В математической области геометрической теории групп , А функция длины является функцией , которая присваивает номер каждого элемент группы.
Определение
Функция длины L : G → R + на группе G - это функция, удовлетворяющая:
Сравните с аксиомами для метрики и фильтрованной алгебры .
Метрика слова
Важным примером длины является метрика слова : при представлении группы генераторами и отношениями длина элемента - это длина самого короткого слова, выражающего его.
Группы Кокстера (включая симметрическую группу ) имеют комбинаторные важные функции длины, используя простые отражения в качестве генераторов (таким образом, каждое простое отражение имеет длину 1). См. Также: длина элемента группы Вейля .
Самый длинный элемент группы Кокстера является важным и единственна с точностью до сопряжения (до различного выбора простых отражений).
Характеристики
Группа с функцией длины не образует отфильтрованную группу , что означает, что подуровень устанавливает вообще не образуют подгрупп.
Однако групповая алгебра группы с функциями длины образует фильтрованную алгебру : аксиома соответствует аксиоме фильтрации.
Эта статья включает материал из функции Length на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .