Этальные когомологии

В математике , то этальные группы когомологий А.Н. алгебраического многообразия или схемы являются алгебраическими аналогами обычных когомологий групп с конечными коэффициентами в топологическом пространстве , введенном Гротендик для того , чтобы доказать гипотезы Вейля . Теория этальных когомологий может быть использована для построения ℓ-адических когомологий , которая является примером теории когомологий Вейля в алгебраической геометрии. Это имеет много приложений, таких как доказательство гипотез Вейля и построение представлений конечных групп лиева типа .

История [ править ]

Этальные когомологии были введены Александром Гротендиком ( 1960 ) с использованием некоторых предложений Жан-Пьера Серра и были мотивированы попыткой построить теорию когомологий Вейля для доказательства гипотез Вейля . Основы были вскоре разработаны Гротендиком вместе с Майклом Артином и опубликованы как ( Artin 1962 ) и SGA 4 . Гротендик использовал этальные когомологии для доказательства некоторых гипотез Вейля ( Бернарду Дворку уже удалось доказать часть гипотез о рациональности в 1960 г., используя p-адическиеметоды), а оставшаяся гипотеза аналог гипотезы Римана была доказана Пьером Делинем (1974) с использованием ℓ-адических когомологий.

Дальнейший контакт с классической теорией был обнаружен в версии группы Брауэра Гротендика ; это был применен в короткие сроки , чтобы диофантовой геометрии , с помощью Юрия Манина . Бремя и успех общей теории, безусловно, заключались как в интеграции всей этой информации, так и в доказательстве общих результатов, таких как двойственность Пуанкаре и теорема Лефшеца о неподвижной точке в этом контексте.

Гротендик первоначально разработан этальная когомология в чрезвычайно общей постановке, работе с такими понятиями, как гротендиковы топосы и гротендиковыми вселенные . Оглядываясь назад, можно сказать, что большая часть этого механизма оказалась ненужной для большинства практических приложений этальной теории, и Делинь (1977) дал упрощенное изложение теории этальных когомологий. Использование Гротендиком этих вселенных (существование которых не может быть доказано в теории множеств Цермело – Френкеля ) привело к некоторым предположениям, что этальные когомологии и их приложения (такие как доказательство последней теоремы Ферма ) требуют аксиом, выходящих за рамки ZFC. Однако на практике этальные когомологии используются в основном в случае конструктивных пучков. над схемами конечного типа над целыми числами, и это не требует глубоких аксиом теории множеств: с осторожностью необходимые объекты могут быть построены без использования каких-либо бесчисленных множеств, и это может быть сделано в ZFC и даже в гораздо более слабых теориях.

Этальные когомологии быстро нашли другие приложения, например, Делинь и Джордж Люстиг использовали их для построения представлений конечных групп лиева типа ; см. теорию Делиня – Люстига .

Мотивация [ править ]

Для сложных алгебраических многообразий очень полезны инварианты алгебраической топологии, такие как фундаментальная группа и группы когомологий, и хотелось бы иметь их аналоги для многообразий над другими полями, такими как конечные поля. (Одна из причин этого состоит в том, что Вейль предположил, что гипотезы Вейля могут быть доказаны с использованием такой теории когомологий.) В случае когомологий когерентных пучков Серр показал, что можно получить удовлетворительную теорию, просто используя топологию Зарисского.алгебраического многообразия, а в случае комплексных многообразий это дает те же группы когомологий (для когерентных пучков), что и гораздо более тонкая комплексная топология. Однако для постоянных пучков, таких как пучок целых чисел, это не работает: группы когомологий, определенные с использованием топологии Зарисского, плохо себя ведут. Например, Вейль представил теорию когомологий для многообразий над конечными полями с такой же мощностью, что и обычные особые когомологии топологических пространств, но на самом деле любой постоянный пучок на неприводимом многообразии имеет тривиальные когомологии (все высшие группы когомологий равны нулю).

