В математике, особенно в алгебраической геометрии , теория Дональдсона – Томаса - это теория инвариантов Дональдсона – Томаса . Учитывая компактное пространство модулей из пучков на Калаби-Яу в три раза, его Donaldson-Томас инвариант является виртуальным число ее точек, т.е. интеграл от класса когомологий 1 против виртуального фундаментального класса . Инвариант Дональдсона – Томаса является голоморфным аналогом инварианта Кассона . Инварианты были введены Саймоном Дональдсоном и Ричардом Томасом ( 1998 г.). Инварианты Дональдсона – Томаса тесно связаны с инвариантами Громова – Виттена трехмерных алгебраических многообразий и теорией стабильных пар Рахула Пандхарипанде и Томаса.
Теория Дональдсона – Томаса физически мотивирована определенными состояниями BPS, которые встречаются в теории струн и калибровочной теории . [ требуется разъяснение ]
Определение и примеры
Основная идея инвариантов Громова – Виттена состоит в том, чтобы исследовать геометрию пространства путем изучения псевдоголоморфных отображений римановых поверхностей в гладкую мишень. Стек модулей всех таких отображений допускает виртуальный фундаментальный класс, и теория пересечений на этом стеке дает числовые инварианты, которые часто могут содержать перечислительную информацию. В том же духе подход теории Дональдсона – Томаса заключается в изучении кривых в трехмерном алгебраическом пространстве с помощью их уравнений. Точнее, изучая идеальные пучки на пространстве. Это пространство модулей также допускает виртуальный фундаментальный класс и дает определенные числовые инварианты, которые являются перечислительными.
В то время как в теории Громова – Виттена отображениям разрешено быть множественными покрытиями и сжатыми компонентами кривой области, теория Дональдсона – Томаса допускает нильпотентную информацию, содержащуюся в пучках, однако это целочисленные инварианты. Существуют глубокие гипотезы Давеша Маулика , Андрея Окунькова , Никиты Некрасова и Рахула Пандхарипанде , которые во все большей степени доказали, что теории трехмерных алгебраических многообразий Громова – Виттена и Дональдсона – Томаса на самом деле эквивалентны. [1] Более конкретно, их производящие функции равны после соответствующей замены переменных. Для трехмерных многообразий Калаби – Яу инварианты Дональдсона – Томаса могут быть сформулированы как взвешенная эйлерова характеристика на пространстве модулей. Также недавно были установлены связи между этими инвариантами, мотивной алгеброй Холла и кольцом функций на квантовом торе. [ требуется разъяснение ]
- Пространство модулей прямых на трехмерном многообразии пятой степени представляет собой дискретный набор из 2875 точек. Виртуальное количество точек - это фактическое количество точек, и, следовательно, инвариант Дональдсона – Томаса этого пространства модулей равен целому числу 2875.
- Аналогично, инвариант Дональдсона – Томаса пространства модулей коник на квинтике равен 609250.
Факты
- Донолдсон-Томас инвариант пространства модулей М равен взвешенный Эйлер характеристику из М . Весовая функция сопоставляет каждой точке в M аналог числа Милнора гиперплоской особенности.
Обобщения
- Вместо пространств модулей пучков рассматриваются пространства модулей объектов производных категорий . Это дает инварианты Пандхарипанде – Томаса, которые подсчитывают стабильные пары трехмерного многообразия Калаби – Яу.
- Вместо целочисленных инвариантов рассматриваются мотивные инварианты.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Maulik, D .; Некрасов, Н .; Окуньков, А .; Пандхарипанде, Р. (2006). "Теория Громова – Виттена и теория Дональдсона – Томаса, I". Compositio Mathematica . 142 (5): 1263–1285. arXiv : math / 0312059 . DOI : 10.1112 / S0010437X06002302 .
- Дональдсон, Саймон К .; Томас, Ричард П. (1998), "Калибровочная теория в высших измерениях", в Huggett, SA; Мейсон, ЖЖ; Тод, КП; Цоу, СТ; Woodhouse, NMJ (ред.), Геометрическая вселенная (Oxford, 1996) , Oxford University Press , стр. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9, Руководство по ремонту 1634503
- Концевич, Максим (2007), Инварианты Дональдсона – Томаса (PDF) , Mathematische Arbeitstagung, Бонн