Дискретная оценка

В математике , А дискретное нормирование является целым число оценки на поле К ; то есть функция

${\ Displaystyle \ Nu: К \ к \ mathbb {Z} \ чашка \ {\ infty \}}$

удовлетворяющие условиям

${\ Displaystyle \ ню (х \ CDOT у) = \ ню (х) + \ ню (у)}$

${\ Displaystyle \ ню (х + у) \ geq \ мин {\ большой \ {} \ ню (х), \ ню (у) {\ большой \}}}$

${\ Displaystyle \ Nu (x) = \ infty \ iff x = 0}$

для всех .${\ displaystyle x, y \ in K}$

Обратите внимание, что часто тривиальная оценка, которая принимает только значения , явно исключается.${\ displaystyle 0, \ infty}$

Поле с нетривиальной дискретной оценкой называется полем дискретной оценки .

Дискретные оценочные кольца и оценки по полям [ править ]

Каждому полю с дискретной оценкой мы можем связать подкольцо${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ nu}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

из , которое представляет собой кольцо дискретной оценки . И наоборот, оценка на дискретном кольце оценки может быть уникальным образом расширена до дискретной оценки на поле частных ; соответствующее кольцо дискретной оценки справедливо .${\displaystyle K}$${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle A}$

Примеры [ править ]

• Для фиксированного простого числа и для любого элемента, отличного от нуля, пишите с таким, что не делится . Затем происходит дискретная оценка , называемая p-адической оценкой.${\displaystyle p}$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \nu (x)=j}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Учитывая риманова поверхность , мы можем рассматривать поле из мероморфных функций . Для фиксированной точки мы определяем дискретную оценку следующим образом: тогда и только тогда, когда является наибольшим целым числом, таким, что функция может быть расширена до голоморфной функции в точке . Это означает: если тогда есть корень порядка в точке ; если тогда есть полюс порядка в . Аналогичным образом, один также определяет дискретное нормирование на поля функций в качестве алгебраической кривой для каждой регулярной точки${\displaystyle X}$${\displaystyle K=M(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \nu (f)=j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu (f)=j>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu (f)=j<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -j}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ на кривой.

Больше примеров можно найти в статье о кольцах дискретной оценки .

Ссылки [ править ]

• Фесенко, Иван Б .; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, MR  1915966