Причина того, что топология Зарисского не работает хорошо, состоит в том, что она слишком грубая: в ней слишком мало открытых множеств. Кажется, нет хорошего способа исправить это, используя более тонкую топологию на общем алгебраическом многообразии. Ключевой идеей Гротендика было осознание того, что нет причин, по которым более общие открытые множества должны быть подмножествами алгебраического разнообразия: определение пучка отлично работает для любой категории, а не только для категории открытых подмножеств пространства. Он определил этальные когомологии, заменив категорию открытых подмножеств пространства категорией этальных отображений в пространство: грубо говоря, их можно рассматривать как открытые подмножества конечных неразветвленных покрытий пространства. Оказывается (после большой работы) они дают достаточно дополнительных открытых множеств, чтобы можно было получить разумные группы когомологий для некоторых постоянных коэффициентов,в частности для коэффициентовZ / n Z, когда n взаимно просто с характеристикой поля, над которым идет работа.

Вот некоторые основные интуитивные догадки теории:

Этальна требованием является условие , которое позволило бы применить теорему о неявной функции , если бы это было правдой в алгебраической геометрии (но это не является - неявные алгебраические функции называются алгеброид в старой литературе).
Существуют определенные базовые случаи размерности 0 и 1 и для абелевого многообразия , когда ответы с постоянными пучками коэффициентов могут быть предсказаны (с помощью когомологий Галуа и модулей Тейта ).

Определения [ править ]

Для любой схемы X категории Et ( X ) является категорией всех этальных морфизмов из схемы к X . Это аналог категории открытых подмножеств топологического пространства, и его объекты можно рассматривать неформально как «этальные открытые подмножества» в X . Пересечение двух открытых множеств топологического пространства соответствует откату двух этальных сопоставляется X . Здесь возникает довольно незначительная теоретико-множественная проблема, поскольку Et ( X ) является «большой» категорией: ее объекты не образуют множество. Однако это эквивалентно малой категории, потому что этальные морфизмы локально имеют конечное представление, поэтому безвредно притворяться, что это небольшая категория.

Предпучок на топологическом пространстве X является контравариантным функтор из категории открытых подмножеств в множествах. По аналогии мы определяем этальный предпучок на схеме X как контравариантный функтор из Et ( X ) в множества.

Предпучок F на топологическом пространстве называется пучком, если он удовлетворяет условию пучка: всякий раз, когда открытое подмножество покрывается открытыми подмножествами U _i , и нам даны элементы F ( U _i ) для всех i , ограничения которых на U _i ∩ U _j согласованы для всех i , j , тогда они являются образами единственного элемента F ( U ). По аналогии, этальный предпучок называется пучком, если он удовлетворяет тому же условию (с заменой пересечений открытых множеств на обратные образы этальных морфизмов и где этальный набор отображается вU называется покрыть U , если топологическое пространство , лежащее в основе U является объединением их изображений). В более общем смысле, можно определить пучок для любой топологии Гротендика в категории аналогичным образом.

Категория пучков абелевых групп над схемой имеет достаточно инъективных объектов, поэтому можно определить правые производные функторы от левых точных функторов. В этальна группы когомологий Н ^я ( F ) пучка F абелевых групп определяются как правые производные функторы функтора сечений,

{\ Displaystyle F \ to \ Gamma (F)}

(где пространство сечений Γ ( F ) F есть F ( X )). Сечения пучка можно представить как Hom ( Z , F ), где Z - пучок, который возвращает целые числа как абелеву группу . Идея производного функтора здесь заключается в том, что функтор секций не учитывает точные последовательности, поскольку он не является точным; согласно общим принципам гомологической алгебры будет последовательность функторов H ⁰ , H ¹, ... которые представляют собой «компенсации», которые должны быть сделаны, чтобы восстановить некоторую степень точности (длинные точные последовательности, возникающие из коротких). В Н ⁰ функтор совпадает с раздела функтора Г.

В более общем смысле, морфизм схем f : X → Y индуцирует отображение f _∗ из этальных пучков над X в этальные пучки над Y , а его правые производные функторы обозначаются R ^q f _∗ , где q - неотрицательное целое число. В частном случае, когда Y - спектр алгебраически замкнутого поля (точки), R ^q f _∗ ( F ) совпадает с H ^q ( F ).

Предположим, что X - нетерова схема. Абелевой этальный пучка , F над X называется конечным локально постоянным , если он представлен в этальной обложке X . Он называется конструктивным, если X может быть покрыт конечным семейством подсхем, на каждой из которых ограничение F конечно локально постоянное. Она называется кручением, если F ( U ) - группа кручения для всех этальных покрытий U пространства X.. Конечные локально постоянные пучки являются конструктивными, а конструктивные пучки - кручением. Каждый торсионный пучок является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных пучков.

