чем в нулевой характеристике.

В исключительных групп G типа G ₂ и Е ₆ были построены ранее, по крайней мере , в виде абстрактной группы G ( K ), с помощью LE Диксона . Так , например, группа G ₂ является группой автоморфизмов из октонионов алгебры над к . Напротив, группы Шевалле типа F ₄ , E ₇ , E ₈ над полем положительной характеристики были совершенно новыми.

В более общем плане классификация разделенных редуктивных групп одинакова для любого поля. ^[15] Полупростая группа G над полем k называется односвязной, если всякая центральная изогения полупростой группы в G является изоморфизмом. (Для G полупростой над комплексными числами односвязность в этом смысле эквивалентна односвязности G ( C ) в классической топологии.) Классификация Шевалле показывает, что над любым полем k существует единственная односвязная расщепленная полупростая группа граммс заданной диаграммой Дынкина, с простыми группами, соответствующими связным диаграммам. С другой стороны, полупростая группа имеет присоединенный тип, если ее центр тривиален. Расщепленные полупростые группы над к с заданной диаграммой Дынкина в точности группа G / A , где G является односвязной группой и является K -подгруппы схемы центра G .

Например, односвязные расщепляемые простые группы над полем k, соответствующие «классическим» диаграммам Дынкина, выглядят следующим образом:

• A _n : SL ( n +1) над k ;
• B _n : спиновая группа Spin (2 n +1), связанная с квадратичной формой размерности 2 n +1 над k с индексом Витта n , например, форма

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : симплектическая группа Sp (2 n ) над k ;
• D _n : спиновая группа Spin (2 n ), связанная с квадратичной формой размерности 2 n над k с индексом Витта n , которую можно записать как:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

Внешний автоморфизм группа с разделением восстановительной группы G над полем к изоморфна группе автоморфизмов корневого элемента данных из G . Более того, группа автоморфизмов группы G распадается как полупрямое произведение :

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

где Z является центром G . ^[16] На долю полупрост односвязной группы G над полем, внешняя группа автоморфизмов G имеет более простое описание: это группа автоморфизмов диаграммы Дынкина G .

Схемы редуктивных групп [ править ]

Схема группы G над схемой S называется восстановительной , если морфизм G → S является гладким и аффинным, и каждый геометрическим слоем является восстановительным. (Для точки p в S соответствующий геометрический слой означает замену базы G на алгебраическое замыкание поля вычетов p .) Продолжая работу Шевалле, Мишель Демазюр и Гротендик показали, что схемы расщепляемых редуктивных групп над любой непустой схемой S являются классифицированы по корневым данным. ^[17]${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$Это заявление включает в себя существование групп Шевалье как групповые схемы над Z , и он говорит , что каждый раскол восстановительной группа над схемой S изоморфна базовой смену группы Шевалла от Z до S .

Реальные редуктивные группы [ править ]

В контексте групп Ли, а не алгебраических групп, вещественная редуктивная группа - это группа Ли G такая, что существует линейная алгебраическая группа L над R , тождественная компонента которой (в топологии Зарисского ) редуктивна, а гомоморфизм G → L ( R ) с конечным ядром и открытым образом в L ( R ) (в классической топологии). Также стандартно предполагать, что образ присоединенного представления Ad ( G ) содержится в Int ( g _C ) = Ad ( L ⁰ ( C)) (что автоматически при подключении G ). ^[18]

В частности, всякая связная полупростая группа Ли (т.е. ее алгебра Ли полупроста) редуктивна. Кроме того, группа Ли R редуктивна в этом смысле, поскольку ее можно рассматривать как компонент тождества GL (1, R ) ≅ R *. Проблема классификации реальных редуктивных групп в значительной степени сводится к классификации простых групп Ли. Они классифицируются по их диаграмме Сатаке ; или можно просто сослаться на список простых групп Ли (с точностью до конечных покрытий).

Для вещественных редуктивных групп в этой общности разработаны полезные теории допустимых представлений и унитарных представлений. Основные различия между этим определением и определением редуктивной алгебраической группы связаны с тем фактом, что алгебраическая группа G над R может быть связана как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G ( R ) не является связной, а также для простого связанные группы.

