Теорема Лефшеца о неподвижной точке

В математике , то Лефшец с фиксированной точкой теорема представляет собой формулу , которая подсчитывает фиксированные точки на виде непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя с помощью следов индуцированных отображений на группах гомологии с . Он назван в честь Соломона Лефшеца , который впервые назвал его в 1926 году.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Подсчет подлежит условно исчисленной множественности в фиксированной точке, называемой индексом фиксированной точки . Слабого варианта теоремы достаточно, чтобы показать, что отображение без какой-либо неподвижной точки должно обладать довольно специальными топологическими свойствами (например, вращение окружности).

Официальное заявление [ править ]

Для формальной формулировки теоремы пусть

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

- непрерывное отображение компактного триангулируемого пространства в себя. Определить число Лефшеца из по${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )),}$

переменное (конечная) сумма матричных следов от линейных карт индуцируется путем на , на сингулярные гомологии групп с рациональными коэффициентами.${\displaystyle f}$${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle X}$

Простая версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке гласит: если

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

тогда имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. существует хотя бы одна из таких, что . Фактически, поскольку число Лефшеца было определено на уровне гомологии, вывод может быть расширен, чтобы сказать, что любое отображение, гомотопное к, также имеет фиксированную точку.${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle f}$

Обратите внимание, однако, что в общем случае обратное неверно: может быть равно нулю, даже если имеет фиксированные точки.${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f}$

Набросок доказательства [ править ]

Во-первых, применяя теорему о симплициальной аппроксимации , можно показать, что если не имеет неподвижных точек, то (возможно, после подразделения ) гомотопно симплициальному отображению без неподвижных точек (т. Е. Он отправляет каждый симплекс в другой симплекс). Это означает , что диагональные значения матриц линейных отображений , индуцированные на симплициальном цепи комплекса из должны быть все равными нулю. Затем следует отметить, что, в общем, число Лефшеца также может быть вычислено с использованием альтернированной суммы матричных следов вышеупомянутых линейных отображений (это верно почти по той же причине, что и характеристика Эйлера имеет определение в терминах групп гомологии ; см. ниже${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$для связи с эйлеровой характеристикой). В частном случае симплициального отображения без неподвижных точек все диагональные значения равны нулю, и, следовательно, все трассы равны нулю.

Теорема Лефшеца – Хопфа [ править ]

Более сильная форма теоремы, также известная как теорема Лефшеца – Хопфа , утверждает, что если имеется только конечное число неподвижных точек, то${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}i(f,x)=\Lambda _{f},}$

где - множество неподвижных точек , а обозначает индекс неподвижной точки . ^[1] Из этой теоремы выводится теорема Пуанкаре – Хопфа для векторных полей.${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i(f,x)}$${\displaystyle x}$

Связь с эйлеровой характеристикой [ править ]

Число Лефшеца тождественного отображения на конечном CW-комплексе можно легко вычислить, осознав, что каждое из них можно рассматривать как единичную матрицу, и поэтому каждый член следа является просто размерностью соответствующей группы гомологий. Таким образом, число Лефшеца тождественного отображения равно переменной сумме чисел Бетти пространства, которая, в свою очередь, равна характеристике Эйлера . Таким образом, мы имеем${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \chi (X)}$

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке [ править ]

Теорема Лефшеца о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке , которая утверждает, что каждое непрерывное отображение из -мерного замкнутого единичного круга в должен иметь по крайней мере одну неподвижную точку.${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D^{n}}$

Это можно увидеть следующим образом: оно компактно и триангулируемо, все его группы гомологий, кроме нуля, и каждое непрерывное отображение индуцирует тождественное отображение , след которого равен единице; все это вместе означает, что не равно нулю для любого непрерывного отображения .${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$

Исторический контекст [ править ]

Лефшец представил свою теорему о неподвижной точке в ( Lefschetz 1926 ). Лефшец фокусировался не на неподвижных точках карт, а скорее на том, что сейчас называется точками совпадения карт.

Учитывая две карты и из ориентируемого многообразия ориентируемого многообразия той же размерности, то Lefschetz совпадения число из и определяются как${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

где , как указано выше, - гомоморфизм, индуцированный на группах когомологий с рациональными коэффициентами, и - изоморфизмы двойственности Пуанкаре для и , соответственно.${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle D_{X}}$${\displaystyle D_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Лефшец доказал, что если число совпадений отлично от нуля, то и имеют точку совпадения. Он отметил в своей статье, что разрешение и разрешение быть тождественным отображением дает более простой результат, который мы теперь знаем как теорему о неподвижной точке.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle g}$

Фробениус [ править ]

Пусть - многообразие, определенное над конечным полем с элементами, и пусть - поднятие до алгебраического замыкания . Эндоморфизм Фробениуса из (часто геометрический Фробениус , или просто Фробениус ), обозначаемый , отображает точку с координатами в точку с координатами . Таким образом, неподвижные точки - это в точности точки с координатами в ; множество таких точек обозначается . В этом контексте справедлива формула трассировки Лефшеца, которая гласит:${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle F_{q}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$${\displaystyle F_{q}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Эта формула включает след Фробениуса на этальных когомологиях с компактными носителями со значениями в поле -адических чисел, где - простое число, взаимно простое с .${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle q}$

Если она гладкая и равноразмерная , эта формула может быть переписана в терминах арифметики Фробениуса , которая действует как обратная для когомологий:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{q}}$${\displaystyle F_{q}}$

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (\Phi _{q}^{-1}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

В этой формуле используются обычные когомологии, а не когомологии с компактными носителями.

Формула следа Лефшеца также может быть обобщена на алгебраические стеки над конечными полями.

См. Также [ править ]

• Теоремы о неподвижной точке
• Дзета-функция Лефшеца
• Голоморфная формула Лефшеца для неподвижной точки

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лефшец, Соломон (1926). «Пересечения и преобразования комплексов и многообразий» . Труды Американского математического общества . 28 (1): 1–49. DOI : 10.2307 / 1989171 . Руководство по ремонту  1501331 .
• Лефшец, Соломон (1937). «По формуле фиксированной точки». Анналы математики . 38 (4): 819–822. DOI : 10.2307 / 1968838 . Руководство по ремонту  1503373 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Формула Лефшеца» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]