В математике теорема о симплициальной аппроксимации является основополагающим результатом алгебраической топологии , гарантирующим, что непрерывные отображения могут быть (с небольшой деформацией) аппроксимированы кусочно -простейшими отображениями . Это применимо к отображениям между пространствами, которые построены из симплексов, то есть конечных симплициальных комплексов . Общее непрерывное отображение между такими пространствами может быть приблизительно представлено типом отображения, которое является ( аффинным -) линейным на каждом симплексе в другой симплекс за счет (i) достаточного барицентрического подразделениясимплексов области и (ii) замену фактического отображения на гомотопическое .
Эта теорема была впервые доказана Л.Е. Брауэром с помощью теоремы Лебега о покрытии (результат, основанный на компактности ). Он служил для того, чтобы поставить теорию гомологий того времени - первого десятилетия двадцатого века - на строгую основу, поскольку он показал, что топологический эффект (на группы гомологий ) непрерывных отображений может в данном случае быть выражен конечным образом . Это следует рассматривать на фоне осознания того времени, что непрерывность в целом совместима с патологией в некоторых других областях. Это положило начало, можно сказать, эре комбинаторной топологии .
Существует еще одна теорема о симплициальной аппроксимации для гомотопий , утверждающая, что гомотопия между непрерывными отображениями может быть также аппроксимирована комбинаторной версией.
Формальная формулировка теоремы
Позволять а также - два симплициальных комплекса . Симплициальное отображение называется симплициальным приближением непрерывной функции если за каждую точку , принадлежит минимальному замкнутому симплексу содержащий точку . Если является симплициальным приближением к непрерывному отображению , то геометрическая реализация , обязательно гомотопен .
Теорема о симплициальном приближении утверждает, что для любого непрерывного отображения существует натуральное число такое, что для всех существует симплициальное приближение к (где обозначает барицентрическое подразделение по, а также обозначает результат применения барицентрического подразделения раз.)
Рекомендации
- "Симплициальный комплекс" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]