Например, проективная линейная группа PGL (2) связна как алгебраическая группа над любым полем, но ее группа вещественных точек PGL (2, R ) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности PGL (2, R ) (иногда называемый PSL (2, R )) - это реальная редуктивная группа, которую нельзя рассматривать как алгебраическую группу. Аналогично, SL (2) односвязна как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z , и поэтому SL (2, R) имеет нетривиальные накрывающие пространства . По определению все конечные покрытия SL (2, R ) (такие как метаплектическая группа ) являются вещественными редуктивными группами. С другой стороны, универсальная крышка из SL (2, R ) не является реальной восстановительной группа, даже если ее алгебра Ли является восстановительной , то есть произведение полупростой алгебры Ли и абелева алгебра Ли.

Для связной вещественной редуктивной группы G фактормногообразие G / K группы G по максимальной компактной подгруппе K является симметрическим пространством некомпактного типа. Фактически таким образом возникает всякое симметрическое пространство некомпактного типа. Это центральные примеры в римановой геометрии многообразий неположительной секционной кривизны . Например, SL (2, R ) / SO (2) - гиперболическая плоскость , а SL (2, C ) / SU (2) - гиперболическое 3-пространство.

Для редуктивной группы G над полем k, которое является полным относительно дискретного нормирования (например, p-адических чисел Q _p ), аффинная конструкция X группы G играет роль симметрического пространства. А именно, X - симплициальный комплекс с действием группы G ( k ), а G ( k ) сохраняет метрику CAT (0) на X , аналог метрики с неположительной кривизной. Размерность аффинного здания - это k -ранг группы G. Например, конструкция SL (2, Q _p ) представляет собой дерево .

Представления редуктивных групп [ править ]

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k неприводимые представления G (как алгебраической группы) параметризуются доминантными весами , которые определяются как пересечение решетки весов X ( T ) ≅ Z ⁿ с выпуклым конусом ( камера Вейля ) в R ⁿ . В частности, эта параметризация не зависит от характеристики k . Более подробно, фиксируем сплит максимальный тор и подгруппа Бореля, T ⊂ B ⊂ G . Тогда B - полупрямое произведениеТ с гладкой связной унипотентной подгруппы U . Определим вектор старшего веса в представлении V группы G над k как ненулевой вектор v такой, что B отображает прямую, натянутую на v, в себя. Тогда B действует на этой прямой через свою фактор-группу T по некоторому элементу λ решетки весов X ( T ). Шевалле показал, что всякое неприводимое представление группы Gимеет уникальный вектор старшего веса с точностью до скаляров; соответствующий «старший вес» λ является доминирующим; и каждый доминантный вес λ является старшим весом единственного неприводимого представления L (λ) группы G с точностью до изоморфизма. ^[19]

Остается проблема описания неприводимого представления с заданным старшим весом. Для k нулевой характеристики есть практически полные ответы. Для доминантного веса λ определим модуль Шура ∇ (λ) как k- векторное пространство сечений G -эквивариантного линейного расслоения на флаговом многообразии G / B, ассоциированном с λ; это представление G . Для k нулевой характеристики теорема Бореля – Вейля утверждает, что неприводимое представление L (λ) изоморфно модулю Шура ∇ (λ). Кроме того, формула характера Вейлядает характер (и, в частности, размерность) этого представления.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k положительной характеристики ситуация гораздо более тонкая, потому что представления G обычно не являются прямыми суммами неприводимых. Для доминантного веса λ неприводимое представление L (λ) является единственным простым подмодулем ( цоколем ) модуля Шура ∇ (λ), но оно не обязательно должно быть равно модулю Шура. Размерность и характер модуля Шура задаются формулой характера Вейля (как в нулевой характеристике) Джорджа Кемпфа . ^[20] Размерности и характеры неприводимых представлений L(λ) в общем случае неизвестны, хотя для анализа этих представлений была разработана большая часть теории. Важный результатом является то , что размер и характер L (X) известны , когда характеристика р о к гораздо больше , чем число Кокстера из G , по Henning Andersen , Jens Jantzen , и Вольфганг Зергель (подтверждающего Люстиг гипотезу «с в том , что дело). Их формула характера для p big основана на многочленах Каждана – Люстига , которые являются комбинаторно сложными. ^[21] Для любого простого p Саймон Риш иДжорди Уильямсон предположил неприводимые характеры редуктивной группы в терминах полиномов p -Каждана-Люстига, которые еще сложнее, но, по крайней мере, вычислимы. ^[22]

