Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике более высокое (-мерное) локальное поле является важным примером полного поля дискретной оценки . Такие поля также иногда называют многомерными локальными полями.

На обычных локальных полях (обычно пополнений числовых полей или фактор поле в локальных кольцах из алгебраических кривых ) существует единственное сюръективное дискретное нормирование (ранг 1) , связанное с выбором локального параметра полей, если они не являются архимедовым локальные поля, такие как действительные числа и комплексные числа. Точно так же существует дискретная оценка ранга n почти для всех n- мерных локальных полей, связанная с выбором n локальных параметров поля. [1] В отличие от одномерных локальных полей, более высокие локальные поля имеют последовательность полей вычетов .[2] Существуют различные интегральные структуры на более высоких локальных полях, в зависимости от того, сколько информации о полях остатков нужно учитывать. [2]

Геометрически более высокие локальные поля возникают в процессе локализации и пополнения локальных колец схем более высоких размерностей . [2] Высшие локальные поля - важная часть предмета теории чисел более высоких измерений, формируя соответствующий набор объектов для рассмотрения на местном уровне.

Определение [ править ]

Конечные поля имеют размерность 0, а полные поля дискретной оценки с конечным полем вычетов имеют размерность один (естественно также определить архимедовы локальные поля, такие как R или C, чтобы иметь размерность 1), тогда мы говорим, что полное дискретное поле оценки имеет размерность n, если его поле вычетов имеет размерность n - 1. Более высокие локальные поля имеют размерность больше единицы, в то время как одномерные локальные поля являются традиционными локальными полями. Мы называем поле вычетов конечномерного более высокого локального поля «первым» полем вычетов, его поле вычетов тогда является вторым полем вычетов, и образец продолжается до тех пор, пока мы не достигнем конечного поля. [2]

Примеры [ править ]

Двумерные локальные поля делятся на следующие классы:

  • Поля положительной характеристики - это формальные степенные ряды от переменной t над одномерным локальным полем, т.е. F q (( u )) (( t )).
  • Равнохарактерные поля нулевой характеристики - это формальные степенные ряды F (( t )) над одномерным локальным полем F нулевой характеристики.
  • Поля смешанной характеристики, они являются конечными расширениями полей типа F {{ t }}, F - одномерное локальное поле нулевой характеристики. Это поле определяется как набор формальных степенных рядов, бесконечных в обоих направлениях, с коэффициентами из F, такими, что минимум оценки коэффициентов является целым числом, и такие, что оценка коэффициентов стремится к нулю по мере роста их индекса. до минус бесконечности. [2]
  • Архимедова двумерных локальных полей, которые являются формальными степенных рядов над вещественными числами R или комплексных чисел C .

Конструкции [ править ]

Более высокие локальные поля появляются в различных контекстах. Геометрический пример выглядит следующим образом. Для поверхности над конечным полем характеристики p, кривой на поверхности и точки на кривой возьмем локальное кольцо в этой точке. Затем завершите это кольцо, локализуйте его на кривой и завершите получившееся кольцо. Наконец, возьмем поле частного. Результатом является двумерное локальное поле над конечным полем. [2]

Также существует конструкция с использованием коммутативной алгебры, которая становится технической для нерегулярных колец. Отправной точкой является нётерово регулярное n -мерное кольцо и полный флаг первичных идеалов, для которых соответствующее фактор-кольцо регулярно. Выполняется серия дополнений и локализаций, как описано выше, до тех пор, пока не будет достигнуто n- мерное локальное поле.

Топологии на более высоких локальных полях [ править ]

Одномерные локальные поля обычно рассматриваются в топологии оценки, в которой дискретная оценка используется для определения открытых множеств. Этого будет недостаточно для локальных полей более высокой размерности, поскольку необходимо также учитывать топологию на уровне остатка. Более высокие локальные поля могут быть снабжены соответствующими топологиями (не определенными однозначно), которые решают эту проблему. Такие топологии не являются топологиями, связанными с дискретными оценками ранга n , если n> 1. В размерности два и выше аддитивная группа поля становится топологической группой, которая не является локально компактной, и база топологии не счетна. Самым удивительным является то, что умножение не является непрерывным, однако оно непрерывно последовательно, чего достаточно для всех разумных арифметических целей. Существуют также повторные независимые подходы к замене топологических соображений более формальными. [3]

Измерение, интегрирование и гармонический анализ на более высоких локальных полях [ править ]

