Самый длинный элемент группы Кокстера

В математике самый длинный элемент группы Кокстера - это единственный элемент максимальной длины в конечной группе Кокстера относительно выбранного порождающего множества, состоящего из простых отражений. Его часто обозначают w ₀ . См. ( Хамфрис, 1992 г. , раздел 1.8: Простая транзитивность и самый длинный элемент, стр. 15–16 ) и ( Дэвис, 2007 г. , раздел 4.6, стр. 51–53).

Свойства [ править ]

• Группа Кокстера имеет самый длинный элемент тогда и только тогда, когда он конечен; «только если» означает, что размер группы ограничен количеством слов, длина которых меньше или равна максимальной.
• Самый длинный элемент группы Кокстера - это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа .
• Самый длинный элемент - это инволюция (имеет порядок 2 :) по уникальности максимальной длины (обратный элемент имеет ту же длину, что и элемент). ^[1]${\ displaystyle w_ {0} ^ {- 1} = w_ {0}}$
• Для любой длины удовлетворяет ^[1]${\ displaystyle w \ in W,}$${\ displaystyle \ ell (w_ {0} w) = \ ell (w_ {0}) - \ ell (w).}$
• Сокращенное выражение для самого длинного элемента, как правило, не уникально.
• В сокращенном выражении для самого длинного элемента каждое простое отражение должно встречаться хотя бы один раз. ^[1]
• Если группа Кокстера конечна, то длина w ₀ равна количеству положительных корней . ^[1]
• С открытыми порами Bw ₀ В в разложении Брюо в виде полупростой алгебраической группы G плотно в топологии Зарисской ; топологически это ячейка высшей размерности разложения и представляет фундаментальный класс .
• Самый длинный элемент - это центральный элемент –1, за исключением ( ), для нечетного n и для нечетного p , когда он равен –1, умноженному на автоморфизм порядка 2 диаграммы Кокстера . ^[2]${\ displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle п \ geq 2}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle E_ {6},}$${\ displaystyle I_ {2} (p)}$

См. Также [ править ]

• Элемент Кокстера , другой выдающийся элемент
• Число Кокстера
• Функция длины

Ссылки [ править ]