Неразделимые редуктивные группы [ править ]

Как обсуждалось выше, классификация разделенных редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Вот некоторые примеры из классических групп :

• Каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу G = SO ( q ). Здесь G проста, если q имеет размерность n не менее 3, поскольку она изоморфна SO ( n ) над алгебраическим замыканием . К -ранг G равно индексу Витта из ц (максимальный размер изотропного подпространства над к ). ^[23] Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда q${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$имеет максимально возможный индекс Витта, .${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$
• Каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу G = SL (1, A ), ядро приведенной нормы на группе единиц A * (как алгебраическая группа над k ). Степени из А означает квадратный корень из размерности А как к -векторному пространство. Здесь G проста, если A имеет степень n не меньше 2, так как над ней изоморфна SL ( n ) . Если А${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$имеет индекс r (это означает, что A изоморфна матричной алгебре M _{n / r} ( D ) для алгебры с делением D степени r над k ), то k -ранг группы G равен ( n / r ) - 1. ^{[24 ]} Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда A - матричная алгебра над k .

В результате проблема классификации редуктивных групп над k по существу включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти проблемы легко решить для алгебраически замкнутых k , и они понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля, но для произвольных полей есть много открытых вопросов.

Редуктивная группа над полем k называется изотропной, если она имеет k -ранг больше 0 (т. Е. Если она содержит нетривиальный расщепляемый тор), и в противном случае анизотропной . Для полупростой группы G над полем k следующие условия эквивалентны:

• G изотропна (то есть G содержит копию мультипликативной группы G _m над k );
• G содержит параболическую подгруппу над k, не равную G ;
• G содержит копию аддитивной группы G _a над k .

Для совершенного k также эквивалентно сказать, что G ( k ) содержит унипотентный элемент, отличный от 1. ^[25]

Для связной линейной алгебраической группы G над локальным полем k нулевой характеристики (например, действительными числами) группа G ( k ) компактна в классической топологии (основанной на топологии k ) тогда и только тогда, когда G редуктивна и анизотропный. ^[26] Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R имеет вещественный ранг min ( p , q ), поэтому она анизотропна тогда и только тогда, когда p или q равны нулю. ^[23]

Редуктивная группа G над полем k называется квази-расщепленной, если она содержит борелевскую подгруппу над k . Расщепленная редуктивная группа является квазирасщепленной. Если G квазираспадна над k , то любые две борелевские подгруппы в G сопряжены некоторым элементом из G ( k ). ^[27] Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R расщепляется тогда и только тогда, когда | p - q | ≤ 1, и он квази-расщеплен тогда и только тогда, когда | p - q | ≤ 2.^[23]

Структура полупростых групп как абстрактных групп [ править ]

Для односвязной сплит полупростой группы G над полем к , Роберт Steinberg дала явное представление абстрактной группы G ( к ). ^[28] Она порождается копиями аддитивной группы к индексированным корням G (корень подгруппа), с соотношениями , определяемых Дынкиным G .

Для односвязной расщепляемой полупростой группы G над совершенным полем k Стейнберг также определил группу автоморфизмов абстрактной группы G ( k ). Каждый автоморфизм является продуктом внутреннего автоморфизма , диагонального автоморфизма (имеется в виду сопряжение подходящей -точкой максимального тора), автоморфизма графа (соответствующего автоморфизму диаграммы Дынкина) и полевого автоморфизма (происходящего из автоморфизма поля k ). ^[29]${\displaystyle {\overline {k}}}$

Для к -простой алгебраической группе G , теорема простоты Титс говорит , что абстрактная группа G ( K ) близка к простому, при слабых предположениях. А именно, предположим, что G изотропна над k , и предположим, что поле k имеет не менее 4 элементов. Пусть G ( k ) ⁺ - подгруппа абстрактной группы G ( k ), порожденная k -точками копий аддитивной группы G _a над k, содержащимися в G. (По предположению, что G изотропна над k , группа G ( k ) ⁺ нетривиальна и даже по Зарисскому плотна в G, если k бесконечно.) Тогда фактор-группа группы G ( k ) ⁺ по ее центру проста (как абстрактная группа). ^[30] Доказательство использует аппарат BN-пар Жака Титса .

