Элемент Кокстера

В математике , то число Кокстер ч является порядком из элемента Кокстера неприводимой группы Кокстера . Он назван в честь HSM Coxeter . ^[1]

Определения [ править ]

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера. Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классов сопряженных элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.

Есть много разных способов определить число Кокстера h неприводимой корневой системы.

Косетер элемент представляет собой произведение всех простых отражений. Продукт зависит от порядка, в котором они взяты, но разные порядки дают сопряженные элементы, которые имеют одинаковый порядок .

Число Кокстера - это порядок любого элемента Кокстера; .
Число Кокстера равно 2 m / n , где n - ранг, а m - количество отражений. В кристаллографическом случае m - половина числа корней ; и 2m + п есть размерность соответствующей полупростой алгебры Ли .
Если наивысший корень равен ∑ m _i α _i для простых корней α _i , то число Кокстера равно 1 + ∑ m _i .
Число Кокстера - это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующего на многочлены.

Число Кокстера для каждого типа Дынкина приведено в следующей таблице:

Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера	Дынкин диаграмма	Отражения m = nh / 2 ^[2]	Число Кокстера h	Двойное число Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
А _п	[3,3 ..., 3]	...	...	п ( п +1) / 2	п + 1	п + 1	2, 3, 4, ..., п + 1
B _n	[4,3 ..., 3]	...	...	п ²	2 п	2 п - 1	2, 4, 6, ..., 2 п
C _n	[4,3 ..., 3]	...	...	п ²	2 п	п + 1	2, 4, 6, ..., 2 п
D _n	[3,3, .. 3 ^1,1 ]	...	...	п ( п -1)	2 п - 2	2 п - 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 п - 2
E ₆	[3 ^2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E ₇	[3 ^3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E ₈	[3 ^4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
П ₄	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G ₂	[6]			6	6	4	2, 6
H ₃	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H ₄	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
I ₂ ( p )	[п]		-	п	п		2, стр

Инварианты группы Кокстера, действующие на многочлены, образуют алгебру многочленов, образующие которой являются фундаментальными инвариантами; их степени приведены в таблице выше. Обратите внимание, что если m - степень фундаментального инварианта, то h + 2 - m тоже .

Собственные значения элемента Кокстера - это числа e ^{2π i ( m - 1) / h,} поскольку m пробегает степени фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с m = 2, они включают примитивный корень h- й степени из единицы , ζ _h = e ^{2π i / h} , который важен для плоскости Кокстера, описанной ниже.

Групповой порядок [ править ]

Между порядком g группы Кокстера и числом Кокстера h существует связь : ^[3]

[p]: 2h / g _p = 1
[p, q]: 8 / g _{p, q} = 2 / p + 2 / q -1
[p, q, r]: 64h / g _{p, q, r} = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
[p, q, r, s]: 16 / g _{p, q, r, s} = 8 / g _{p, q, r} + 8 / g _{q, r, s} + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / с +1
...

Например, [3,3,5] имеет h = 30, поэтому 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, поэтому g = 1920 * 15/2. = 960 * 15 = 14400.

Элементы Кокстера [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Декабрь 2008 г. )

Отчетливые элементы Кокстера соответствуют ориентациям диаграммы Кокстера (то есть колчанам Дынкина ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, нижние вершины - позже, а опускаются последними. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы. от первого до второго набора. ^[4] Чередование ориентации создает специальный элемент Кокстера w, удовлетворяющий , где w ₀ - самый длинный элемент , при условии, что число Кокстера h ${\ displaystyle w ^ {h / 2} = w_ {0}}$ даже.

Для получения , в симметричных группы на п элементы, Кокстеровские элементы являются определенными п -циклы: произведение простых отражений является элементом Кокстера . ^[5] Для четного n элемент Кокстера с переменной ориентацией: ${\ displaystyle A_ {n-1} \ cong S_ {n}}$ ${\ Displaystyle (1,2) (2,3) \ cdots (п {-} 1 \, п)}$ ${\ Displaystyle (1,2,3, \ точки, п)}$

(1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).

