В геометрии , ветвление является «ветвление», в том , что корень квадратный функция, для комплексных чисел , можно видеть две ветви , различающиеся знаком. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви сходятся), когда покрывающая карта вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием слоев отображения.
В комплексном анализе
В комплексном анализе базовая модель может быть взята как отображение z → z n на комплексной плоскости вблизи z = 0. Это стандартная локальная картина разветвления порядка n в теории римановых поверхностей . Это происходит, например, в формуле Римана – Гурвица для влияния отображений на род . См. Также точку ветвления .
В алгебраической топологии
В покрывающем отображении характеристика Эйлера – Пуанкаре должна умножаться на количество листов; разветвление, следовательно, можно обнаружить по некоторому отбрасыванию от него. Г → г п отображения показывает это как локальный характер: если исключить 0, глядя на 0 <| z | <1, например, мы имеем (с точки зрения гомотопии ) окружность, отображаемую в себя n -м степенным отображением (характеристика Эйлера – Пуанкаре 0), но для всего круга характеристика Эйлера – Пуанкаре равна 1, n - 1 являются «потерянными» точками, когда n листов собираются вместе при z = 0.
С геометрической точки зрения ветвление - это то, что происходит во второй коразмерности (например, теория узлов и монодромия ); поскольку вещественная коразмерность два является комплексной коразмерностью 1, локальный комплексный пример устанавливает образец для многомерных комплексных многообразий . В комплексном анализе листы не могут просто складываться вдоль линии (одна переменная) или подпространства коразмерности один в общем случае. Множество ветвлений (место ветвления на основании, двойная точка, установленная выше) будет на два реальных измерения ниже, чем окружающее многообразие , и поэтому не будет разделять его на две `` стороны '', локально ― будут пути, идущие вокруг локуса ветвления , как в примере. В алгебраической геометрии над любым полем , по аналогии, это происходит и в алгебраической коразмерности один.
В алгебраической теории чисел
В алгебраических расширениях
Ветвление в алгебраической теории чисел означает факторизацию простого идеала в расширении, чтобы получить несколько повторяющихся факторов простого идеала. А именно пустьбыть кольцо целых чисел в качестве поля алгебраических чисел , а также идеал из. Для расширения поля мы можем рассмотреть кольцо целых чисел (который является целым замыканием из в ), а идеальный из . Этот идеал может быть, а может и не быть простым, но для конечных, он разлагается на простые идеалы:
где являются различными простыми идеалами . потомкак говорят, разветвляется в если для некоторых ; в противном случае этонеразветвленный . Другими словами, разветвляется в если индекс ветвления больше единицы для некоторых . Эквивалентным условием является то, чтоимеет ненулевой нильпотентный элемент: он не является продуктом конечных полей . На аналогию со случаем римановой поверхности уже указали Ричард Дедекинд и Генрих М. Вебер в девятнадцатом веке.
Ветвление закодировано в по относительному дискриминанту ипо относительному разному . Первый - идеал и делится на если и только если какой-то идеал из разделение разветвлен. Последний является идеалом и делится на простой идеал из именно когда разветвлен.
Ветвление ручное, когда индексы ветвлениявсе взаимно простое с остатком характерного р из, иначе дикий . Это условие важно в теории модулей Галуа . Конечное этальное в общем случае расширениеиз дедекиндовыми доменов является правильным , если и только если след сюръективно.
В местных полях
Более подробный анализ ветвления в числовых полях может быть проведен с использованием расширений p-адических чисел , потому что это локальный вопрос. В этом случае количественная мера разветвления определяется для расширений Галуа , в основном задавая вопрос, как далеко группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. Определяется последовательность групп ветвления , реифицирующая (среди прочего) дикое ( неприрученное ) ветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.
В алгебре
В теории оценки , то теория ветвления оценок изучает набор расширений одного оценок в виде поле K на поле расширения в K . Это обобщает понятия алгебраической теории чисел, локальных полей и дедекиндовских областей.
В алгебраической геометрии
Соответствующее понятие неразветвленного морфизма существует и в алгебраической геометрии. Он служит для определения этальных морфизмов .
Позволять быть морфизмом схем. Опора квазикогерентного пучканазывается множество ветвления из и образ локуса ветвления, , Называются ветвление из. Если мы говорим, что является формально неразветвлен и если также имеет локально конечное представление, мы говорим, что не разветвлен (см. Vakil 2017 ).
Смотрите также
- Полином Эйзенштейна
- Многоугольник Ньютона
- Расширение Puiseux
- Разветвленное покрытие
Рекомендации
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). Восходящее море: основы алгебраической геометрии (PDF) . Дата обращения 5 июня 2019 .
Внешние ссылки
- «Разветвление в числовых полях» . PlanetMath .