Исключения для полей 2-го или 3-го порядка понятны. При k = F ₂ теорема Титса о простоте остается в силе, за исключением случаев, когда G разбивается на тип A ₁ , B ₂ или G ₂ или нерасщепляется (то есть унитарно) типа A ₂ . При k = F ₃ теорема верна за исключением G типа A ₁ . ^[31]

Для k- простой группы G , чтобы понять всю группу G ( k ), можно рассмотреть группу Уайтхеда W ( k , G ) = G ( k ) / G ( k ) ⁺ . Для G односвязной и Квазиразложимая, Уайтхед группа тривиальна, и поэтому всей группы G ( к ) является простым по модулю его центр. ^{[32] В} более общем плане проблема Кнезера – Титса спрашивает, какая изотропная k-простых групп группа Уайтхеда тривиальна. Во всех известных примерах W ( k , G ) абелева.

Для анизотропной k- простой группы G абстрактная группа G ( k ) может быть далеко не простой. Например, пусть D - алгебра с делением с центром в p -адическом поле k . Предположим, что размерность D над k конечна и больше 1. Тогда G = SL (1, D ) - анизотропная k- простая группа. Как упоминалось выше, G ( k ) компактна в классической топологии. Поскольку он также полностью отключен , G ( k) проконечная группа (но не конечная). В результате G ( k ) содержит бесконечно много нормальных подгрупп конечного индекса . ^[33]

Решетки и арифметические группы [ править ]

Пусть G линейная алгебраическая группа над рациональными числами Q . Тогда G может быть расширен до аффинной групповой схемы G над Z , и это определяет абстрактную группу G ( Z ). Арифметическая группа означает любую подгруппу G ( Q ), которое соизмеримо с G ( Z ). (Арифметичность подгруппы в G ( Q ) не зависит от выбора Z -структуры.) Например, SL ( n , Z) является арифметической подгруппой в SL ( n , Q ).

Для группы Ли G , A решетка в G означает дискретную подгруппу Г G такие , что многообразие G / Γ имеет конечный объем (по отношению к G - инвариантной мере). Например, дискретная подгруппа Γ является решеткой, если G / Γ компактна. Теорема Маргулиса об арифметичности , в частности, гласит: для простой группы Ли G вещественного ранга не менее 2 каждая решетка в G является арифметической группой.

Действие Галуа на диаграмме Дынкина [ править ]

В поисках классификации редуктивных групп, которые не нужно разделять, одним шагом является индекс Титса , который сводит проблему к случаю анизотропных групп. Эта редукция обобщает несколько фундаментальных теорем алгебры. Например, теорема Витта о разложении утверждает, что невырожденная квадратичная форма над полем определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Витта вместе с ее анизотропным ядром. Точно так же теорема Артина – Веддерберна сводит классификацию центральных простых алгебр над полем к случаю алгебр с делением. Обобщая эти результаты, Титс показал, что редуктивная группа над полем kопределяется с точностью до изоморфизма своим индексом Титса вместе с его анизотропным ядром, ассоциированной анизотропной полупростой k -группой.

Для восстановительной группы G над полем к , по абсолютной группа Галуа Gal ( к _с / к ) действует (непрерывно) на «абсолютную» диаграмме Дынкина G , то есть диаграмма Дынкина G больше сепарабельное замыкание к _ы ( которая также является диаграммой Дынкина группы G над алгебраическим замыканием ). Индекс Титса группы G состоит из корневого элемента G _{k s}${\displaystyle {\overline {k}}}$, действие Галуа на его диаграмме Дынкина и инвариантное Галуа подмножество вершин диаграммы Дынкина. Традиционно индекс Титса строится путем обхода орбит Галуа в данном подмножестве.

В этих терминах существует полная классификация квазирасщепленных групп. А именно, для каждого действия абсолютной группы Галуа поля k на диаграмме Дынкина существует единственная односвязная полупростая квазирасщепленная группа H над k с данным действием. (Для квазирасщепленной группы каждая орбита Галуа в диаграмме Дынкина обведена кружком.) Более того, любая другая односвязная полупростая группа G над k с данным действием является внутренней формой квазирасщепленной группы H , что означает, что G является группа, ассоциированная с элементом множества когомологий Галуа H ¹ ( k, Н / Z ), где Z является центром H . Другими словами, G - это твист H, связанный с некоторым H / Z -торсором над k , как обсуждается в следующем разделе.