Среди n -циклов есть различные элементы Кокстера. $2^{n-2}$ $(n{-}1)!$

Группа диэдр DIH _р порождается два отражениями , которые образуют угол , и , таким образом эти два элемента являются Кокстеровскими их произведением в любом порядке, который представляет собой поворот на . $2\pi /2p$ $\pm 2\pi /p$

Самолет Кокстера [ править ]

Проекция корневой системы E ₈ на плоскость Кокстера с 30-кратной симметрией.

Для данного элемента Кокстера w существует единственная плоскость P, на которой w действует поворотом на 2π / h. Это называется плоскостью Кокстера ^[6] и представляет собой плоскость, на которой P имеет собственные значения e ^{2π i / h} и e − ^{2π i / h} = e ^{2π i ( h −1) / h} . ^[7] Этот самолет был впервые систематически изучен в ( Coxeter, 1948 ), ^[8] и впоследствии использован в ( Steinberg, 1959).), чтобы обеспечить единообразные доказательства свойств элементов Кокстера. ^[8]

Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многомерных многогранников и корневых систем - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) ортогонально проецируются на плоскость Кокстера, давая многоугольник Петри с h - складка вращательной симметрии. ^[9] Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, соответствующий элементу Кокстера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющую собственного значения 1 или -1), поэтому проекции орбит под w образуют h- кратные круговые структуры ^{[9] ]} и там пустой центр, как в E ₈диаграмма вверху справа. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера показаны ниже для Платоновых тел .

В трех измерениях симметрия правильного многогранника {p, q} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри, определенным как композиция из трех отражений, имеет симметрию вращения S _h , [2 ⁺ , h ⁺ ], порядка h . Добавив зеркало, симметрия может быть увеличена вдвое до антипризматической симметрии, D _hd , [2 ⁺ , h], порядка 2 h . В ортогональной 2D проекции это становится двугранной симметрией , Dih _h , [h], порядка 2 h .

Группа Коксетера	А ₃ Т Д	B ₃ O h		H ₃ I h
Правильный многогранник	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Симметрия	S ₄ , [2 ⁺ , 4 ⁺ ], (2 ×) D _2d , [2 ⁺ , 4], (2 * 2)	S ₆ , [2 ⁺ , 6 ⁺ ], (3 ×) D _3d , [2 ⁺ , 6], (2 * 3)		S ₁₀ , [2 ⁺ , 10 ⁺ ], (5 ×) D _5d , [2 ⁺ , 10], (2 * 5)
Симметрия плоскости Кокстера	Dih ₄ , [4], (* 4 •)	Dih ₆ , [6], (* 6 •)		Dih ₁₀ , [10], (* 10 •)
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия правильного полихорона {p, q, r} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представляет собой двойное вращение , определенное как составное из 4 отражений с симметрией + ¹ / _h [C _h × C _h ] ^[10] ( Джон Х. Конвей ), (C _2h / C ₁ ; C _2h / C ₁ ) (# 1 ', Патрик дю Валь (1964) ^[11] ), приказ h .

Группа Коксетера	А ₄	В ₄		П ₄	H ₄
Регулярный полихорон	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Симметрия	+ ¹ / ₅ [С ₅ × С ₅ ]	+ ¹ / ₈ [С ₈ × С ₈ ]		+ ¹ / ₁₂ [С ₁₂ × С ₁₂ ]	+ ¹ / ₃₀ [С ₃₀ × С ₃₀ ]
Симметрия плоскости Кокстера	Dih ₅ , [5], (* 5 •)	Dih ₈ , [8], (* 8 •)		Dih ₁₂ , [12], (* 12 •)	Дих ₃₀ , [30], (* 30 •)
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел с 5-кратной, 8-кратной, 12-кратной и 30-кратной симметрией.