На двумерных локальных полях нет трансляционно-инвариантной меры. Вместо этого существует конечно-аддитивная инвариантная мера о переносе, определенная на кольце множеств, порожденных замкнутыми шарами относительно двумерных дискретных оценок на поле, и принимающая значения в формальном степенном ряду R (( X )) по действительным числам. [4] Эта мера также является счетно-аддитивной в определенном тонком смысле. Его можно рассматривать как более высокую меру Хаара на более высоких локальных полях. Аддитивная группа каждого высшего локального поля неканонически самодуальна, и можно определить высшее преобразование Фурье на подходящих пространствах функций. Это приводит к анализу высших гармоник. [5]

Теория поля высшего локального класса [ править ]

Теория поля локальных классов в размерности один имеет аналоги в более высоких измерениях. Подходящей заменой для мультипликативной группы становится n-я K-группа Милнора , где n - размерность поля, которая затем появляется как область отображения взаимности в группу Галуа максимального абелевого расширения над полем. Еще лучше работать с фактором n-й K-группы Милнора по ее подгруппе элементов, делящихся на любое натуральное число. По теореме Фесенко [6]этот фактор можно также рассматривать как максимальный отделенный топологический фактор K-группы, наделенной соответствующей топологией более высокой размерности. Высший локальный гомоморфизм взаимности от этого фактора n-й K-группы Милнора к группе Галуа максимального абелевого расширения высшего локального поля имеет много черт, аналогичных свойствам одномерной локальной теории полей классов.

Теория полей более высоких локальных классов совместима с теорией полей классов на уровне поля вычетов, используя карту границ K-теории Милнора для создания коммутативной диаграммы, включающей отображение взаимности на уровне поля и поля вычетов. [7]

Общая теория поля высших локальных классов была разработана Казуей Като [8] и Иваном Фесенко . [9] [10] Теория поля высших локальных классов в положительной характеристике была предложена А. Паршиным. [11] [12]

Заметки [ править ]

  1. ^ Фесенко, И.Б., Востоков, С.В. Локальные поля и их расширения . Американское математическое общество, 1992, глава 1 и приложение.
  2. ^ a b c d e f Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение на более высокие локальные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, секция 1 (Жуков).
  3. ^ Фесенко, И., Курихара, М. (ред.) Приглашение на более высокие локальные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000 г., несколько разделов.
  4. ^ Фесенко, И. Анализ по арифметическим схемам. Я . Docum. Math., (2003), специальный том Като, 261-284
  5. ^ Фесенко, И., Мера, интегрирование и элементы гармонического анализа на обобщенных пространствах петель , Труды. Санкт-Петербургская математика. Soc., Т. 12 (2005), 179–199; AMS Transl. Серия 2, т. 219, 149–164, 2006 г.
  6. ↑ И. Фесенко (2002). «Последовательные топологии и фактор-группы K-групп Милнора высших локальных полей» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 13 .
  7. ^ Фесенко, И., Курихара, М. (ред.) Приглашение на более высокие локальные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, раздел 5 (Курихара).
  8. ^ К. Като (1980). «Обобщение локальной теории полей классов с помощью K -групп. II». J. Fac. Sci. Univ. Токио . 27 : 603–683.
  9. ↑ И. Фесенко (1991). «К теории полей классов многомерных локальных полей положительной характеристики». Adv. Сов. Математика . 4 : 103–127.
  10. ↑ И. Фесенко (1992). «Теория полей классов многомерных локальных полей характеристики 0 с полем вычетов положительной характеристики». Санкт-Петербургский математический журнал . 3 : 649–678.
  11. ↑ А. Паршин (1985). «Теория поля локальных классов». Proc. Стеклова Математика. : 157–185.
  12. ↑ А. Паршин (1991). «Когомологии Галуа и группа Брауэра локальных полей»: 191–201. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Ссылки [ править ]

  • Фесенко, Иван Б .; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, MR  1915966 , Zbl  1156.11046
  • Фесенко, Иван Б .; Курихара, Масато, ред. (2000), Приглашение на высшие местные поля. Расширенная версия докладов, сделанных на конференции по высшим локальным областям, Мюнстер, Германия, 29 августа - 5 сентября 1999 г. , Монографии по геометрии и топологии, 3 (первое изд.), Уорикский университет: Издательство математических наук , doi : 10.2140 / gtm .2000.3 , ISSN  1464-8989 , Zbl  0954.00026