ℓ-адические группы когомологий [ править ]

В приложениях к алгебраической геометрии над конечным полем F _q с характеристикой p основной целью было найти замену сингулярным группам когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами, которые недоступны так же, как для геометрии алгебраической разнообразие над полем комплексных чисел . Этальные когомологии отлично работают для коэффициентов Z / n Z для n, взаимно простых с p, но дает неудовлетворительные результаты для коэффициентов без кручения. Чтобы получить группы когомологий без кручения из этальных когомологий, нужно взять обратный предел групп этальных когомологий с некоторыми коэффициентами кручения; это называется ℓ-адическими когомологиями , где обозначает любое простое число, отличное от p . Для схем V рассматриваются группы когомологий

{\ Displaystyle Н ^ {я} (V, \ mathbf {Z} / \ ell ^ {k} \ mathbf {Z})}

и определяет группу ℓ-адических когомологий

H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

как их обратный предел . Здесь Z _ℓ обозначает л-адического целые числа , но определение с помощью системы пучков «константы» с конечными коэффициентами Z / л ^K Z . (Здесь есть пресловутая ловушка: когомологии не коммутируют со взятием обратных пределов, а группа ℓ-адических когомологий, определяемая как обратный предел, не является когомологиями с коэффициентами в этальном пучке Z _ℓ ; последняя группа когомологий существует, но дает "неправильные" группы когомологий.)

В более общем смысле, если F - обратная система этальных пучков F _i , то когомологии F определяется как обратный предел когомологий пучков F _i

H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

и хотя есть естественная карта

H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

это не обычно является изоморфизмом. ℓ-адический пучок представляет собой особый вид обратной системы этальных пучков F _я , где я пробегает положительные целые числа, и F _я есть модуль над Z / л ^я Z и отображение F _{я +1} к F _я просто приведение по модулю Z / ℓ ^я Z .

Когда V является несингулярным алгебраическим кривым из рода г , Н ¹ является свободным Z _ℓ - модулем ранга 2 г , двойственный к модулю Tate из якобиева многообразия из V . Так как первое число Бетти из римановой поверхности рода г 2 г , это изоморфно обычные сингулярных когомологии с Z _л коэффициентами для комплексных алгебраических кривых. Это также показывает одну причину, по которой требуется условие ℓ ≠ p : когда ℓ = p ранг модуля Тейта не превосходит g .

Торсионные подгруппы могут произойти, и были применены Артином и Дэвид Мамфорд на геометрические вопросы ^{[ править ]} . Чтобы удалить любую подгруппу кручения из ℓ-адических групп когомологий и получить группы когомологий, которые являются векторными пространствами над полями характеристики 0, нужно определить

H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.

Это обозначение вводит в заблуждение: символ Q _ℓ слева не представляет ни этальный пучок, ни ℓ-адический пучок. Этальные когомологии с коэффициентами в постоянном Этальном снопе Q _л делает также существуют , но довольно сильно отличается от . Распространенная ошибка - путать эти две группы. $H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }$

Свойства [ править ]

В общем случае группы ℓ-адических когомологий многообразия обладают свойствами, аналогичными свойствам особых групп когомологий комплексных многообразий, за исключением того, что они являются модулями над целыми ℓ-адическими числами (или числами), а не над целыми числами (или рациональными числами). Они удовлетворяют форме двойственности Пуанкаре на неособых проективных многообразиях, и ℓ-адические группы когомологий «редуцирующего модуля p» комплексного многообразия стремятся иметь тот же ранг, что и особые группы когомологий. Формула Кюннета также выполняется.

Например, первая группа когомологий комплексной эллиптической кривой является свободным модулем ранга 2 над целыми числами, а первая ℓ-адическая группа когомологий эллиптической кривой над конечным полем является свободным модулем ранга 2 над ℓ- целые адические числа при условии, что не является характеристикой рассматриваемого поля и двойственен своему модулю Тейта .

Есть один способ, которым группы ℓ-адических когомологий лучше, чем группы особых когомологий: на них, как правило, действуют группы Галуа . Например, если комплексное многообразие определено над рациональными числами, на его ℓ-адические группы когомологий действует абсолютная группа Галуа рациональных чисел: они дают представления Галуа .

