Мотив (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии , мотивы (иногда мотивы , после французского использования) является теория , предложенная Гротендик в 1960 - х годах , чтобы объединить широкий спектр так же вели себя теорий когомологий таких как сингулярных когомологий , когомологий де Рама , этальной когомологиях и кристаллических когомологий . С философской точки зрения «мотив» - это «когомологическая сущность» разнообразия.

В формулировке Гротендик для гладких проективных многообразий, мотив является тройным , где Х представляет собой гладкое проективное многообразие, является идемпотентной перепиской и т в целом числе , однако, такой тройные почти не содержит информацию , вне контекста Гротендик категории из чистые мотивы, где морфизм от до задается соответствием степени . Более объектно-ориентированный подход используется Пьером Делинем в Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . В этой статье мотив - это «система реализаций», то есть кортеж ${\ displaystyle (X, p, m)}$${\ displaystyle p: X \ vdash X}$${\ displaystyle (X, p, m)}$${\ displaystyle (Y, q, n)}$${\ displaystyle nm}$

${\displaystyle \left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)}$

состоящий из модулей

${\displaystyle M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}}$

над кольцами

${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},}$

соответственно, различные изоморфизмы сравнения

${\displaystyle \operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}$

между очевидными базовыми изменениями этих модулей, фильтраций , в -действию на и «Фробениуса» автоморфизме из . Эти данные моделируются на основе когомологий гладкого проективного многообразия, а также структур и совместимости, которые они допускают, и дают представление о том, какая информация содержится в мотиве.${\displaystyle W,F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M_{\mathbb {A} ^{f}},}$ ${\displaystyle \phi _{p}}$${\displaystyle M_{\operatorname {cris} ,p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Введение [ править ]

Теория мотивов была первоначально предположила , как попытку унифицировать быстро умножающий массив теорий когомологий, в том числе Бетти когомологий , когомологии де Рама , л -адических когомологий и кристаллические когомологии . Все надеются, что уравнения вида

• [точка]
• [проективная линия] = [линия] + [точка]
• [проективная плоскость] = [плоскость] + [линия] + [точка]

можно поставить на все более прочную математическую основу с глубоким смыслом. Конечно, вышеприведенные уравнения уже известны как истинные во многих смыслах, например, в смысле CW-комплекса, где «+» соответствует присоединению ячеек, и в смысле различных теорий когомологий, где «+» соответствует прямая сумма.

С другой точки зрения, мотивы продолжают последовательность обобщений от рациональных функций на многообразиях до дивизоров на многообразиях и групп Чжоу многообразий. Обобщение происходит в более чем одном направлении, поскольку мотивы могут рассматриваться в отношении большего количества типов эквивалентности, чем рациональной эквивалентности. Допустимые эквивалентности задаются определением адекватного отношения эквивалентности .

Определение чистых мотивов [ править ]

Категории чистых мотивов часто протекает в три этапа. Ниже мы опишем случай мотивов Чжоу , где k - любое поле.${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Первый шаг: категория соответствия (степень 0), ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$[ править ]

Объектами являются просто гладкие проективные многообразия над k . Морфизмы - это соответствия . Они обобщают морфизмы многообразий , которые могут быть связаны с их графами в , на фиксированные размерные циклы Чжоу на .${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$

Будет полезно описывать соответствия произвольной степени, хотя морфизмы в являются соответствиями степени 0. Подробно пусть X и Y - гладкие проективные многообразия, и рассмотрим разложение X на компоненты связности:${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle X=\coprod \nolimits _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.}$

Если , то соответствия степени r от X до Y равны${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus \nolimits _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),}$

где обозначает чжоу-циклы коразмерности k . Соответствия часто обозначается с помощью «⊢» -notation, например, . Для любых и их состав определяется${\displaystyle A^{k}(X)}$${\displaystyle \alpha :X\vdash Y}$${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}$${\displaystyle \beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}$

где точка обозначает произведение в кольце Чжоу (т.е. пересечение).

Возвращаясь к построению категории, заметим, что композиция соответствий степени 0 - это степень 0. Следовательно, мы определяем морфизмы как соответствия степени 0.${\displaystyle \operatorname {Corr} (k),}$${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

Следующая ассоциация является функтором (здесь обозначает график ):${\displaystyle \Gamma _{f}\subseteq X\times Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}$

Так же, как в категории есть прямые суммы ( X ⊕ Y  : = X ∐ Y ) и тензорные произведения ( X ⊗ Y  : = X × Y ). Это предаддитивная категория . Сумма морфизмов определяется формулой${\displaystyle \operatorname {SmProj} (k),}$${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}$

Второй шаг: категория чисто эффективных мотивов чау, ${\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)}$[ править ]

Переход к мотивам производится путем взятия псевдо-абелева конверт из :${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=Split(\operatorname {Corr} (k))}$.

Другими словами, эффективные мотивы Чжоу - это пары гладких проективных многообразий X и идемпотентных соответствий α: X ⊢ X , причем морфизмы имеют определенный тип соответствия:

${\displaystyle \operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )|(\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.}$

Композиция выше определенного состава соответствий, и тождественный морфизм ( X , & alpha ; ) определяется как α  : X ⊢ Х .

Ассоциация,

${\displaystyle h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}$,

где Δ _X  : = [ id _X ] обозначает диагональ X × X , - функтор. Мотив [ X ] часто называют мотивом, связанным с многообразием X.

Как и предполагалось, Chow ^eff ( k ) - псевдоабелева категория . Прямая сумма эффективных мотивов определяется выражением

${\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}$

Тензорное произведение эффективных мотивов определяется

${\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}$

куда

${\displaystyle \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.}$

Также можно определить тензорное произведение морфизмов. Пусть f ₁  : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) и f ₂  : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) - морфизмы мотивов. Тогда пусть γ ₁ ∈ A ^* ( X ₁ × Y ₁ ) и γ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ ×Y ₂ ) быть представителями f ₁ и f ₂ . потом

${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}$,

где π _i  : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i - проекции.

Третий шаг: категория чистых мотивов чау, чау ( k ) [ править ]

Чтобы перейти к мотивам, мы присоединяем к Chow ^eff ( k ) формальный обратный (по отношению к тензорному произведению) мотив, называемый мотивом Лефшеца . В результате мотивы становятся не парами, а тройками. Lefschetz мотив L является

${\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})}$.

Если мы определим мотив 1 , называемый тривиальным мотивом Тейта , как 1  : = h (Spec ( k )), тогда элегантное уравнение

${\displaystyle [\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}$

имеет место, поскольку

${\displaystyle \mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).}$

Тензор, обратный мотиву Лефшеца, известен как мотив Тейта , T  : = L ⁻¹ . Затем мы определяем категорию чистых мотивов Чжоу как

${\displaystyle \operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]}$.

Мотив тогда тройной

${\displaystyle (X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )}$

такие, что морфизмы задаются соответствиями

${\displaystyle f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,}$

а композиция морфизмов происходит из композиции соответствий.

По задумке, это жесткая псевдоабелева категория.${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Другие типы мотивов [ править ]

Чтобы определить продукт пересечения, циклы должны быть «подвижными», чтобы мы могли пересекать их в общем положении. Выбор подходящего отношения эквивалентности на циклах гарантирует, что каждая пара циклов имеет эквивалентную пару в общем положении, которую мы можем пересечь. Группы Чоу определяются с использованием рациональной эквивалентности, но возможны и другие эквивалентности, каждая из которых определяет свой мотив. Примеры эквивалентности, от самой сильной к самой слабой:

• Рациональная эквивалентность
• Алгебраическая эквивалентность
• Эквивалентность Smash-nilpotence (иногда называемая эквивалентностью Воеводского)
• Гомологическая эквивалентность (в смысле когомологий Вейля)
• Числовая эквивалентность

В литературе иногда называют каждый тип чистого мотива мотивом Чжоу, и в этом случае мотив в отношении алгебраической эквивалентности будет называться мотивом Чжоу по модулю алгебраической эквивалентности .

Смешанные мотивы [ править ]

Для фиксированного базового поля k категория смешанных мотивов является гипотетической абелевой тензорной категорией вместе с контравариантным функтором${\displaystyle MM(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (k)\to MM(k)}$

принятие значений на всех разновидностях (а не только на гладких проективных, как в случае с чистыми мотивами). Это должно быть так, чтобы мотивационные когомологии, определяемые

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}$

совпадает с предсказанным алгебраической K-теорией и содержит категорию мотивов Чжоу в подходящем смысле (и другие свойства). О существовании такой категории высказал Александр Бейлинсон .

