Было высказано предположение , что Ветвление теория оценок быть объединены в эту статью. ( Обсудить ) Предлагается с марта 2020 года. |
В теории чисел , более конкретно , в локальной теории полей классов , то ветвления группы являются фильтрация из группы Галуа в виде локального поля расширения, что дает подробную информацию о ветвлений явлениях расширения.
Группы ветвления в нижней нумерации [ править ]
Ветвление группа уточнение группы Галуа конечного расширения Галуа из локальных полей . Мы будем писать для оценки, кольцо целых чисел и его максимальный идеал для . Как следствие леммы Гензеля , можно написать для некоторого где - кольцо целых чисел . [1] (Это сильнее, чем теорема о примитивном элементе .) Затем для каждого целого числа мы определяем множество всего, что удовлетворяет следующим эквивалентным условиям.
- (i) тривиально действует на
- (ii) для всех
- (iii)
Группа называется -й группой ветвления . Они образуют убывающую фильтрацию ,
Фактически, они нормальны по (i) и тривиальны при достаточно больших по (iii). Для самых низких показателей, это принято называть в подгруппу инерции из - за его отношения к расщеплению простых идеалов , в то время как в диком подгруппы инерции в . Частное называется ручным частным.
Группа Галуа и ее подгруппы изучаются с помощью указанной выше фильтрации или, более конкретно, соответствующих факторов. Особенно,
- где - (конечные) поля вычетов . [2]
- является неразветвленным .
- является ручно разветвленным (т. е. индекс ветвления прост с характеристикой вычета).
Изучение групп ветвления сводится к полностью разветвленному случаю, так как есть for .
Один также определяет функцию . (ii) в приведенных выше показах не зависит от выбора и, более того, изучение фильтрации по существу эквивалентно изучению . [3] удовлетворяет следующему: для ,
Фикс униформизирующая из . Затем вызывает инъекцию где . (Отображение фактически не зависит от выбора униформизатора. [4] ) Отсюда следует [5]
- циклический порядок, простой с
- является произведением циклических групп порядка .
В частности, является р -группа и является разрешимым .
Группы ветвления могут использоваться для вычисления различий расширения и подрасширений: [6]
Если нормальная подгруппа , то для , . [7]
Комбинируя это с приведенным выше, получаем: для подрасширения, соответствующего ,
Если , то . [8] В терминологии Лазара это можно понимать как означающее, что алгебра Ли абелева.
Пример: циклотомическое расширение [ править ]
Групп ветвления для кругового расширения , где представляет собой -й примитивный корень из единицы , может быть описан в явном виде: [9]
где е выбрано так, что .
Пример: расширение квартики [ править ]
Пусть K - расширение Q 2, порожденное . Сопряженные с x 1 равны x 2 = x 3 = - x 1 , x 4 = - x 2 .
Небольшое вычисление показывает, что частное любых двух из них составляет единицу . Следовательно, все они порождают один и тот же идеал; назовите это π . порождает π 2 ; (2) = π 4 .
Теперь x 1 - x 3 = 2 x 1 , что находится в π 5 .
и который находится в π 3 .
Различные методы показывают , что группа Галуа K является , циклическая порядка 4. Кроме того :
и
так что разные
х 1 удовлетворяет условию х 4 - 4 х 2 + 2, который имеет дискриминант 2048 = 2 11 .
Группы ветвления в верхней нумерации [ править ]
Если - действительное число , пусть обозначает, где i - наименьшее целое число . Другими словами, Определить по [10]
где по соглашению равно if и равно for . [11] Тогда для . Непосредственно проверяется, что непрерывна и строго возрастает, и , таким образом , имеет непрерывную обратную функцию , определенную на . Определить . тогда называется v -й группой ветвления в верхней нумерации. Другими словами, . Примечание . Верхняя нумерация определена так, чтобы быть совместимой с переходом к частным: [12] если нормально в , то
- для всех
(тогда как более низкая нумерация совместима с переходом на подгруппы.)
Теорема Эрбрана [ править ]
Теорема Эрбрана утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют (для где - подрасширение, соответствующее ), и что группы ветвления в верхней нумерации удовлетворяют . [13] [14] Это позволяет определить группы ветвления в верхней нумерации для бесконечных расширений Галуа (таких как абсолютная группа Галуа локального поля) из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений.
Верхняя нумерация абелевого расширения важна из-за теоремы Хассе – Арфа . В нем говорится, что если абелева, то скачки фильтрации целые; т.е. всякий раз , когда не является целым числом. [15]
Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы нормальных вычетов единичными группами при изоморфизме Артина . Образ при изоморфизме
всего лишь [16]
См. Также [ править ]
- Теория ветвления оценок
Заметки [ править ]
- ^ Neukirch (1999) с.178
- ^ таккак канонически изоморфна группе разложения.
- ↑ Серр (1979), стр.62
- ^ Конрад
- ^ Использованиеи
- ^ Серр (1979) 4.1 Предложение 4, стр.64
- ^ Серр (1979) 4.1. Предложение 3, стр.63
- ^ Серр (1979) 4.2. Предложение 10.
- ^ Серр, Corps locaux . Гл. IV, §4, предложение 18
- ^ Серра (1967) стр.156
- ^ Neukirch (1999) с.179
- ↑ Серр (1967), стр.155
- ^ Neukirch (1999) с.180
- ↑ Серр (1979), стр.75
- ^ Neukirch (1999) p.355
- ^ Snaith (1994) pp.30-31
Ссылки [ править ]
- Б. Конрад, Math 248A. Высшие группы ветвления
- Fröhlich, A .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 27 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория поля локальных классов». В Касселсе, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. С. 128–161. Zbl 0153.07403 .
- Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля . Тексты для выпускников по математике. 67 . Перевод Гринберга, Марвин Джей . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Руководство по ремонту 0554237 . Zbl 0423.12016 .
- Снайт, Виктор П. (1994). Структура модуля Галуа . Монографии Института Филдса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042 .