Подгруппа Бореля

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Точечная симметрия Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В теории алгебраических групп , подгруппа Борель из алгебраической группы G является максимальной Зариским замкнута и связна решаемой алгебраической подгруппой . Например, в общей линейной группе GL _n ( nxn обратимых матриц) подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является подгруппой Бореля.

Для групп, реализуемых над алгебраически замкнутыми полями , существует единственный класс сопряженных борелевских подгрупп.

Борелевские подгруппы являются одним из двух ключевых ингредиентов в понимании структуры простых (в более общем смысле редуктивных ) алгебраических групп в теории групп Жака Титса с парой (B, N) . Здесь группа Б является подгруппой Борель и N является нормализатором максимального тора , содержащимся в B .

Это понятие ввел Арманд Борель , сыгравший ведущую роль в развитии теории алгебраических групп.

Параболические подгруппы [ править ]

Подгруппы между борелевской подгруппой B и объемлющей группой G называются параболическими подгруппами . Параболические подгруппы P также характеризуются среди алгебраических подгрупп тем, что G / P является полным многообразием . Работая над алгебраически замкнутыми полями, борелевские подгруппы оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле. Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G / B является полным многообразием, которое «настолько велико, насколько возможно».

Для простой алгебраической группы G множество классов сопряженных параболических подгрупп находится в биекции с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина ; подгруппа Бореля соответствует пустому множеству, а сама G соответствует множеству всех узлов. (В общем, каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, таким образом, одномерную «корневую группу» G --- подмножество узлов, таким образом, дает параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими отрицательными корневыми группами. Более того, любая параболическая подгруппа сопряжена с такой параболической подгруппой.)

Пример [ править ]

Пусть . Подгруппа Бореля в - это множество верхнетреугольных матриц${\ Displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33 } & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

а максимальные собственные параболические подгруппы содержащего -${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

Кроме того, максимальный тор в равен${\displaystyle B}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

Он изоморфен алгебраическому тору . ^[1]${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$

Алгебра Ли [ править ]

Для частного случая алгебры Ли с подалгебры Картана , дан порядок из , то подалгебра Бореля является прямой суммой и весовые пространства от с положительным весом. Подалгебра Ли, содержащая борелевскую подалгебру, называется параболической алгеброй Ли .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

См. Также [ править ]

• Гиперболическая группа
• Подгруппа Картана

Ссылки [ править ]

• Гэри Зейтц (1991). «Алгебраические группы». В Б. Хартли; и другие. (ред.). Конечные и локально конечные группы . С. 45–70.
• Дж. Хамфрис (1972). Линейные алгебраические группы . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90108-6.
• А. Борель (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . Провиденс РИ: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.

Конкретный

Внешние ссылки [ править ]

• Попов, В.Л. (2001) [1994], "Параболическая подгруппа" , Энциклопедия математики , EMS Press CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Платонов, В.П. (2001) [1994], "Подгруппа Бореля" , Энциклопедия математики , EMS Press