В математике порядок Брюа (также называемый сильным порядком, или сильным порядком Брюа, или порядком Шевалле, или порядком Брюа – Шевалле или порядком Шевалле – Брюа ) - это частичный порядок на элементах группы Кокстера , который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта. .
История
Брюа порядок на многообразиях Шуберта одного многообразия флагов или грассманиане впервые был изучен Эресмана (1934) , и аналог для более общих полупростых алгебраических групп был изучен Chevalley (1958) . Верма (1968) начал комбинаторное исследование порядка Брюа на группе Вейля и ввел название «порядок Брюа» из-за связи с разложением Брюа, введенным Франсуа Брюа .
Левый и правый слабые порядки Брюа были изучены Бьёрнером ( 1984 ).
Определение
Если ( W , S ) представляет собой систему Косетер с образующими S , то Брюа порядок частичный порядок на группе W . Напомним , что приведенное слово для элемента ш из W является минимальным выражением длина ж как произведение элементов S , а длина ℓ ( ж ) от ж длина уменьшенном слова.
- (Сильный) порядок Брюа определяется как u ≤ v, если некоторая подстрока некоторого (или каждого) сокращенного слова для v является сокращенным словом для u . (Обратите внимание, что здесь подстрока не обязательно является последовательной подстрокой.)
- Слабый левый (Брюа) порядок определяется как u ≤ L v, если некоторая конечная подстрока некоторого сокращенного слова для v является сокращенным словом для u .
- Слабый правый (Брюа) порядок определяется как u ≤ R v, если некоторая начальная подстрока некоторого сокращенного слова для v является сокращенным словом для u .
Дополнительные сведения о слабых порядках см. В статье « Слабый порядок перестановок» .
Граф Брюа
Граф Брюа - это ориентированный граф, связанный с (сильным) порядком Брюа. Множество вершин - это множество элементов группы Кокстера, а множество ребер состоит из направленных ребер ( u , v ), если u = tv для некоторого отражения t и ℓ ( u ) < ℓ ( v ). Можно рассматривать граф как ориентированный граф с метками ребер с метками ребер, исходящими из набора отражений. (Можно также определить граф Брюа, используя умножение справа; как графы, результирующие объекты изоморфны, но разметка ребер отличается.)
Сильный порядок Брюа на симметрической группе (перестановки) имеет функцию Мёбиуса, заданную формулой , и, таким образом, этот чум является эйлеровым, что означает, что его функция Мёбиуса порождается функцией ранга на чугуре.
Рекомендации
- Бьёрнер, Андерс (1984), «Упорядочения групп Кокстера» , в Greene, Curtis (ed.), Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983) , Contemp. Math., 34 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 175–195, ISBN 978-0-8218-5029-9, Руководство по ремонту 0777701
- Бьёрнер, Андерс; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для выпускников по математике, 231 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 3-540-27596-7 , ISBN 978-3-540-44238-7, MR 2133266
- Chevalley, C. (1958), "Sur les décompositions cellulaires des espaces G / B", в Haboush, William J .; Паршалл, Брайан Дж. (Ред.), Алгебраические группы и их обобщения: классические методы (University Park, PA, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., 56 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–23, ISBN 978-0-8218-1540-3, MR 1278698
- Эресмана, Чарльз (1934), "Sur ла Topologie де Certains Espaces Homogènes", Анналы математики , второй серии (на французском языке), Annals математики, 35 (2): 396-443, DOI : 10,2307 / 1968440 , ISSN 0003- 486X , JFM 60.1223.05 , JSTOR 1968440
- Верма, Дая-Нанд (1968), "Структура некоторых индуцированных представлений комплексных полупростых алгебр Ли", Бюллетень Американского математического общества , 74 : 160–166, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1968-11921-4 , ISSN 0002-9904 , MR 0218417