Кристаллические когомологии

В математике кристаллические когомологии - это теория когомологий Вейля для схем X над базовым полем k . Его значение Н ^п ( Х / W ) являются модулями над кольцом W из векторов Витта над к . Он был введен Александром Гротендиком ( 1966 , 1968 ) и разработан Пьером Бертело ( 1974 ).

Кристаллические когомологии частично вдохновлены p -адическим доказательством части гипотез Вейля в работе Дворка (1960) и тесно связаны с алгебраической версией когомологий де Рама , введенной Гротендиком (1963). Грубо говоря, кристаллические когомологии многообразия X в характеристике p - это когомологии де Рама гладкого подъема X в характеристику 0, а когомологии де Рама X - это кристаллические когомологии, приведенные по модулю p (после учета более высоких Tor s ).

Идея кристаллических когомологий, грубо говоря, состоит в том, чтобы заменить открытые множества Зарисского схемы бесконечно малыми утолщениями открытых множеств Зарисского с разделенными степенными структурами . Причина в том, что это можно вычислить, взяв локальное поднятие схемы с характеристики p на характеристику 0 и используя подходящую версию алгебраических когомологий де Рама.

Кристаллические когомологии хорошо работают только для гладких правильных схем. Жесткие когомологии распространяют его на более общие схемы.

Приложения [ править ]

Для схем в характеристике p теория кристаллических когомологий может решать вопросы о p- кручении в группах когомологий лучше, чем p -адические этальные когомологии . Это делает его естественным фоном для большей части работы над p-адическими L-функциями .

Кристаллические когомологии, с точки зрения теории чисел, заполняют пробел в информации о l-адических когомологиях , которая возникает именно там, где есть «равные характеристические простые числа». Кристаллические когомологии, традиционно являющиеся прерогативой теории ветвления , преобразуют эту ситуацию в теорию модулей Дьедонне , что дает важный инструмент для решения арифметических проблем. Жан-Марк Фонтен высказал весьма широкие гипотезы о превращении этого в формальные утверждения , решение которых называется p-адической теорией Ходжа .

Коэффициенты [ править ]

Для многообразия X над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 0, то -адические когомологии группы для любого простого числа, кроме р дают удовлетворительные группы когомологий X с коэффициентами в кольце из -адических чисел . В общем случае невозможно найти подобные группы когомологий с коэффициентами в Q _p (или Z _p , или Q , или Z ), обладающие разумными свойствами. ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {\ ell}}$ ${\ displaystyle \ ell}$

Классическая причина (из-за Серра) состоит в том, что если X - суперсингулярная эллиптическая кривая , то ее кольцо эндоморфизмов является максимальным порядком в алгебре кватернионов B над Q, разветвленной в точках p и ∞. Если бы X имела группу когомологий над Q _p ожидаемой размерности 2, то (противоположная алгебра) B действовала бы на этом 2-мерном пространстве над Q _p , что невозможно, поскольку B разветвлено в p . ^[1]

Кристаллическая теория когомологий Гротендик получает вокруг этого препятствия , поскольку он производит модули над кольцом векторов Витта в поле земли . Таким образом , если основное поле является алгебраическое замыкание в F р , его значения являются модулями над р -адического завершения максимального неразветвленного расширения из Z _р , значительно большее кольцо , содержащее п - е корни из единицы для всех п , не делящиеся на р , а не над Z _p .

Мотивация [ править ]

Одна из идей для определения теории когомологий Вейля многообразия X над полем k характеристики p состоит в том, чтобы `` поднять '' его до многообразия X * над кольцом векторов Витта поля k (которое возвращает X по модулю редукции p ), затем возьмем когомологии де Рама этого лифта. Проблема в том, что вовсе не очевидно, что эта когомология не зависит от выбора подъема.

Идея кристаллических когомологий в характеристике 0 состоит в том, чтобы найти прямое определение теории когомологий как когомологий постоянных пучков на подходящем узле

Inf ( X )

над X , называемый бесконечно малым узлом, а затем покажите, что это то же самое, что и когомологии де Рама любого лифта.

Сайт Inf ( X ) представляет собой категорию, объекты которой можно рассматривать как своего рода обобщение обычных открытых множеств X . В характеристике 0 ее объекты являются бесконечно малые утолщениями U → T из Зариских открытых подмножеств U в X . Это означает, что U - замкнутая подсхема схемы T, определяемая нильпотентным пучком идеалов на T ; например, Spec ( k ) → Spec ( k [ x ] / ( x ² )).

Гротендик показал, что для гладких схем X над C когомологии пучка O _X на Inf ( X ) такие же, как и обычные (гладкие или алгебраические) когомологии де Рама.

Кристаллические когомологии [ править ]

В характеристике p наиболее очевидный аналог кристаллического узла, определенного выше в характеристике 0, не работает. Причина примерно в том, что для доказательства точности комплекса де Рама нужна некая лемма Пуанкаре , доказательство которой, в свою очередь, использует интегрирование, а интегрирование требует различных разделенных степеней, которые существуют в характеристике 0, но не всегда в характеристике p . Гротендик решил эту проблему, определив объекты кристаллического узла X как примерно бесконечно малые утолщения открытых по Зариски подмножеств X , вместе со структурой разделенных степеней, дающей необходимые разделенные полномочия.