Элементы группы Галуа рациональных чисел, кроме тождества и комплексного сопряжения , обычно не действуют непрерывно на комплексном многообразии, определенном над рациональными числами, поэтому не действуют на особые группы когомологий. Этот феномен представлений Галуа связан с тем фактом, что фундаментальная группа топологического пространства действует на особые группы когомологий, поскольку Гротендик показал, что группу Галуа можно рассматривать как своего рода фундаментальную группу. (См. Также теорию Галуа Гротендика .)

Вычисление этальных групп когомологий для алгебраических кривых [ править ]

Основным начальным шагом в вычислении групп этальных когомологий многообразия является их вычисление для полных связных гладких алгебраических кривых X над алгебраически замкнутыми полями k . Этальными группами когомологий произвольных многообразий можно тогда управлять, используя аналоги обычного механизма алгебраической топологии, такие как спектральная последовательность расслоения. Для кривых расчет выполняется в несколько этапов, как показано ниже ( Artin 1962 ). Обозначим через G _m пучок отличных от нуля функций.

Расчет H ¹ ( X , G _m ) [ править ]

Точная последовательность этальных пучков

1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1

дает длинную точную последовательность групп когомологий

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

Здесь j - инъекция общей точки, i _x - инъекция замкнутой точки x , G _{m , K} - пучок G _m на Spec K (общая точка X ), а Z _x - копия Z для каждая замкнутая точка X . Группы H ⁱ ( i _{x *} Z ) обращаются в нуль, если i > 0 (поскольку i _{x *} Z - пучок небоскребов ) и для i= 0 они Z , так что их сумма является только делитель группы X . Более того, первая группа когомологий H ¹ ( X , j _∗G _{m , K} ) изоморфна группе когомологий Галуа H ¹ ( K , K *), которая обращается в нуль по теореме Гильберта 90 . Следовательно, длинная точная последовательность групп этальных когомологий дает точную последовательность

K\to \mathrm {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1

где Div ( X ) - группа делителей X, а K - ее функциональное поле. В частности, H ¹ ( X , G _m ) - это группа Пикара Pic ( X ) (и первые группы когомологий G _m совпадают для этальной топологии и топологии Зарисского). Этот шаг работает для многообразий X любой размерности (с заменой точек на подмногообразия коразмерности 1), а не только для кривых.

Расчет H ⁱ ( X , G _m ) [ править ]

Та же самая длинная точная последовательность выше показывает, что если i ≥ 2, то группа когомологий H ⁱ ( X , G _m ) изоморфна H ⁱ ( X , j _*G _{m , K} ), которая изоморфна группе когомологий Галуа H ⁱ ( К , К *). Из теоремы Цена следует, что группа Брауэра функционального поля K от одной переменной над алгебраически замкнутым полем обращается в нуль. Это, в свою очередь, означает, что все группы когомологий Галуа H ⁱ (K , K *) обращаются в нуль при i ≥ 1, поэтому все группы когомологий H ⁱ ( X , G _m ) обращаются в нуль, если i ≥ 2.

Расчет H ⁱ ( X , μ _n ) [ править ]

Если μ _п есть пучок п -х корней из единицы и п и характеристики поля к взаимно простые числа, то:

H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\mathrm {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

где Pic _n ( X ) - группа n точек кручения Pic ( X ). Это следует из предыдущих результатов с использованием длинной точной последовательности

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

точной последовательности Куммера этальных пучков

1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.

и вставив известные значения

H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\mathrm {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}

В частности, мы получаем точную последовательность

1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \mathrm {Pic} (X){\xrightarrow {\times n}}\mathrm {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.

Если n делится на p, этот аргумент неверен, потому что корни p-й степени из единицы ведут себя странно над полями характеристики p . В топологии Зарисского последовательность Куммера не является точной справа, поскольку отличная от нуля функция обычно не имеет корня n -й степени локально для топологии Зарисского, так что это то место, где используется этальная топология, а не Топология Зарисского очень важна.