Пример: Пусть q - невырожденная квадратичная форма четной размерности 2 n над полем k характеристики, отличной от 2, с n ≥ 5. (Эти ограничения можно избежать.) Пусть G - простая группа SO ( q ) над k . Абсолютная диаграмма Дынкина группы G имеет тип D _n , а значит, ее группа автоморфизмов имеет порядок 2, переключая два «ноги» диаграммы D _n . Действие абсолютной группы Галуа поля k на диаграмме Дынкина тривиально тогда и только тогда, когда знаковый дискриминант d элемента q вk * / ( k *) ² тривиально. Если d нетривиально, то оно закодировано в действии Галуа на диаграмме Дынкина: подгруппа индекса-2 группы Галуа, которая действует как тождество . Группа G расщепляется тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта n , максимально возможный, и G квази-расщепляемая тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта не менее n - 1. ^[23]${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$

Торсоры и принцип Хассе [ править ]

Торсор для аффинной групповой схемы G над полем к означает аффинную схему X над к с действием на G таких , что изоморфно с действием на себе левый сдвиг. Торсор также можно рассматривать как главное G-расслоение над k относительно топологии fppf на k или этальной топологии, если G гладко над k . Указанное множество классов изоморфизма G -торсоров над${\displaystyle X_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$k называется H ¹ ( k , G ) на языке когомологий Галуа.

Торсоры возникают всякий раз, когда кто-то пытается классифицировать формы данного алгебраического объекта Y над полем k , имея в виду объекты X над k, которые становятся изоморфными Y над алгебраическим замыканием k . А именно, такие формы (с точностью до изоморфизма) находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством H ¹ ( k , Aut ( Y )). Например, (невырожденные) квадратичные формы размерности n над k классифицируются как H ¹ ( k , O ( n)), а центральные простые алгебры степени n над k классифицируются как H ¹ ( k , PGL ( n )). Кроме того, k -формы данной алгебраической группы G (иногда называемые «скручиванием» группы G ) классифицируются как H ¹ ( k , Aut ( G )). Эти проблемы мотиваций систематического изучения G торсор, особенно для восстанавливающих групп G .

Когда возможно, кто-то надеется классифицировать G -торсоры, используя когомологические инварианты , которые представляют собой инварианты, принимающие значения в когомологиях Галуа с абелевыми группами коэффициентов M , H ^a ( k , M ). В этом направлении Стейнберг доказал «гипотезу I» Серра : для связной линейной алгебраической группы G над совершенным полем когомологической размерности не выше 1 H ¹ ( k , G ) = 1. ^[34] (Случай a конечное поле было известно ранее как теорема Ланга.) Отсюда следует, например, что всякая редуктивная группа над конечным полем квазирасщепляема.

Гипотеза Серра II предсказывает, что для односвязной полупростой группы G над полем когомологической размерности не выше 2, H ¹ ( k , G ) = 1. Гипотеза известна для полностью мнимого числового поля (которое имеет когомологическую размерность 2). В целом, для любого числа поля к , Мартин Кнезер , Гюнтер Harder и Владимир Черноусов (1989) доказал принцип Хассе : для односвязной полупростой группы G над к , отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

биективен. ^[35] Здесь v пробегает все места в к , а также к _V есть соответствующее локальное поле (возможно , R или С ). Более того, отмеченное множество H ¹ ( k _v , G ) тривиально для любого неархимидового локального поля k _v , а значит, только вещественных мест k материи. Аналогичный результат для глобального поля k положительной характеристики был ранее доказан Хардером (1975): для любой односвязной полупростой группы G над k, H ¹ ( k , G ) тривиально (поскольку k не имеет действительных мест). ^[36]

В несколько ином случае присоединенной группы G над числовым полем k принцип Хассе выполняется в более слабой форме: естественное отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

инъективно. ^[37] Для G = PGL ( n ) это равносильно теореме Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер , согласно которой центральная простая алгебра над числовым полем определяется своими локальными инвариантами.

