Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , локальная теория полей классов , введенный Гельмут Хассе , [1] является изучение абелевых расширений из локальных полей ; здесь «локальное поле» означает поле, которое является полным по модулю или дискретной оценке с конечным полем вычетов: следовательно, каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) действительным числам R , комплексным числам C , А конечное расширение из р -адические числа Q р (где р любое простое число ,) или конечное расширение поля формальных рядов Лорана F q (( T )) над конечным полем F q .

Подходы к теории поля локальных классов [ править ]

Теория полей локальных классов дает описание группы Галуа G максимального абелевого расширения локального поля K через отображение взаимности, действующее из мультипликативной группы K × = K \ {0}. Для конечного абелевого расширения L поля K отображение взаимности индуцирует изоморфизм фактор-группы K × / N ( L × ) группы K × по группе норм N ( L × ) расширения L × в группу Галуа Gal ( L /K ) расширения. [2]

Теорема существования в локальной теории полей классов устанавливает взаимно однозначное соответствие одному между открытыми подгруппами конечного индекса в мультипликативной группе K × и конечных абелевых расширений поля К . Для конечного абелевого расширения L группы K соответствующая открытая подгруппа конечного индекса является группой норм N ( L × ). Карта взаимности отправляет более высокие группы единиц в более высокие подгруппы ветвления, см., Например, гл. IV оф. [3]

Используя локальное отображение взаимности, можно определить символ Гильберта и его обобщения. Нахождение явных формул для него - одно из направлений теории локальных полей, оно имеет долгую и богатую историю, см., Например, обзор Сергея Востокова . [4]

Существуют когомологические подходы и некогомологические подходы к локальной теории полей классов. Когомологические подходы, как правило, не являются явными, поскольку они используют куб-произведение первых групп когомологий Галуа.

О различных подходах к локальной теории полей классов см. Гл. IV и разд. 7 гл. IV из [5]. Они включают подход Хассе с использованием группы Брауэра, когомологические подходы, явные методы Юргена Нойкирха , Михаэля Хазевинкеля , теорию Любина-Тейта и другие.

Обобщения локальной теории поля классов [ править ]

Обобщения локальной теории полей классов на локальные поля с квазиконечным полем вычетов были легкими расширениями теории, полученными Дж. Ваплсом в 1950-х годах, см. Главу V [ требуется пояснение ] . [6]

Явная теория поля p-класса для локальных полей с совершенными и несовершенными полями вычетов, которые не являются конечными, должна иметь дело с новым вопросом о группах норм бесконечного индекса. Соответствующие теории построил Иван Фесенко . [7] [8] Некоммутативная локальная теория полей классов Фесенко для арифметически проконечных расширений Галуа локальных полей изучает соответствующее отображение локального коцикла взаимности и его свойства. [9] Эту арифметическую теорию можно рассматривать как альтернативу теоретическому представлению локального соответствия Ленглендса.

Теория поля высшего локального класса [ править ]

Для многомерного локального поля существует высшее локальное отображение взаимности, которое описывает абелевы расширения поля в терминах открытых подгрупп конечного индекса в K-группе Милнора поля. А именно, если является -мерным локальным полем, то используется или его разделенный фактор, наделенный подходящей топологией. Когда теория становится обычной локальной теорией поля классов. В отличие от классического случая, K-группы Милнора не удовлетворяют модульному спуску Галуа, если . Общая многомерная локальная теория полей классов была разработана К. Като и И. Фесенко .

Теория полей высших локальных классов является частью теории полей высших классов, изучающей абелевы расширения (соответственно абелевы накрытия) полей рациональных функций правильных регулярных схем, плоских над целыми числами.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Хассе, Х. (1930), "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen". , Journal für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ), 162 : 145-154, DOI : 10,1515 / crll.1930.162.145 , ISSN  0075-4102 , JFM  56.0165.03
  2. ^ Фесенко, Иван и Востоков, Сергей, Локальные поля и их расширения , 2-е изд., Американское математическое общество , 2002, ISBN 0-8218-3259-X 
  3. ^ Фесенко, Иван и Востоков, Сергей, Локальные поля и их расширения , 2-е изд., Американское математическое общество , 2002, ISBN 0-8218-3259-X 
  4. ^ "Сергей В. Востоков, Явные формулы для символа Гильберта, Приглашение к высшим локальным полям" . Монографии по геометрии и топологии . 3 : 81–90. 2000. DOI : 10,2140 / gtm.2000.3 .
  5. ^ Фесенко, Иван и Востоков, Сергей, Локальные поля и их расширения , 2-е изд., Американское математическое общество , 2002, ISBN 0-8218-3259-X 
  6. ^ "Сергей В. Востоков, Явные формулы для символа Гильберта, Приглашение к высшим локальным полям" . Монографии по геометрии и топологии . 3 : 81–90. 2000. DOI : 10,2140 / gtm.2000.3 .
  7. ↑ И. Фесенко (1994). "Локальная теория полей классов: случай совершенного поля вычетов". Известия Математики . Российская академия наук. 43 (1): 65–81.
  8. ^ Фесенко, И. (1996). «Об общих локальных картах взаимности». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 473 : 207–222.
  9. Перейти ↑ Fesenko, I. (2001). «Неабелевские локальные карты взаимности». Теория поля классов - ее столетний юбилей и перспективы, углубленные исследования чистой математики . С. 63–78. ISBN 4-931469-11-6.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Фесенко, Иван; Востоков, Сергей (2002), Локальные поля и их расширения (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-19-504030-2
  • Фесенко, Иван Б .; Курихара, Масато, ред. (2000), Приглашение к высшему локальных полей , Геометрия и топология Монографии, 3 (первый ред.), Университет Уорвик: математических наук Publishers , DOI : 10.2140 / gtm.2000.3 , ISSN  1464-8989 , ZBL  0954.00026
  • Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, Руководство по ремонту  0863740
  • Нойкирх, Юрген (1986), Теория поля классов , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 280 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15251-4, MR  0819231
  • Серр, Жан-Пьер (1967), «Теория поля локальных классов», в Касселсе, Джон Уильям Скотт; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Брайтон, 1965) , Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 128–161, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR  0220701
  • Серр, Жан-Пьер (1979) [1962], Corps Locaux (английский перевод: Local Fields) , Graduate Texts in Mathematics, 67 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, Руководство по ремонту  0150130