Вместо построения такой категории Делинь предложил сначала построить категорию DM, обладающую свойствами, которые ожидаются от производной категории.

${\displaystyle D^{b}(MM(k))}$.

Получение MM обратно от DM будет тогда достигнуто с помощью (предположительной) мотивационной t-структуры .

Текущее состояние теории таково, что у нас есть подходящая категория DM . Уже сейчас эта категория полезна в приложениях. Воеводский «s Medal Поля выигрывающего доказательство гипотезы Милнора использует эти мотивы в качестве ключевого ингредиента.

Есть разные определения из-за Ханамуры, Левина и Воеводского. Как известно, в большинстве случаев они эквивалентны, и ниже мы дадим определение Воеводского. Категория содержит мотивы Чжоу как полную подкатегорию и дает «правильные» мотивационные когомологии. Однако Воеводский также показывает, что (с интегральными коэффициентами) он не допускает мотивационной t-структуры.

Геометрические смешанные мотивы [ править ]

Обозначение [ править ]

Здесь мы зафиксируем поле k характеристики0 и пусть будет наше кольцо коэффициентов. Набор в качестве категории квазипроективных многообразий над k - это разделимые схемы конечного типа. Мы также позволим быть подкатегорией гладких многообразий.${\displaystyle A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {Var}}/k}$${\displaystyle {\mathcal {Sm}}/k}$

Гладкие разновидности с соответствиями [ править ]

Учитывая гладкое многообразие X и многообразие Y называет интегральную замкнутую подсхему , которая конечна над X и сюръективная над компонентом Y простой корреспонденцией от X к Y . Затем мы можем взять множество простых соответствий из X в Y и построить свободный A -модуль . Его элементы называются конечными соответствиями . Тогда мы можем сформировать аддитивную категорию${\displaystyle W\subset X\times Y}$${\displaystyle C_{A}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {SmCor}}}$объекты которого являются гладкими многообразиями, а морфизмы задаются гладкими соответствиями. Единственная нетривиальная часть этого «определения» - это то, что нам нужно описывать композиции. Они задаются двухтактной формулой теории колец Чоу.

Примеры соответствий [ править ]

Типичные примеры простых соответствий происходят из графа морфизма многообразий .${\displaystyle \Gamma _{f}\subset X\times Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

Локализация категории гомотопий [ править ]

Отсюда мы можем образовать гомотопическую категорию ограниченных комплексов гладких соответствий. Здесь мы будем обозначать гладкие многообразия . Если мы локализуем эту категорию относительно наименьшей толстой подкатегории (то есть замкнутой относительно расширений), содержащей морфизмы${\displaystyle K^{b}({\mathcal {SmCor}})}$${\displaystyle [X]}$

${\displaystyle [X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]}$

и

${\displaystyle [U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}$

тогда мы можем сформировать триангулированную категорию эффективных геометрических мотивов. Отметим, что первый класс морфизмов является локализирующими -гомотопиями многообразий, а второй класс дает категорию геометрических смешанных мотивов последовательность Майера – Виеториса .${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Также обратите внимание, что эта категория имеет тензорную структуру, заданную произведением разновидностей, поэтому .${\displaystyle [X]\otimes [Y]=[X\times Y]}$

Обращение к мотиву Тейта [ править ]

Используя триангулированную структуру, мы можем построить треугольник

${\displaystyle \mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}}$

с канонической карты . Мы установим и назовем это мотивом Тейт . Взяв итеративное тензорное произведение, мы можем построить . Если у нас есть эффективный геометрический мотив M, мы будем обозначать его. Кроме того, он ведет себя функториально и образует триангулированный функтор. Наконец, мы можем определить категорию геометрических смешанных мотивов как категорию пар для M - эффективного геометрического смешанного мотива и n - целого числа, представляющего поворот по мотиву Тейта. Тогда hom-группы суть копредел${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle A(1)=\mathbb {L} [-2]}$${\displaystyle A(k)}$${\displaystyle M(k)}$${\displaystyle M\otimes A(k).}$${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{gm}}$${\displaystyle (M,n)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}$

Примеры мотивов [ править ]

Мотивы Тейт [ править ]

