В математике , в частности , в симплектической топологии и алгебраической геометрии , Громова-Виттена ( GW ) инварианты являются рациональными числами , что в некоторых ситуациях, рассчитывать псевдоголоморфных кривые , отвечающие заданным условиям в данном симплектическом многообразии . Инварианты GW может быть упакованы в виде гомологии или когомологии класса в соответствующем пространстве, или в виде деформированной чашки продукта из квантовых когомологий. Эти инварианты использовались для различения симплектических многообразий, которые ранее были неразличимы. Они также играют решающую роль в теории струн закрытого типа IIA . Они названы в честь Михаила Громова и Эдварда Виттена .
Строгое математическое определение инвариантов Громова – Виттена длинно и сложно, поэтому оно рассматривается отдельно в статье о стабильных картах. В этой статье предпринята попытка более интуитивного объяснения того, что означают инварианты, как они вычисляются и почему они важны.
Определение
Учтите следующее:
- X : замкнутое симплектическое многообразие размерности 2 k ,
- A : двумерный класс гомологии в X ,
- g : неотрицательное целое число,
- n : неотрицательное целое число.
Теперь определим инварианты Громова – Виттена, ассоциированные с набором из 4: ( X , A , g , n ). Позволятьбыть в Делине-Мамфорд пространства модулей кривых рода г с п отмеченных точками иобозначим пространство модулей стабильных отображений в X класса A для некоторой выбранной почти комплексной структуры J на X, согласованной с ее симплектической формой. Элементы имеют вид:
- ,
где C - (не обязательно устойчивая) кривая с n отмеченными точками x 1 , ..., x n и f : C → X псевдоголоморфна. Пространство модулей имеет реальную размерность
Позволять
обозначают стабилизацию кривой. Позволять
который имеет реальное измерение . Есть оценочная карта
Карта оценки посылает фундаментальный класс изв d -мерный класс рациональных гомологий в Y , обозначаемый
В некотором смысле, этот класс гомологии является Громова-Виттена из X для данных г , п , и . Это инвариант симплектической изотопии класса симплектического многообразия X .
Для геометрической интерпретации инварианта Громова – Виттена пусть β - класс гомологий в а также классы гомологии в X , такие, что сумма коразмерностейравно d . Они индуцируют классы гомологий в Y по формуле Кюннета . Позволять
где обозначает продукт пересечения в рациональной гомологии Y . Это рациональное число, инвариант Громова – Виттена для данных классов. Это число дает "виртуальный" подсчет числа псевдоголоморфных кривых (в классе A , рода g , с областью определения в β-части пространства Делиня – Мамфорда), n отмеченных точек которых отображаются в циклы, представляющие.
Проще говоря, подсчитывает инвариантную GW сколько кривых есть , что пересекается п выбранных подмногообразии X . Однако из-за «виртуального» характера подсчета оно не обязательно должно быть натуральным числом, как можно было бы ожидать от подсчета. Ведь пространство стабильных отображений - это орбифолд , точки изотропии которого могут вносить нецелочисленные значения в инвариант.
Существует множество вариантов этой конструкции, в которых когомологии используются вместо гомологий, интегрирование заменяет пересечение, классы Черна, извлеченные из пространства Делиня – Мамфорда, также интегрируются и т. Д.
Вычислительные методы
Инварианты Громова – Виттена, как правило, трудно вычислить. В то время как они определены для любой родовой почти комплексной структуры J , для которых линеаризации D изоператор сюръективны , они фактически должны быть вычислены по отношению к конкретному, выбранному Дж . Удобнее всего выбирать J с особыми свойствами, такими как неуниверсальные симметрии или интегрируемость. Действительно, вычисления часто выполняются на кэлеровых многообразиях с использованием техники алгебраической геометрии.
Однако специальный J может индуцировать несюръективное D и, следовательно, пространство модулей псевдоголоморфных кривых, которое больше, чем ожидалось. Грубо говоря, один корректирует этот эффект пути формирования из коядра из D векторного расслоения , называется обструкция расслоение , а затем реализация инварианта GW как интеграл от класса Эйлера обструкции пучка. Чтобы сделать эту идею точной, требуется серьезный технический аргумент с использованием структур Кураниши .
