Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о вырождении в математике. По поводу вырождения графа см вырождение (теория графов) . Для использования в других целях, см Вырождение (значения) .

В математике , А вырожденный случай является предельным случаем одного класса объектов , которые , как представляется, качественно отличается от (и обычно проще) остальной части класса, [1] [2] , а термин вырождение является условием того , чтобы быть вырожденный случай. [3]

Определения многих классов составных или структурированных объектов часто неявно включают неравенства. Например, углы и длины сторон треугольника должны быть положительными. Предельные случаи, когда одно или несколько из этих неравенств становятся равенствами, являются вырождениями. В случае треугольников получается вырожденный треугольник, если хотя бы одна сторона или угол равны нулю (эквивалентно, он становится «отрезком прямой» [4] ).

Часто вырожденные случаи являются исключительными случаями, когда происходят изменения обычной размерности или мощности объекта (или какой-либо его части). Например, треугольник - это объект размерности два, а вырожденный треугольник содержится в линии , [4] что делает его размерность один. Это похоже на случай круга, размер которого уменьшается с двух до нуля, когда он превращается в точку. [2] В качестве другого примера, набор решений из системы уравнений , которая зависит от параметровобычно имеет фиксированную мощность и размерность, но мощность и / или размерность могут отличаться для некоторых исключительных значений, называемых вырожденными случаями. В таком вырожденном случае множество решений называется вырожденным.

Для некоторых классов составных объектов вырожденные случаи зависят от конкретно исследуемых свойств. В частности, класс объектов часто может быть определен или охарактеризован системами уравнений. В большинстве сценариев данный класс объектов может определяться несколькими различными системами уравнений, и эти разные системы уравнений могут приводить к различным вырожденным случаям, характеризуя одни и те же невырожденные случаи. Это может быть причиной отсутствия общего определения вырождения, несмотря на то, что это понятие широко используется и определяется (при необходимости) в каждой конкретной ситуации.

Таким образом, у вырожденного случая есть особые особенности, которые делают его нетипичным . Однако не все необщие случаи вырождены. Например, прямоугольные , равнобедренные и равносторонние треугольники не являются общими и невырожденными. Фактически, вырожденные случаи часто соответствуют особенностям объекта или некоторого конфигурационного пространства . Например, коническое сечение вырождено тогда и только тогда, когда оно имеет особые точки (например, точка, прямая, пересекающиеся прямые [5] ).

В геометрии [ править ]

Коническое сечение [ править ]

Основная статья: вырожденная коническая

Вырожденная коника - это коническое сечение ( плоская кривая второй степени , определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которое не может быть неприводимой кривой .

  • Точка является вырожденной окружностью , а именно один с радиусом 0. [2]
  • Линия представляет собой вырожденный случай параболы , если парабола находится на касательной плоскости . В инверсивной геометрии линия представляет собой вырожденный случай окружности с бесконечным радиусом.
  • Две параллельные прямые также образуют вырожденную параболу.
  • Отрезок можно рассматривать как вырожденный случай эллипса , в котором малая ось стремится к нулю, в фокусах Перейти к конечным точкам, а эксцентричность идет к одному.
  • Круг можно рассматривать как вырожденный эллипс, когда эксцентриситет приближается к нулю [2]
  • Эллипс также может вырождаться в одну точку.
  • Гипербола может вылиться в две линии пересечения в точке, [1] с помощью семейства гипербол , имеющих эти линии , как общие асимптоты .

Треугольник [ править ]

Три типа вырожденных треугольников, каждый из которых имеет нулевую площадь.
  • Вырожденный треугольник имеет коллинеарные вершины [4] и нулевую площадь и, таким образом, совпадает с отрезком, покрытым дважды (если три вершины не равны; в противном случае треугольник вырождается в одну точку). Если три вершины попарно различны, у него есть два угла 0 ° и один угол 180 °. Если две вершины равны, у него один угол 0 ° и два неопределенных угла.

Прямоугольник [ править ]

  • Отрезок - это вырожденный случай прямоугольника, длина стороны которого равна 0.
  • Для любого непустого подмножества существует ограниченный выровненный по оси вырожденный прямоугольник
    где и a i , b i , c i постоянны (с a i ≤ b i для всех i ). Число вырожденных сторон R представляет собой число элементов подмножества S . Таким образом, может быть всего одна вырожденная «сторона» или целых n (в этом случае R сводится к одноэлементной точке).

Выпуклый многоугольник [ править ]

  • Выпуклый многоугольник является вырожденной , если по крайней мере , две последовательные стороны совпадают , по меньшей мере , частично или , по крайней мере , одна сторона имеет нулевую длину, или , по меньшей мере , один угол равен 180 °. Таким образом, вырожденный выпуклый многоугольник с n сторонами выглядит как многоугольник с меньшим числом сторон. В случае треугольников это определение совпадает с тем, что было дано выше.

Выпуклый многогранник [ править ]

  • Выпуклый многогранник является вырожденной , если либо две смежные грани находятся в одной плоскости , или два ребра выровнены. В случае тетраэдра это эквивалентно тому, что все его вершины лежат в одной плоскости , что придает ему нулевой объем .

Стандартный тор [ править ]

  • В контекстах, где разрешено самопересечение, сфера представляет собой вырожденный стандартный тор, в котором ось вращения проходит через центр образующей окружности, а не за ее пределами.

Сфера [ править ]

  • Когда радиус сферы стремится к нулю, полученная вырожденная сфера нулевого объема становится точкой .

Другое [ править ]

  • Смотрите общее положение для других примеров.

В другом месте [ править ]

  • Множество, содержащее единственную точку, представляет собой вырожденный континуум .
  • Такие объекты, как Digon и monogon можно рассматривать как вырожденные случаи многоугольников : действительные в общем абстрактном математическом смысле, но не часть первоначальной евклидовой концепции многоугольников.
  • Случайная величина , которая может принимать только одно значение имеет вырожденное распределение ; если это значение является действительным числом 0, то его плотность вероятности является дельта-функцией Дирака .
  • Корни из многочлена называются вырожденным , если они совпадают, так как родовая п корни п - й степень полинома различны. [2] Это использование переносится на собственные задачи: вырожденное собственное значение (т. Е. Многократно совпадающий корень характеристического многочлена ) - это такое, которое имеет более одного линейно независимого собственного вектора .
  • В квантовой механике любая такая множественность собственных значений оператора Гамильтона порождает вырожденные уровни энергии . Обычно такое вырождение указывает на некоторую симметрию, лежащую в основе системы.

См. Также [ править ]

  • Вырождение (теория графов)
  • Вырожденная форма
  • Тривиальный (математика)
  • Патологический (математика)
  • Пустая правда

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b «Окончательный словарь высшего математического жаргона - вырожденный случай» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 29 ноября 2019 .
  2. ^ a b c d e Вайсштейн, Эрик У. «Выродившийся» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 .
  3. ^ «Определение ВЫРОЖДЕНИЯ» . www.merriam-webster.com . Проверено 29 ноября 2019 .
  4. ^ a b c «Математические слова: вырожденный» . www.mathwords.com . Проверено 29 ноября 2019 .
  5. ^ «Математические слова: вырожденные конические сечения» . www.mathwords.com . Проверено 29 ноября 2019 .