Есть несколько элементарных примеров мотивов, которые легко доступны. Один из них, являющийся мотивами Тейта, обозначается , или , в зависимости от коэффициентов, используемых при построении категории мотивов. Это фундаментальные строительные блоки в категории мотивов, потому что они образуют «другую часть» помимо абелевых разновидностей.${\displaystyle \mathbb {Q} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$${\displaystyle A(n)}$

Мотивы кривых [ править ]

Мотив кривой можно относительно легко понять в явном виде: их кольцо Чоу просто

${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$

для любой гладкой проективной кривой , поэтому якобианы вкладываются в категорию мотивов. Более того, их ${\displaystyle C}$

Объяснение для неспециалистов [ править ]

Обычно в математике применяется методика изучения объектов, несущих определенную структуру, путем введения категории , морфизмы которой сохраняют эту структуру. Тогда можно спросить, когда два заданных объекта изоморфны, и спросить «особенно хорошего» представителя в каждом классе изоморфизма. Классификация алгебраических многообразий, т. Е. Применение этой идеи в случае алгебраических многообразий , очень затруднена из-за сильно нелинейной структуры объектов. Расслабленный вопрос изучения многообразий с точностью до бирационального изоморфизма привел к области бирациональной геометрии . Другой способ решить этот вопрос - присоединить к данной разновидности X объект более линейной природы, то есть объект, поддающийся методамлинейная алгебра , например векторное пространство . Эта «линеаризация» обычно называется когомологиями .

Существует несколько важных теорий когомологий, которые отражают различные структурные аспекты разновидностей. Теория мотивов (частично гипотетическая) - это попытка найти универсальный способ линеаризации алгебраических многообразий, то есть предполагается, что мотивы обеспечивают теорию когомологий, которая воплощает все эти конкретные когомологии. Так , например, род гладкой проективной кривой C , которая является интересным инвариантом кривой, представляет собой целое число, которое может быть считана с размерностью первой Бетти когомологий группы C . Итак, мотив кривой должен содержать информацию о роде. Конечно, род - довольно грубый инвариант, поэтому мотив C это больше, чем просто это число.

Поиск универсальных когомологий [ править ]

Каждому алгебраическому многообразию X соответствует мотив [ X ], поэтому простейшими примерами мотивов являются:

• [точка]
• [проективная линия] = [точка] + [линия]
• [проективная плоскость] = [плоскость] + [линия] + [точка]

Держать это «уравнение» во многих ситуациях, а именно для когомологий де Рамы и Бетти когомологий , л -адических когомологий , числа точек над любым конечным полем , а в мультипликативной записи для локальной дзеты-функций .

Общая идея состоит в том, что один мотив имеет одинаковую структуру в любой разумной теории когомологий с хорошими формальными свойствами; в частности, такими свойствами будет обладать любая теория когомологий Вейля . Существуют разные теории когомологий Вейля, они применяются в разных ситуациях и имеют значения в разных категориях и отражают разные структурные аспекты рассматриваемого разнообразия:

• Когомологии Бетти определены для многообразий над (подполями) комплексных чисел , они имеют то преимущество, что они определены перед целыми числами, и являются топологическим инвариантом.
• когомологии де Рама (для многообразий над ) имеют смешанную структуру Ходжа , это дифференциально-геометрический инвариант${\displaystyle \mathbb {C} }$
• l -адические когомологии (над любым полем характеристики ≠ l) обладают каноническимдействием группы Галуа , т.е. имеют значения в представлениях (абсолютной) группы Галуа
• кристаллические когомологии

Все эти теории когомологий имеют общие свойства, например существование последовательностей Майера-Виеториса , гомотопическую инвариантность произведения X с аффинной линией ) и другие. Более того, они связаны изоморфизмами сравнения, например когомологии Бетти гладкого многообразия X над с конечными коэффициентами изоморфны l -адическим когомологиям с конечными коэффициентами.${\displaystyle H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),}$${\displaystyle H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теория мотивов является попыткой найти универсальную теорию , которая воплощает в себе все эти конкретных когомологии и их структуру и обеспечивает основу для «уравнений» , как

[проективная линия] = [линия] + [точка].

В частности, вычисление мотива любого многообразия X напрямую дает всю информацию о нескольких теориях когомологий Вейля H ^* _Betti ( X ), H ^* _DR ( X ) и т. Д.