Классификация полупростых групп над числовыми полями, основанная на принципе Хассе, хорошо известна. Например, существует ровно три Q -формы исключительной группы E 8 , соответствующие трем действительным формам E ₈ .

См. Также [ править ]

• В группах типа Ли являются конечными простыми группами , построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Обобщенное многообразие флагов , разложение Брюо , Шуберт разнообразие , Шуберт исчисление
• Алгебра Шура , теория Делиня – Люстига
• Реальная форма (теория Ли)
• Гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• Langlands классификация , Langlands двойственная группа , Langlands программа , геометрическая программа Langlands
• Особая группа , существенное измерение
• Геометрическая теория инвариантов , теорема о срезе Луны , теорема Haboush в
• Радикал алгебраической группы

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Борел, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, 126 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer Nature , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0941-6 , ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Борель, Арман ; Титс, Жак (1971), «Объединенные элементы и параболические группы сокращенных групп. I.», Inventiones Mathematicae , 12 : 95–104, Bibcode : 1971InMat..12 ... 95B , doi : 10.1007 / BF01404653 , MR  0294349
• Chevalley, Claude (2005) [1958], Cartier, P. (ed.), Classification des algébriques semi-simples , Collected Works, Vol. 3, Springer Nature , ISBN 3-540-23031-9, MR  2124841
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, Руководство по ремонту  3309122
• Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (1970), Groupes algébriques. Том I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Париж: Masson, ISBN 978-2225616662, Руководство по ремонту  0302656
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (2011) [1970]. Gille, P .; Поло, П. (ред.). Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes . Société Mathématique de France . ISBN 978-2-85629-323-2. Руководство по ремонту  2867621 . Исправленное и аннотированное издание оригинала 1970 г.
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (1970). Схемы в группах (SGA 3), II: Группы мультипликативных типов и структура схем в общих группах . Конспект лекций по математике. 152 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0059005 . ISBN 978-3540051800. Руководство по ремонту  0274459 .
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (2011) [1970]. Gille, P .; Поло, П. (ред.). Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs . Société Mathématique de France . ISBN 978-2-85629-324-9. Руководство по ремонту  2867622 . Исправленное и аннотированное издание оригинала 1970 г.
• Жиль, Филипп (2009), «Проблемная де Кнезера – Титса» (PDF) , Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008 , Astérisque, 326 , Société Mathématique de France , стр. 39–81, ISBN 978-285629-269-3, Руководство по ремонту  2605318
• Янцен, Йенс Карстен (2003) [1987], Представления алгебраических групп (2-е изд.), Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3527-2, MR  2015057
• Милн, JS (2017), алгебраические группы: Теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , DOI : 10,1017 / 9781316711736 , ISBN 978-1107167483, Руководство по ремонту  3729270
• Платонов, Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел , Academic Press , ISBN 0-12-558180-7, MR  1278263
• В. Л. Попов (2001) [1994], «Редуктивная группа» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рич, Саймон; Уильямсон, Джорди (2018), Модули наклона и p- каноническая основа , Astérisque, 397 , Société Mathématique de France , arXiv : 1512.08296 , Bibcode : 2015arXiv151208296R , ISBN 978-2-85629-880-0
• Спрингер, Тонни А. (1979), «Редуктивные группы» , автоморфные формы, представления и L- функции , 1 , Американское математическое общество , стр. 3–27, ISBN 0-8218-3347-2, Руководство по ремонту  0546587
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Прогресс в математике, 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4840-4 , ISBN 978-0-8176-4021-7, MR  1642713
• Стейнберг, Роберт (1965), "Регулярные элементы полупростых алгебраических групп" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 : 49–80, doi : 10.1007 / bf02684397 , MR  0180554
• Steinberg, Роберт (2016) [1968], Лекции по Шевалле , University Lecture Series, 66 , Американского математического общества , DOI : 10,1090 / ulect / 066 , ISBN 978-1-4704-3105-1, Руководство по ремонту  3616493
• Сиськи Жак (1964), "Алгебраические и абстрактные простые группы", Анналы математики , 80 (2): 313-329, DOI : 10,2307 / 1970394 , JSTOR  1970394 , МР  0164968

Внешние ссылки [ править ]

• Демазюр, М .; Grothendieck, A. , Gille, P .; Поло, П. (ред.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Исправленное и аннотированное издание оригинала 1970 г.