В пяти измерениях симметрия правильного 5-многогранника {p, q, r, s} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представлена смесью 5 отражений.

Группа Коксетера	А ₅	В ₅		D ₅
Регулярный политерон	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	ч {4,3,3,3}
Симметрия плоскости Кокстера	Dih ₆ , [6], (* 6 •)	Dih ₁₀ , [10], (* 10 •)		Dih ₈ , [8], (* 8 •)

В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера; один равномерный многогранник из каждого измерения представляет корни исключительных групп Ли E _n . Элементы Кокстера - 12, 18 и 30 соответственно.

Е _п групп
Группа Коксетера	E6	E7	E8
График	1 22	2 31	4 21
Симметрия плоскости Кокстера	Dih ₁₂ , [12], (* 12 •)	Dih ₁₈ , [18], (* 18 •)	Дих ₃₀ , [30], (* 30 •)

См. Также [ править ]

Самый длинный элемент группы Кокстера

Заметки [ править ]

^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд; Чендлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Кокстера: размышления и прогнозы , книжный магазин AMS, стр. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
^ Косетер , регулярные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12,61
^ Правильные многогранники, стр. 233
^ Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы , Биркхаузер (2010)
^ ( Хамфрис 1992 , стр.75 )
^ Самолеты Coxeter, заархивированные 10 февраля 2018 в Wayback Machine, и другие самолеты Coxeter, заархивированные 21 августа 2017 года в Wayback Machine Джон Стембридж
^ ( Хамфрис 1992 , раздел 3.17, «Действие на самолете», стр. 76–78 )
^ a b ( Чтение 2010 , стр. 2)
^ а б ( Стембридж 2007 )
^ На Quaternions и Octonions , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5
↑ Патрик Дю Валь, Омографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Oxford , 1964.

Ссылки [ править ]

Кокстер, HSM (1948), Регулярные многогранники , Метуэн и Ко.
Steinberg, R. (июнь 1959), "Конечные группы отражений", Труды Американского математического общества , 91 (3): 493-504, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993261
Хиллер, Ховард Геометрия групп Кокстера. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Бостон, Массачусетс-Лондон, 1982. iv + 213 стр. ISBN 0-273-08517-4
Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражений и группы Кокстера , Cambridge University Press , стр. 74–76 (Раздел 3.16, Элементы Кокстера ), ISBN 978-0-521-43613-7
Стембридж, Джон (9 апреля 2007 г.), Coxeter Planes , заархивировано из оригинала 10 февраля 2018 г. , извлечено 21 апреля 2010 г.
Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствии Маккея , Монографии Спрингера по математике, arXiv : math / 0510216 , doi : 10.1007 / 978-3-540-77399-3 , ISBN 978-3-540-77398-6
Ридинг, Натан (2010), «Непересекающиеся перегородки, кластеры и плоскость Кокстера» , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
Бернштейн, штат Индиана; Гельфанд И.М.; Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля // Успехи матем. 1973. Т. 28 , вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .

[1] Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд; Чендлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Кокстера: размышления и прогнозы , книжный магазин AMS, стр. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1

[2] Косетер , регулярные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12,61

[3] Правильные многогранники, стр. 233

[4] Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы , Биркхаузер (2010)

[5] ( Хамфрис 1992 , стр.75 )

[6] Самолеты Coxeter, заархивированные 10 февраля 2018 в Wayback Machine, и другие самолеты Coxeter, заархивированные 21 августа 2017 года в Wayback Machine Джон Стембридж

[7] ( Хамфрис 1992 , раздел 3.17, «Действие на самолете», стр. 76–78 )

[readp2-8] ( Чтение 2010 , стр. 2)

[stem2007-9] а б ( Стембридж 2007 )

[10] На Quaternions и Octonions , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5

[11] Патрик Дю Валь, Омографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Oxford , 1964.

[1]