Начиная с Гротендика, люди много лет пытались дать точное определение этой теории.

Мотивная когомология [ править ]

Сама мотивационная когомология была изобретена до создания смешанных мотивов с помощью алгебраической K-теории . Вышеупомянутая категория предоставляет удобный способ (пере) определить ее с помощью

${\displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}$

где п и т являются целыми числами , и это м -го тензора мощность объекта Tate который в обстановке Воеводский является комплекс сдвинут на -2, и [N] означает , что обычный сдвиг в триангулированной категории.${\displaystyle \mathbb {Z} (m)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (1),}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt} }$

Домыслы, связанные с мотивами [ править ]

В стандартных домыслы были впервые сформулированы в терминах взаимодействия алгебраических циклов и теорий когомологий Вейля. Категория чистых мотивов обеспечивает категориальную основу для этих предположений.

Стандартные гипотезы обычно считаются очень трудными и в общем случае открытыми. Гротендик и Бомбьери продемонстрировали глубину мотивационного подхода, представив условное (очень короткое и элегантное) доказательство гипотез Вейля (которые различными способами доказал Делинь ), предполагая, что стандартные гипотезы верны.

Например, стандартная гипотеза Кюннета , утверждающая существование алгебраических циклов π ⁱ ⊂ X × X, индуцирующих канонические проекторы H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (для любых когомологий Вейля H ), влечет что каждый чистый мотив М разлагается в градуированных кусках веса п : М = ⊕ Гр _п М . Терминология весапроисходит из аналогичного разложения, скажем, когомологий де-Рама гладких проективных многообразий, см. теорию Ходжа .

Гипотеза D , констатирующая соответствие числовой и гомологической эквивалентности , подразумевает эквивалентность чистых мотивов относительно гомологической и числовой эквивалентности. (В частности, первая категория мотивов не зависела бы от выбора теории когомологий Вейля). Яннсен (1992) доказал следующий безусловный результат: категория (чистых) мотивов над полем абелева и полупроста тогда и только тогда, когда выбранное отношение эквивалентности является числовой эквивалентностью.

Гипотеза Ходжи , может быть аккуратно переформулировать с использованием мотивов: он держит тогда и только тогда к реализации Ходжи отображающей любому чистому мотиву с рациональными коэффициентами (над подполом в ) ее структуру Ходжа является полным функтором (рациональные структуры Ходжи ). Здесь чистый мотив означает чистый мотив в отношении гомологической эквивалентности.${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }}$

Точно так же гипотеза Тэйта эквивалентна: так называемая реализация Тэйта, т.е. ℓ-адические когомологии, является полным функтором (чистые мотивы с точностью до гомологической эквивалентности, непрерывные представления абсолютной группы Галуа базового поля k ), который принимает значения в полупростых представлениях. (Последняя часть автоматическая в случае аналога Ходжа).${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))}$

Таннакианский формализм и мотивационная группа Галуа [ править ]

Чтобы мотивировать (гипотетическую) мотивированную группу Галуа, зафиксируйте поле k и рассмотрите функтор

конечный сепарабельные расширения K из K → непустые конечных множества с (непрерывным) транзитивным действием абсолютной группы Галуа к

который отображает K в (конечное) множество вложений K в алгебраическое замыкание k . В теории Галуа показано, что этот функтор является эквивалентностью категорий. Обратите внимание, что поля 0-мерны. Такого рода мотивы называются мотивами Артина . Путем линеаризации вышеуказанных объектов другой способ выразить сказанное выше - сказать, что мотивы Артина эквивалентны конечным пространствам векторов вместе с действием группы Галуа.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Цель мотивной группы Галуа - распространить указанную выше эквивалентность на многомерные многообразия. Для этого используется технический аппарат теории категорий Таннаки (восходящий к двойственности Таннака – Крейна , но чисто алгебраическая теория). Его цель - пролить свет как на гипотезу Ходжа, так и на гипотезу Тейта , нерешенных вопросов в теории алгебраических циклов . Фиксируем Weil теории когомологий H . Он дает функтор от M _num (чистые мотивы, использующие числовую эквивалентность) до конечномерных${\displaystyle \mathbb {Q} }$-векторные пространства. Можно показать, что первая категория является таннакианской. Предполагая эквивалентность гомологической и числовой эквивалентности, т. Е. Приведенную выше стандартную гипотезу D , функтор H является точным точным тензорным функтором. Применяя Tannakian формализма, один вывод , что М _Num эквивалентна категории представлений о качестве алгебраической группы G , известной как мотивная группа Галуа.

