Перечислительная геометрия

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , исчислительная геометрия является ветвью алгебраической геометрии , связанной с подсчетом числа решений геометрических вопросов, главным образом , с помощью теории пересечений .

История [ править ]

Круги Аполлония

Проблема Аполлония является одним из самых ранних примеров перечислительной геометрии. Эта задача требует количества и построения окружностей, которые касаются трех заданных окружностей, точек или прямых. В общем, задача для трех заданных окружностей имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 2 ³ , причем каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако для особого расположения данных кругов количество решений также может быть любым целым числом от 0 (без решений) до шести; нет аранжировки, для которой существует семь решений проблемы Аполлония.

Ключевые инструменты [ править ]

Ряд инструментов, от простых до более сложных, включают:

Подсчет размеров
Теорема Безу
Исчисление Шуберта и более общие характеристические классы в когомологиях
Связь подсчета пересечений с когомологиями есть двойственность Пуанкаре
Изучение пространств модулей кривых, отображений и других геометрических объектов, иногда с помощью теории квантовых когомологий . Изучение квантовых когомологий , инвариантов Громова – Виттена и зеркальной симметрии дало значительный прогресс в гипотезе Клеменса .

Перечислительная геометрия очень тесно связана с теорией пересечений .

Исчисление Шуберта [ править ]

Счетная геометрия получила впечатляющее развитие к концу девятнадцатого века под руководством Германа Шуберта . ^[1] Он ввел с этой целью исчисление Шуберта , которое доказало свою фундаментальную геометрическую и топологическую ценность в более широких областях. Конкретные потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока в 1960-х и 1970-х годах им не было уделено дополнительное внимание (как, например, указал Стивен Клейман ). Числа пересечений были строго определены ( Андре Вейлем в рамках его основополагающей программы на 1942–1942 гг., А затем снова), но это не исчерпывало надлежащую область перечислительных вопросов.

Факторы выдумки и пятнадцатая проблема Гильберта [ править ]

Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу дает неверные результаты, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели расплывчатые « ложные факторы », которые были строго оправданы лишь десятилетия спустя.

В качестве примера посчитайте конические сечения, касающиеся пяти заданных прямых на проективной плоскости . ^[2] Коники составляют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов в качестве однородных координат , а пять точек определяют конику , если точки находятся в общем линейном положении , поскольку прохождение через данную точку накладывает линейное условие. Точно так же касание к данной прямой L (касание - это пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, таким образом определяя квадрику в P ⁵ . Однако линейная система дивизоровсостоящая из всех таких квадрик, не лишена базового годографа . Фактически каждая такая квадрика содержит поверхность Веронезе , которая параметризует коники

( aX + bY + cZ ) ² = 0

называется «двойными линиями». Это происходит потому , что дабл пересекает линия , каждая линия на плоскости, так как линии в проективной плоскости пересекаются, с кратностью два , потому что она в два раза, и , таким образом , удовлетворяет тому же условию пересечение (пересечение кратности два) , как невырожденная коника , то есть касательной к линия.

Общая теорема Безу говорит, что 5 общих квадрик в 5-пространстве будут пересекаться в 32 = 2 ⁵ точках. Но соответствующие квадрики здесь не в общем положении . Из 32 нужно вычесть 31 и отнести к веронезе, чтобы получить правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс отнесения пересечений к «вырожденным» случаям является типичным геометрическим введением « выдумки». фактор ».

Пятнадцатая проблема Гильберта заключалась в том, чтобы преодолеть явно произвольный характер этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки фундаментального вопроса самого исчисления Шуберта.

Гипотеза Клеменса [ править ]

В 1984 г. Х. Клеменс изучил подсчет числа рациональных кривых на квинтике трехмерного многообразия и пришел к следующей гипотезе. ${\ Displaystyle X \ подмножество P ^ {4}}$

Пусть есть общая квинтика трехмерного многообразия, натуральное число, тогда существует только конечное число рациональных кривых со степенью на .

{\ Displaystyle X \ подмножество P ^ {4}}

{\ displaystyle d}

{\ displaystyle d}

{\ displaystyle X}

Эта гипотеза была разрешена в случае , но все еще открыта для дальнейшего . $d\leq 9$ $d$

В 1991 г. в статье ^[3] о зеркальной симметрии на квинтике с точки зрения теории струн приведены числа рациональных кривых степени d для всех . До этого алгебраические геометры могли вычислять эти числа только для . $P^{4}$ $X$ $d>0$ $d\leq 5$

Примеры [ править ]

Некоторые из исторически важных примеров перечислений в алгебраической геометрии включают:

2 Количество линий, пересекающихся с 4 общими линиями в пространстве
8 Число касательных окружностей к трем общим окружностям ( проблема Аполлония ).
27 Количество линий на гладкой кубической поверхности ( Салмон и Кэли )
2875 Число строк на общей квинтике тройной
3264 Количество коник, касательных к 5 плоским коникам общего положения ( Chasles )
609250 Число коник на общей квинтике трехмерной
4407296 Число коник, касательных к 8 общим квадратичным поверхностям Fulton (1984 , стр. 193)
666841088 Количество квадратичных поверхностей, касательных к 9 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-пространстве ( Schubert 1879 , p.106) ( Fulton 1984 , p. 193)
5819539783680 Число скрученных кубических кривых, касательных к 12 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-пространстве ( Schubert 1879 , p.184) (S. Kleiman , SA Strømme & S. Xambó 1987 )

Ссылки [ править ]

^ Шуберт, Х. (1979) [1879]. Kalkül der abzählenden Geometrie .
^ Фултон, Уильям (1984). «10,4». Теория пересечения . ISBN 0-387-12176-5.
^ * Канделас, Филипп ; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Парки, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. DOI : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90292-6 .

Kleiman, S .; Strømme, SA; Шамбо, С. (1987), "Набросок проверки числа Шуберта 5819539783680 скрученных кубиков", Пространственные кривые (Рокка ди Папа, 1985) , Конспект лекций по математике, 1266 , Берлин: Springer, стр. 156–180, DOI : 10.1007 / BFb0078183 , ISBN 978-3-540-18020-3, Руководство по ремонту 0908713
Schubert, Hermann (1979) [1879], Kleiman, Steven L. (ed.), Kalkül der abzählenden Geometrie , Перепечатка оригинала 1879 года (на немецком языке), Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-09233-1, Руководство по ремонту 0555576

Внешние ссылки [ править ]

Башелор, Эндрю; Ксир, Эми; Травес, Уилл (2008). «Перечислительная алгебраическая геометрия коник» . Амер. Математика. Ежемесячно . 115 (8): 701–7. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920584 . JSTOR 27642583 .

[1] Шуберт, Х. (1979) [1879]. Kalkül der abzählenden Geometrie .

[2] Фултон, Уильям (1984). «10,4». Теория пересечения . ISBN 0-387-12176-5.

[3] * Канделас, Филипп ; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Парки, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. DOI : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90292-6 .

[1]