Расчет H ⁱ ( X , Z / n Z) [ править ]

Устанавливая примитивный п -го корня из единицы , мы можем определить группу Z / п Z с группой ц _п о п -х корней из единицы. Этальная группа H ⁱ ( X , Z / n Z ) тогда является свободным модулем над кольцом Z / n Z, и ее ранг определяется выражением:

{\text{rank}}(H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

где г есть род кривой X . Это следует из предыдущего результата, использующего тот факт, что группа Пикара кривой - это точки ее якобиевого многообразия , абелевого многообразия размерности g , и если n взаимно просто с характеристикой, то точки порядка, делящие n в абелевом многообразии многообразие размерности g над алгебраически замкнутым полем образуют группу, изоморфную ( Z / n Z ) ^{2 g} . Эти значения для этальной группы H ⁱ ( X , Z / nZ ) совпадают с соответствующими группами особых когомологий, когда X - комплексная кривая.

Расчет H ⁱ ( X , Z / p Z) [ править ]

Можно рассчитать этальные группы когомологий с постоянными коэффициентами порядка делятся на характеристике подобным образом, используя Артина- шрейеровской последовательности

0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0

вместо последовательности Куммера. (Для коэффициентов из Z / p ⁿ Z существует аналогичная последовательность, включающая векторы Витта .) Полученные группы когомологий обычно имеют ранги ниже, чем у соответствующих групп в характеристике 0.

Примеры этальных групп когомологий [ править ]

Если X - спектр поля K с абсолютной группой Галуа G , то этальные пучки над X соответствуют непрерывным множествам (или абелевым группам), на которых действует (проконечная) группа G , а этальные когомологии пучка такие же, как и этальные когомологии пучка. группа когомологий из G , т.е. Галуа когомологий из K .
Если X - комплексное многообразие, то этальные когомологии с конечными коэффициентами изоморфны сингулярным когомологиям с конечными коэффициентами. (Это неверно для целочисленных коэффициентов.) В более общем смысле когомологии с коэффициентами в любом конструктивном пучке одинаковы.
Если F - когерентный пучок (или G _m ), то этальные когомологии F - это то же самое, что когомологии когерентного пучка Серра, вычисленные с топологией Зарисского (а если X - комплексное многообразие, это то же самое, что когомологии пучка, вычисленные с помощью обычной сложная топология).
Для абелевых многообразий и кривых существует элементарное описание ℓ-адических когомологий. Для абелевых многообразий первая ℓ-адическая группа когомологий двойственна модулю Тейта , а высшие группы когомологий задаются его внешними степенями. Для кривых первая группа когомологий является первой группой когомологий своего якобиана. Это объясняет, почему Вейль смог дать более элементарное доказательство гипотез Вейля в этих двух случаях: в общем, каждый ожидает найти элементарное доказательство всякий раз, когда существует элементарное описание ℓ-адических когомологий.

Двойственность Пуанкаре и когомологии с компактным носителем [ править ]

Группы этальных когомологий с компактным носителем многообразия X определяются как

H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)

где j - открытое погружение X в собственное многообразие Y и j _!это расширение на 0 этальных сноп F в Y . Это не зависит от погружения j . Если размерность X не превосходит n и F - торсионный пучок, то эти группы когомологий с компактным носителем обращаются в нуль, если q > 2 n , и если, кроме того, X аффинно конечного типа над сепарабельно замкнутым полем, группы когомологий обращаются в нуль при q > n $H_{c}^{q}(X,F)$ $H^{q}(X,F)$ (последнее утверждение см. в SGA 4, XIV, Cor.3.2).

В более общем смысле, если f - отделенный морфизм конечного типа из X в S (с нётеровыми X и S ), то более высокие прямые образы с компактным носителем R ^q f _! определены

R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)

для любого пучка кручения F . Здесь J является любым открытым погружением X в схему Y с собственным морфизмом г к S (с е = GJ ), а также перед определением не зависит от выбора J и Y . Когомологии с компактным носителем являются частным случаем этого с точкой S. Если f - отделимый морфизм конечного типа, то R ^q f _! принимает построимых пучки на X в конструируемых пучков на S . Если дополнительно волокнаf имеет размерность не более n, то R ^q f _!обращается в нуль на торсионных пучках при q > 2n . Если X - комплексное многообразие, то R ^q f _!то же самое, что и обычный высший прямой образ с компактным носителем (для комплексной топологии) для торсионных пучков.