Мотивная группа Галуа является для теории мотивов тем же, чем группа Мамфорда – Тейта для теории Ходжа . Опять же, грубо говоря, гипотезы Ходжа и Тейта являются типами теории инвариантов (пространства, которые морально являются алгебраическими циклами, выделяются по инвариантности относительно группы, если дать правильные определения). Мотивная группа Галуа имеет окружающую теорию представлений. (Что это не так, так это группа Галуа ; однако в терминах гипотезы Тейта и представлений Галуа на этальных когомологиях она предсказывает образ группы Галуа или, точнее, ее алгебры Ли .)

См. Также [ править ]

• Кольцо периодов
• Мотивная когомология
• Presheaf с трансферами
• Смешанный модуль Ходжа
• L-функции мотивов

Ссылки [ править ]

Статьи обзора [ править ]

• Бейлинсон, Александр ; Вологодский, Вадим (2007), Путеводитель по мотивам Воеводского , с. 4004, arXiv : math / 0604004 , Bibcode : 2006math ...... 4004B (техническое введение со сравнительно короткими доказательствами)
• Мотивы над конечными полями - Дж. С. Милн
• Мазур, Барри (2004), "Что такое ... мотив?" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (10): 1214–1216, ISSN  0002-9920 , MR  2104916 (мотивы для пустышек).
• Серр, Жан-Пьер (1991), "Motifs", Astérisque (198): 11, 333–349 (1992), ISSN  0303-1179 , MR  1144336 (нетехническое введение в мотивы).
• Табауда, Гонсало, "Экскурсия по саду некоммутативных мотивов" , Журнал K-теории

Книги [ править ]

• Андре, Ив (2004), Une Introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , Париж: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR  2115000
• Уве Яннсен ... ред. (1994), Яннсен, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы , Труды симпозиумов по чистой математике, 55 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1636-3, Руководство по ремонту  1265518CS1 maint: extra text: authors list (link)
  • Л. Брин: Таннакианские категории .
  • С. Клейман: Стандартные домыслы .
  • А. Шолль: Классические мотивы . (подробное изложение мотивов Чау)
• Хубер, Аннет; Мюллер-Стах, Стефан (20 марта 2017 г.), Периоды и мотивы Нори , Springer, ISBN 978-3-319-50925-9
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Вейбель, Чарльз (2006), Конспект лекций по мотивационной когомологии , Clay Mathematics Monographs , 2 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3847-1, Руководство по ремонту  2242284
• Левин, Марк (1998). Смешанные мотивы . Математические обзоры и монографии, 57. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0785-9.
• Фридлендер, Эрик М .; Грейсон, Дэниел Р. (2005). Справочник по K-теории . Springer. ISBN 978-3-540-23019-9.

Справочная литература [ править ]

• Яннсен, Уве (1992), «Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота» (PDF) , Inventiones Math. , 107 : 447-452, Bibcode : 1992InMat.107..447J , DOI : 10.1007 / BF01231898
• Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорте, Ф. (ред.), Алгебраическая геометрия, Осло, 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff , стр. 53–82 (адекватные отношения эквивалентности на циклах).
• Милн, Джеймс С. Мотивы - Мечта Гротендика
• Воеводский, Владимир ; Суслин, Андрей ; Фридлендер, Эрик М. (2000), Циклы, трансферы и теории мотивационной гомологии , Анналы математических исследований, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04814-7 (Определение смешанных мотивов Воеводского. Высокотехнично).
• Хубер, Аннетт (2000). «Реализация мотивов Воеводского» (PDF) . Журнал алгебраической геометрии . 9 : 755–799.

Будущие направления [ править ]

• Размышления о : арифметических спиновых структурах на эллиптических кривых Q ( 1 / 4 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (1/4)}
• Что такое «дробные мотивы»?

Внешние ссылки [ править ]

• Цитаты, связанные с Мотивом (алгебраическая геометрия) на Wikiquote