Мы будем работать над кольцом W _п = W / р ^н W из векторов Витта длины п над совершенным полем к характеристики р > 0. Например, к может быть конечное поле порядка р и Ш _п является то кольцо Z / р ^п Z . (В более общем смысле можно работать над базовой схемой S, которая имеет фиксированный пучок идеалов I с разделенной структурой мощности.) Если X - схема над k , токристаллический узел X относительно W _n , обозначаемый Cris ( X / W _n ), имеет в качестве своих объектов пары U → T, состоящие из замкнутого погружения открытого по Зарисскому подмножества U в X в некоторую W _n -схему T, определяемую пучком идеалов J вместе со структурой разделенных степеней на J, совместимой с структурой на W _n .

Кристаллическими когомологиями схемы X над k называется обратный предел

{\ displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ varprojlim H ^ {i} (X / W_ {n})}

куда

{\ displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} (\ operatorname {Cris} (X / W_ {n}), O)}

- когомологии кристаллического узла X / W _n со значениями в пучке колец O : = O _{W _n} .

Ключевым моментом этой теории является то , что кристаллическая когомология гладкой схеме X над к часто можно вычислить в терминах алгебраических когомологий де Рама правильный и гладкой подъем X в схеме Z над W . Есть канонический изоморфизм

H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{*})=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))

кристаллические когомологии X с когомологиями де Рамой из Z над формальной схемой из W (обратный предел гиперкогомологий комплексов дифференциальных форм). И наоборот, когомологии де Рама X могут быть восстановлены как редукция по модулю p его кристаллических когомологий (после учета более высоких Tor s).

Кристаллы [ править ]

Если X - схема над S, то пучок O _{X / S} определяется как O _{X / S} ( T ) = координатное кольцо T , где мы пишем T как сокращение для объекта U → T из Cris ( X / S ) .

Кристалл на сайте Cris ( X / S ) является пучком Р из О _{Й / S} модулей, является жестким в следующем смысле:

для любого отображения f между объектами T , T ′ из Cris ( X / S ) естественное отображение из f ^*F ( T ) в F ( T ′) является изоморфизмом.

Это похоже на определение квазикогерентного пучка модулей в топологии Зарисского.

Пример кристалла пучок О _{X / S} .

Термин кристалл, связанный с теорией, объясненный в письме Гротендика Тейту (1966), был метафорой, вдохновленной некоторыми свойствами алгебраических дифференциальных уравнений . Они сыграли роль в теориях p -адических когомологий (предшественниках кристаллической теории, введенной в различных формах Дворком , Монски , Вашнитцером, Любкиным и Кацем ), особенно в работе Дворка . Такие дифференциальные уравнения достаточно легко сформулировать с помощью алгебраических связностей Кошуля , но в p -адической теории аналог аналитического продолжения более загадочен (поскольку p-адические диски скорее не пересекаются, чем перекрываются). Согласно постановлению, кристалл будет иметь «жесткость» и «распространение», характерные для аналитического продолжения комплексных аналитических функций. (См. Также жесткие аналитические пространства, введенные Джоном Тейтом в 1960-х годах, когда эти вопросы активно обсуждались.)

См. Также [ править ]

Мотивная когомология
Когомологии де Рама

Ссылки [ править ]

^ Весьма тонкий момент состоит в том, что если X - суперсингулярная эллиптическая кривая над полем F _p из p элементов, то ее кристаллические когомологии являются свободным модулем ранга 2 над Z _p . Приведенные аргументы неприменимы в этом случае, потому что некоторые из эндоморфизмов такой кривой X определены только над F _{p ²} .

Бертло, Пьер (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p> 0 , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068636 , ISBN 978-3-540-06852-5, Руководство по ремонту 0384804
Бертело, Пьер ; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллической когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9, Руководство по ремонту 0491705
Шамберт-Луар, Антуан (1998), «Cohomologie cristalline: un Survol» , Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869 , MR 1654786 , архивировано с оригинала на 2011-07-21
Дворк, Bernard (1960), "О рациональности дзета функции алгебраического многообразия", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 82 (3): 631-648, DOI : 10,2307 / 2372974 , ISSN 0002- 9327 , JSTOR 2372974 , Руководство по ремонту 0140494
Гротендик, Александр (1966), "О когомологиях де Рама алгебраических многообразий" , Institut des Hautes Études Scientifiques. Публикации Mathématiques , 29 (29): 95-103, DOI : 10.1007 / BF02684807 , ISSN 0073-8301 , МР 0199194 (письмо Атии, 14 октября 1963 г.)
Гротендик, А. (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF).
Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии схем де Рама», у Жиро, Жан; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л .; и другие. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (PDF) , Advanced Studies in pure Mathematics , 3 , Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358, MR 0269663
Illusie, Luc (1975), "Отчет о кристаллических когомологиях", Алгебраическая геометрия , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 29 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 459–478, MR 0393034
Иллюзи, Люк (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456 , Конспект лекций по математике,. 514 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., Стр 53-60, MR 0444668 , архивируются с оригинала на 2012-02-10 , извлекаться 2007-09-20
Иллюзи, Люк (1994), "Кристаллические когомологии", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 43–70, MR 1265522
Кедлая, Киран С. (2009), «p-адические когомологии», Абрамович, Дан; Бертрам, А .; Кацарков, Л .; Пандхарипанде, Рахул; Thaddeus., M. (eds.), Алгебраическая геометрия --- Сиэтл 2005. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Pure Math., 80 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 667–684, arXiv : math / 0601507 , Bibcode : 2006math ...... 1507K , ISBN 978-0-8218-4703-9, MR 2483951

[1] Весьма тонкий момент состоит в том, что если X - суперсингулярная эллиптическая кривая над полем F _p из p элементов, то ее кристаллические когомологии являются свободным модулем ранга 2 над Z _p . Приведенные аргументы неприменимы в этом случае, потому что некоторые из эндоморфизмов такой кривой X определены только над F _{p ²} .