Если X - гладкое алгебраическое многообразие размерности N и n взаимно просто с характеристикой, то существует отображение следа

\mathrm {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}

а билинейная форма Tr ( a ∪ b ) со значениями в Z / n Z идентифицирует каждую из групп

H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})

и

H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )

с двойным другим. Это аналог двойственности Пуанкаре для этальных когомологий.

Приложение к кривым [ править ]

Это как теория может быть применена к локальной дзета-функции в качестве алгебраической кривой .

Теорема. Пусть $X$ - кривая рода $g,$ определенная над $F p$ , конечным полем из $p$ элементов. Тогда при $n \geq 1$

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},

где $α i$ - некоторые алгебраические числа, удовлетворяющие $| α i | = \sqrt п$ .

Это согласуется с тем, что $P 1 ( F p n )$ является кривой рода0 с $p n + 1$ баллом. Это также показывает, что количество точек на любой кривой довольно близко (в пределах $2 gp n / 2$ ) к количеству точек проективной прямой; в частности, она обобщает теорему Хассе об эллиптических кривых .

Идея доказательства [ править ]

Согласно теореме Лефшеца о неподвижной точке количество неподвижных точек любого морфизма $f : X \to X$ равно сумме

\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\mathrm {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).

Эта формула верна для обычных топологических многообразий и обычной топологии, но неверна для большинства алгебраических топологий. Однако, эта формула делает захват для этальных когомологий (хотя это не так просто , чтобы доказать).

Точки $X$ , определенные над $F p n$ , фиксируются $F n$ , где $F$ - автоморфизм Фробениуса в характеристике $p$ .

Этальное когомология число Бетти из $X$ в размерности 0, 1, 2 : 1, 2 г и 1 соответственно.

Согласно всем этим

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\mathrm {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\mathrm {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\mathrm {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).

Это дает общую форму теоремы.

Утверждение об абсолютных значениях $α i$ является одномерной гипотезой Римана гипотез Вейля.

Вся идея укладывается в рамки мотивов : формально [ X ] = [точка] + [линия] + [1-часть], а [1-часть] имеет что-то вроде $\sqrt p$ точек.

См. Также [ править ]

Локально ациклический морфизм
Теорема абсолютной чистоты

Ссылки [ править ]

Артин, Майкл (1962), топологии Гротендика , Гарвардский университет, кафедра математики
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 , Конспект лекций по математике (на французском языке), 269 , Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , XIX, 525
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 2 , Конспект лекций по математике (на французском языке), 270 , Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Iv, 418.
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 , Конспект лекций по математике (на французском языке), 305 , Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Vi, 640.
Данилов В.И. (2001) [1994], "Этальные когомологии" , Энциклопедия математики , EMS Press
Делинь, Пьер (1974), "Гипотеза Вейля. I" , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. , 43 : 273-307, DOI : 10.1007 / BF02684373
Делинь, Пьер (1980), «Гипотеза Вейля: II» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 : 137–252, doi : 10.1007 / BF02684780
Делинь, Пьер , изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5) , Лекционные заметки по математике (на французском языке), 569 , Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, заархивировано из оригинала 15 мая 2009 г. , получено 17 марта 2007 г.Chapter1: дои : 10.1007 / BFb0091518
И. В. Долгачев (2001) [1994], "l-адические когомологии" , Энциклопедия математики , EMS Press
Freitag, E .; Киль, Райнхардт (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-12175-8
Фу, Лэй (2011), Etale Cohomology Theory. (2011) , Нанкайские трактаты по математике, 13 , World Scientific Publishing , DOI : 10.1142 / 7773 , ISBN 9789814307727
Гротендик, Александр (1960), "Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий" , Proc. Междунар. Congress Math. (Эдинбург, 1958) , Cambridge University Press , стр. 103–118, MR 0130879
Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton Mathematical Series, 33 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, Руководство по ремонту 0559531
Тамме, Гюнтер (1994), Введение в этальные когомологии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57116-2

Внешние ссылки [ править ]

Когомологии Арчибальда и Савитта Этале
Программа Горески- Ленглендса для физиков
Милн, Джеймс С. (1998), Лекции по этальным когомологиям
Долгачев И.В. (2001) [1994], "L-адические когомологии" , Энциклопедия математики , EMS Press