В алгебраической геометрии , А многообразие Шуберта определенная Подмногообразие из грассманиана , как правило , с особыми точками . Как грассманиане, это своего рода пространства модулей , чьи точки соответствуют определенным видам подпространств V , определяются с помощью линейной алгебры , внутри фиксированного векторного подпространства W . Здесь W может быть векторным пространством над произвольным полем , но чаще всего над комплексными числами .
Типичным примером является множество Х , точки которого соответствуют тем 2-мерных подпространств V из 4-мерного векторного пространства W , таким образом, что V нетривиально пересекает фиксированный (ссылка) 2-мерное подпространство W 2 :
Над полем действительных чисел это можно изобразить в обычном xyz- пространстве следующим образом. Замена подпространства с их соответствующими проективными пространствами и пересекаясь с аффинной координатой участка , мы получаем открытое подмножество Х ° ⊂ X . Это изоморфно набору всех прямых L (не обязательно через начало координат), которые пересекаются с осью x . Каждая такая линия L соответствует точке X °, а непрерывное перемещение L в пространстве (при сохранении контакта с осью x ) соответствует кривой в X °. Поскольку есть три степени свободы в перемещенииL (перемещение точки по оси x , вращение и наклон), X - трехмерное вещественное алгебраическое многообразие . Однако, когда L равен х Оу, она может быть повернута или наклонена вокруг любой точки на оси, и этот избыток возможных движений делает L особой точку X .
В более общем смысле, многообразие Шуберта определяется путем определения минимальной размерности пересечения k -мерного V с каждым из пространств в фиксированном эталонном флаге , где . (В приведенном выше примере это означало бы необходимость определенных пересечений линии L с осью x и плоскостью xy .)
В еще большей общности для полупростой алгебраической группы G с борелевской подгруппой B и стандартной параболической подгруппой P известно, что однородное пространство X = G / P , которое является примером многообразия флагов , состоит из конечного числа B -орбит , которые могут быть параметризованные некоторых элементов группы Вейля W . Замыкание B- орбиты, ассоциированной с элементом w группы Вейля, обозначается X w и называется многообразием Шуберта вG / P . Классический случай соответствует G = SL п и Р является к - й максимальная параболическая подгруппа группы G .
Значение [ править ]
Многообразия Шуберта составляют один из наиболее важных и наиболее изученных классов особых алгебраических многообразий . Определенная мера особенности многообразий Шуберта обеспечивается многочленами Каждана – Люстига , кодирующими их локальные когомологии пересечений Горески – Макферсона .
Алгебры регулярных функций на многообразиях Шуберта имеют глубокое значение в алгебраической комбинаторике и являются примерами алгебр с законом выпрямления . (Ко) гомологии грассманиана и, в более общем смысле, более общих многообразий флагов имеют базис, состоящий из классов (ко) гомологий многообразий Шуберта, циклов Шуберта . Изучение теории пересечений на грассманиане было начато Германом Шубертом и продолжено Цойтеном в 19 веке под заголовком перечислительной геометрии . Дэвид Гильберт счел эту территорию достаточно важной, чтобы включить ее в пятнадцатую годовщину его знаменитого23 задачи . Исследование продолжилось в 20-м веке как часть общего развития алгебраической топологии и теории представлений , но ускорилось в 1990-х, начиная с работы Уильяма Фултона о локусах вырождения и многочленах Шуберта , продолжив более ранние исследования Бернштейна - Гельфанда - Гельфанд и Демазюра в теории представлений в 1970 - х годах, Ласка и Шютценберже в комбинаторике в 1980 - х годах, и Фултон и Макферсон в теории пересечений сингулярных алгебраических многообразий, также в 1980-х гг.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- П.А. Гриффитс, Дж. Э. Харрис, Принципы алгебраической геометрии , Wiley (Interscience) (1978)
- А.Л. Онищик (2001) [1994], «Многообразие Шуберта» , Энциклопедия математики , EMS Press
- H. Schubert, Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume trustbiger Dimension Mitt. Математика. Gesellschaft Hamburg, 1 (1889) стр. 134–155.