Основная вычислительная техника - локализация . Это применимо, когда X является торическим , что означает, что на него действует комплексный тор или, по крайней мере, локально торический. Тогда можно использовать теорему Атия-Ботт с фиксированной точкой , из Атия и Рауль Ботт , чтобы уменьшить или локализовать, вычисление инварианта GW для интегрирования по фиксированной точке локуса действия.
Другой подход - использовать симплектические операции, чтобы связать X с одним или несколькими другими пространствами, чьи инварианты GW вычислить легче. Конечно, сначала нужно понять, как инварианты ведут себя при операциях. Для таких приложений часто используются более сложные относительные инварианты GW , которые подсчитывают кривые с заданными условиями касания вдоль симплектического подмногообразия в X вещественной коразмерности два.
Связанные инварианты и другие конструкции
Инварианты GW тесно связаны с целым рядом других понятий в геометрии, в том числе инвариантов Дональдсона и Зайберг-Виттене симплектической категории и теории Donaldson-Томас в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырехмерных многообразий Клиффорд Таубс показал, что один из вариантов GW-инвариантов (см . Инвариант Громова Таубса ) эквивалентен инвариантам Зайберга – Виттена. Предполагается, что для трехмерных алгебраических многообразий они содержат ту же информацию, что и целочисленные инварианты Дональдсона – Томаса . Физические соображения также приводят к инвариантам Гопакумара – Вафы , которые предназначены для подсчета целых чисел, лежащих в основе типично рациональной теории Громова-Виттена. Инварианты Гопакумара-Вафа в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из основных проблем в данной области.
Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть полностью определены в рамках алгебраической геометрии. Классическая перечислительная геометрия плоских кривых и рациональных кривых в однородных пространствах фиксируется инвариантами GW. Однако главное преимущество инвариантов GW по сравнению с классическими перечислительными счетчиками состоит в том, что они инвариантны относительно деформаций сложной структуры цели. Инварианты GW также дают деформации структуры произведения в кольце когомологий симплектического или проективного многообразия; их можно организовать, чтобы построить кольцо квантовых когомологий многообразия X , которое является деформацией обычных когомологий. Ассоциативность деформированного продукта по существу является следствием автомодельной природы пространства модулей стабильных отображений, которые используются для определения инвариантов.
Кольцо квантовых когомологий, как известно, изоморфно симплектическим гомологиям Флоера с их произведением пары штанов.
Применение в физике
Инварианты GW представляют интерес для теории струн - раздела физики, который пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику . Согласно этой теории, все во Вселенной, начиная с элементарных частиц , состоит из крошечных струн . Когда струна движется в пространстве-времени, она очерчивает поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере априори , бесконечномерно; подходящая мера на этом пространстве неизвестна, и поэтому интегралы по путям теории не имеют строгого определения.
Ситуация улучшается в варианте, известном как закрытая А-модель . Здесь есть шесть пространственно-временных измерений, которые составляют симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризуются псевдоголоморфными кривыми, пространства модулей которых только конечномерны. Инварианты GW, как интегралы по этим пространствам модулей, в этом случае являются интегралами по путям теории. В частности, свободная энергия A-модели рода g является производящей функцией инвариантов рода g GW.
Смотрите также
- Котангенс-комплекс - для теории деформации
- Исчисление Шуберта
Рекомендации
- Макдафф, Дуса и Саламон, Дитмар (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология . Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 0-8218-3485-1. Аналитически приправленный обзор инвариантов Громова – Виттена и квантовых когомологий для симплектических многообразий, очень технически полный
- Пиунихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Маттиас (1996). «Симплектическая теория Флоера – Дональдсона и квантовые когомологии». Томас, CB (ред.). Контактная и симплектическая геометрия . Издательство Кембриджского университета . стр. 171 -200. ISBN 0-521-57086-7.
дальнейшее чтение
- Пространства модулей стабильных отображений рода один, виртуальные классы и упражнение по теории пересечений - Андреа Тирелли
- Коцк, Иоахим; Вайнсенчер, Израиль (2007). Приглашение к квантовым когомологиям: формула Концевича для рациональных плоских кривых . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-8176-4456-7.CS1 maint: postscript ( ссылка )Хорошее введение с историей и упражнениями к формальному понятию пространства модулей , подробно рассматривает случай проективных пространств с использованием основ на языке схем .
- Вакил, Рави (2006). "Пространство модулей кривых и теория Громова – Виттена" . arXiv : math / 0602347 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )