Алгебраическая K -теория

Алгебраические К -теория является предметной области в области математики со связями к геометрии , топологии , теории колец и теории чисел . Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам присваиваются объекты, называемые K -группами. Это группы в смысле абстрактной алгебры . Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но, как известно, их сложно вычислить; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K -групп целых чисел .

K -теория была изобретена в конце 1950-х годов Александром Гротендиком в его исследовании теории пересечений на алгебраических многообразиях . На современном языке Гротендик определил только K ₀ , нулевую K -группу, но даже у этой единственной группы есть множество приложений, таких как теорема Гротендика – Римана – Роха . Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высшей) алгебраической K- теории благодаря ее связям с мотивационными когомологиями и, в частности, с группами Чжоу . Тема также включает классические теоретико-числовые темы, такие как квадратичная взаимность.и встраивание числовых полей в действительные числа и комплексные числа , а также более современные проблемы, такие как создание высших регуляторов и специальных значений L- функций .

Первыми были открыты нижние K -группы в том смысле, что были найдены адекватные описания этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если F - поле , то K ₀ ( F ) изоморфно целым числам Z и тесно связано с понятием размерности векторного пространства . Для коммутативного кольца R , группа K ₀ ( R ) связана с группой Пикара из R , и когда R- кольцо целых чисел в числовом поле, это обобщает классическую конструкцию группы классов . Группа K ₁ ( R ) тесно связана с группой единиц R ^× , и если R - поле, это в точности группа единиц. Для числового поля F группа K ₂ ( F ) связана с теорией полей классов , символом Гильберта и разрешимостью квадратных уравнений над пополнениями. Напротив, поиск правильного определения высших K -групп колец было трудным достижением Дэниела Квиллена., и многие из основных фактов о высших K -группах алгебраических многообразий не были известны до работ Роберта Томасона .

История [ править ]

История K- теории была подробно описана Чарльзом Вейбелем . ^[1]

Группа Гротендика K ₀ [ править ]

В 19 веке Бернхард Риман и его ученик Густав Рох доказали то, что сейчас известно как теорема Римана – Роха . Если X - риманова поверхность, то множества мероморфных функций и мероморфных дифференциальных форм на X образуют векторные пространства. Линейное расслоение на X определяет подпространства этих векторных пространств, и если X проективен, то эти подпространства конечномерны. Теорема Римана – Роха утверждает, что разность размерностей между этими подпространствами равна степени линейного расслоения (мера скрученности) плюс один минус род X. В середине 20 века теорема Римана – Роха была обобщена Фридрихом Хирцебрухом на все алгебраические многообразия. В формулировке Хирцебруха, теорема Хирцебруха – Римана – Роха , теорема стала утверждением об эйлеровых характеристиках : эйлерова характеристика векторного расслоения на алгебраическом многообразии (которая представляет собой знакопеременную сумму размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального пакета плюс поправочный коэффициент из характеристических классоввекторного расслоения. Это обобщение, потому что на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика линейного расслоения равна разнице в размерах, упомянутой ранее, эйлерова характеристика тривиального расслоения равна единице минус род, а единственный нетривиальный характеристический класс - степень.

Предмет K -теории получил свое название от конструкции Александра Гротендика 1957 года, которая появилась в теореме Гротендика – Римана – Роха , его обобщении теоремы Хирцебруха. ^[2] Пусть X - гладкое алгебраическое многообразие. Каждому векторному расслоению на X Гротендик ставит в соответствие инвариант - его класс . Множество всех классов на X было названо K ( X ) из немецкого Klasse . По определению K ( X ) - фактор свободной абелевой группы на классах изоморфизмов векторных расслоений на X, а значит, это абелева группа. Если базисный элемент, соответствующий векторному расслоению V , обозначить [ V ], то для каждой короткой точной последовательности векторных расслоений:

${\ Displaystyle 0 \ к V '\ к V \ к V' '\ к 0,}$

Гротендик ввел соотношение [ V ] = [ V ′ ] + [ V ″ ] . Эти генераторы и отношения определяют K ( X ), и они подразумевают, что это универсальный способ назначать инварианты векторным расслоениям способом, совместимым с точными последовательностями.

Гротендик придерживался точки зрения, согласно которой теорема Римана – Роха является утверждением о морфизмах многообразий, а не о самих многообразиях. Он доказал , что существует гомоморфизм из K ( X ) к группам Ch из X , поступающей от характера Черен и Тодд класса из X . Кроме того, он доказал, что собственный морфизм f  : X → Y гладкого многообразия Y определяет гомоморфизм f *  : K ( X ) → K ( Y ), называемыйвперед . Это дает два способа определения элемента в группе Чоу Y из векторного расслоения на X : начиная с X , можно сначала вычислить продвижение вперед в K -теории, а затем применить характер Черна и класс Тодда Y , или можно сначала примените характер Черна и класс Тодда для X, а затем вычислите прямой ход для групп Чоу. Теорема Гротендика – Римана – Роха утверждает, что они равны. Когда Y - точка, векторное расслоение - это векторное пространство, класс векторного пространства - это его размерность, а теорема Гротендика – Римана – Роха специализируется на теореме Хирцебруха.

Группа K ( X ) теперь известна как K ₀ ( X ). После замены векторных расслоений проективными модулями K ₀ также стал определяться для некоммутативных колец, где он имел приложения к представлениям групп . Атья и Хирцебрух быстро перенесли конструкцию Гротендика в топологию и использовали ее для определения топологической K-теории . ^[3] Топологическая K -теория была одним из первых примеров необычной теории когомологий : она сопоставляет каждому топологическому пространству X(удовлетворяющая некоторым мягким техническим ограничениям) последовательность групп K _n ( X ), которая удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме аксиомы нормализации. Однако определение алгебраических многообразий гораздо более жесткое, а гибкие конструкции, используемые в топологии, были недоступны. В то время как группа K _0, казалось, удовлетворяла необходимым свойствам, чтобы стать началом теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, четкого определения высшего K _n ( X ) не существовало . Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничениями и склеиванием, обычно вынуждали K _n должно быть определено только для колец, а не для разновидностей.

K ₀ , K ₁ и K ₂ [ править ]

Хотя изначально это не было известно, группа, связанная с K _1, уже была представлена ​​в другом контексте. Анри Пуанкаре попытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако в его методах был серьезный пробел: Пуанкаре не мог доказать, что две триангуляции многообразия всегда давали одни и те же числа Бетти. Совершенно очевидно, что числа Бетти не изменились при разбиении триангуляции, и поэтому было ясно, что любые две триангуляции, которые имеют общее подразделение, имеют одинаковые числа Бетти. Не было известно, что любые две триангуляции допускают общее подразделение. Эта гипотеза стала гипотезой, известной как Hauptvermutung.(примерно «основная гипотеза»). Тот факт, что триангуляции стабильны при подразделении, побудил Дж. К. Уайтхеда ввести понятие простого гомотопического типа . ^[4] Простая гомотопическая эквивалентность определяется в терминах добавления симплексов или клеток к симплициальному комплексу или клеточному комплексу.таким образом, что каждый дополнительный симплекс или деформация ячейки втягиваются в часть старого пространства. Частично мотивация для этого определения состоит в том, что подразделение триангуляции является простым гомотопическим эквивалентом исходной триангуляции, и, следовательно, две триангуляции, которые имеют общее подразделение, должны быть простым гомотопическим эквивалентом. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, путем введения инварианта, называемого кручением . Кручение гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, которая теперь называется группой Уайтхеда и обозначается Wh ( π ), где πфундаментальная группа двух комплексов. Уайтхед нашел примеры нетривиального кручения и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности непросты. Через группа Уайтхед была обнаружена быть фактором K ₁ ( Z П ), где Z π является интегралом группового кольцом из П . Позже Джон Милнор использовал кручение Рейдемайстера , инвариант, связанный с кручением Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung.

Первое адекватное определение K ₁ кольца было сделано Хайманом Бассом и Стивеном Шануэлем . ^[5] В топологической K -теории K ₁ определяется с помощью векторных расслоений на надстройке пространства. Все такие векторные расслоения происходят из конструкции сцепления , когда два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеиваются вдоль общей полосы пространства. Эти данные склейки выражаются с помощью общей линейной группы, но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям со строками или столбцами), определяют эквивалентные склейки. Исходя из этого, определение Басса – Шенуэля для K ₁ кольца R имеет вид GL ( R ) / E ( R ) , где GL ( R ) - бесконечная общая линейная группа (объединение всех GL _n ( R )) и E ( R ) - подгруппа элементарных матриц. Они также дали определение K ₀ гомоморфизма колец и доказали, что K₀ и K ₁ могут быть помещены вместе в точную последовательность, аналогичную точной последовательности относительной гомологии.

Работа в K -теория этого периода достиг кульминации в книге Басса Алгебраическая K -теория . ^[6] В дополнение к последовательному изложению известных на тот момент результатов, Басс улучшил многие формулировки теорем. Особо следует отметить, что Басс, основываясь на своей более ранней работе с Мерти, ^[7] представил первое доказательство того, что теперь известно как фундаментальная теорема алгебраической K- теории . Это четыре перспективы точная последовательность , относящаяся К ₀ кольцевому R на K _- из R , кольцо многочленов R [ т] и локализацией R [ t , t ⁻¹ ]. Басс признал, что эта теорема полностью описывает K ₀ в терминах K ₁ . Применяя это описание рекурсивно, он произвел отрицательные K -группы K _−n ( R ). В независимой работе Макс Каруби дал другое определение отрицательных K -групп для определенных категорий и доказал, что его определения дают те же самые группы, что и Басса. ^[8]

Следующим важным достижением в этой области стало определение K ₂ . Стейнберг изучил универсальные центральные расширения группы Шевалле над полем и дал явное представление этой группы в терминах образующих и соотношений. ^[9] В случае группы E _n ( k ) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь записывается как St _n ( k ) и называется группой Стейнберга . Весной 1967 года Джон Милнор определил K ₂ ( R ) как ядро ​​гомоморфизма St ( R ) →E ( R ) . ^[10] Группа K ₂ расширила некоторые точные последовательности, известные для K ₁ и K ₀ , и нашла поразительные приложения в теории чисел. Хайдей Мацумото «s 1968 тезиса ^[11] показалчто для поля Р , К ₂ ( F ) был изоморфно:

${\ Displaystyle F ^ {\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} F ^ {\ times} / \ langle x \ otimes (1-x) \ двоеточие x \ in F \ setminus \ {0,1 \ } \ rangle.}$

Этому соотношению также удовлетворяет символ Гильберта , который выражает разрешимость квадратных уравнений над локальными полями . В частности, Джон Тейт смог доказать, что K ₂ ( Q ) по существу построена вокруг закона квадратичной взаимности .

Высшие K -группы [ править ]

В конце 1960-х - начале 1970-х годов было предложено несколько определений высшей K- теории . Свон ^[12] и Герстен ^[13] дали определения K _n для всех n , и Герстен доказал, что его теории и теории Свана эквивалентны, но не было известно, что эти две теории удовлетворяют всем ожидаемым свойствам. Нобиле и Вильямайор также предложили определение высших K -групп. ^[14] Каруби и Вильямайор определили K -группы с хорошим поведением для всех n , ^[15] но их эквивалент K ₁ иногда был собственным частным от Bass – SchanuelК ₁ . Их K -группы теперь называются KV _n и связаны с гомотопически-инвариантными модификациями K -теории.

Отчасти вдохновленный теоремой Мацумото, Милнор дал определение высших K -групп поля. ^[16] Он назвал свое определение «чисто ad hoc » ^[17], и оно не казалось ни обобщающим для всех колец, ни правильным определением высшей K -теории полей. Намного позже Нестеренко и Суслин ^[18] и Тотаро ^[19] обнаружили, что K- теория Милнора на самом деле является прямым слагаемым истинной K- теории поля. В частности, K -группы имеют фильтрацию, называемую весовой фильтрацией , а группа Милнора K-теория поля - это самая важная часть K -теории. Кроме того, Томасон обнаружил, что не существует аналога K- теории Милнора для общего разнообразия. ^[20]

Первым широко принятым определением высшей K- теории было определение Дэниела Квиллена . ^[21] В рамках работы Квиллена над гипотезой Адамса в топологии он построил отображения классифицирующих пространств BGL ( F _q ) в гомотопический слой ψ ^q - 1 , где ψ ^q - q- я операция Адамса, действующая на классифицирующее пространство БУ . Эта карта ациклическая, и после небольшого изменения BGL ( F _q ) для создания нового пробела BGL (F _q ) ⁺ , отображение стало гомотопической эквивалентностью. Эта модификация получила название плюсовой конструкции . Было известно, что операции Адамса связаны с классами Черна и K -теорией со времен работы Гротендика, и поэтому Квиллен был вынужден определить K- теорию R как гомотопические группы BGL ( R ) ⁺ . Это не только восстановило K ₁ и K ₂ , но и связь K -теории с операциями Адамса позволила Квиллену вычислить K -группы конечных полей.

Классифицирующее пространство BGL подключено, поэтому определение Квиллена не дает правильного значения для K ₀ . Кроме того, он не дал отрицательных K -групп. Поскольку K ₀ имел известное и принятое определение, эту трудность можно было обойти, но это оставалось технически неудобным. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL , который классически являлся источником K ₁ . Поскольку GL знает только о склейке векторных расслоений, а не о самих векторных расслоениях, он не мог описать K ₀ .

Вдохновленный беседами с Квилленом, Сигал вскоре представил другой подход к построению алгебраической K- теории под названием Γ-объектов. ^[22] Подход Сигала является гомотопическим аналогом конструкции K ₀ Гротендика . Если Гротендик работал с классами изоморфизма связок, Сигал работал с самими связками и использовал изоморфизмы связок как часть своих данных. Это приводит к спектру , гомотопические группы которого являются высшими K -группами (включая K ₀). Однако подход Сигала мог наложить соотношения только для точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность расщепляется, и поэтому Γ-объекты могут использоваться для определения K -теории кольца. Однако в категории векторных расслоений на многообразии и в категории всех модулей над кольцом есть нерасщепляемые короткие точные последовательности, поэтому подход Сигала применим не ко всем интересующим случаям.

Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению высшей K- теории, который оказался чрезвычайно успешным. Это новое определение началось с точной категории , категории, удовлетворяющей определенным формальным свойствам, аналогичным свойствам, которым удовлетворяет категория модулей или векторных расслоений, но немного слабее их. Из этого он построил вспомогательную категорию с помощью нового устройства под названием его « Q -строительство .» Подобно Γ-объектам Сигала, Q-конструкция уходит корнями в определение K ₀ , данное Гротендиком . Однако в отличие от определения Гротендика, Q-конструкция строит категорию, а не абелеву группу, и, в отличие от Γ-объектов Сигала, Q -конструкция напрямую работает с короткими точными последовательностями. Если С является абелевой категорией, то КК является категорией с теми же объектами , как C , но чьи морфизмы определены в терминах коротких точных последовательностей в С . K -группа точной категории являются гомотопическими группами Ома BQC , в пространстве петель в геометрической реализации (принимая пространство петель корректируют индексирование). Квиллен дополнительно доказал свою « теорему + = Q », что два его определения K-теории согласились друг с другом. Это дало правильное K ₀ и привело к более простым доказательствам, но все же не дало никаких отрицательных K -групп.

Все абелевы категории являются точными категориями, но не все точные категории абелевы. Поскольку Квиллен мог работать в этой более общей ситуации, он мог использовать точные категории в качестве инструментов в своих доказательствах. Эта техника позволила ему доказать многие основные теоремы алгебраической K -теории. Кроме того, можно было доказать, что более ранние определения Свона и Герстена при определенных условиях эквивалентны определениям Квиллена.

K -теория теперь оказалась теорией гомологий колец и теорией когомологий многообразий. Однако многие из его основных теорем содержат гипотезу о регулярности рассматриваемого кольца или многообразия. Одним из основных ожидаемых отношений была длинная точная последовательность ( так называемый «локализация последовательности») , связывающее K -теория многообразия X и открытое подмножество U . Квиллену не удалось полностью доказать существование последовательности локализации. Однако он смог доказать ее существование для связанной теории, называемой G- теорией (или иногда K '-теорией). G -теория была определена на раннем этапе развития предмета Гротендиком. Гротендик определилG ₀ ( X ) для многообразия X быть свободной абелевой группой на классах изоморфизма когерентных пучков на X по модулю отношений, возникающих из точных последовательностей когерентных пучков. В категориальной структуре, принятой более поздними авторами, K -теория многообразия - это K- теория своей категории векторных расслоений, а ее G -теория - это K -теория своей категории когерентных пучков. Квиллен смог не только доказать существование точной последовательности локализации для G -теории, но и доказать, что для регулярного кольца или многообразия K -теория равняется G -теории, и, следовательно,K -теория регулярных многообразий имела точную последовательность локализации. Поскольку эта последовательность была фундаментальной для многих фактов по предмету, гипотезы регулярности пронизывали ранние работы по высшей K- теории.

Приложения алгебраической K -теории в топологии [ править ]

Самым ранним применением алгебраической K -теории к топологии было построение Уайтхедом кручения Уайтхеда. Близкая конструкция была найдена CTC Wall в 1963 году. ^[23] Уолл обнаружил, что пространство π, в котором доминирует конечный комплекс, имеет обобщенную эйлерову характеристику, принимающую значения в частном от K ₀ ( Z π ), где π - фундаментальная группа пространства. Этот инвариант называется препятствием к конечности Уолла, поскольку X гомотопически эквивалентно конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант обращается в нуль. Лоран Зибенманнв своей диссертации нашел инвариант, аналогичный инварианту Уолла, который препятствует тому, чтобы открытое многообразие было внутренностью компактного многообразия с краем. ^[24] Если два многообразия с краем M и N имеют изоморфные интерьеров (в ТОП, PL, или DIFF соответственно), то изоморфизм между ними определяет ч -cobordism между M и N .

В конечном итоге кручение Уайтхеда было переосмыслено в более прямом К- теоретическом смысле. Это переосмысление произошло посредством изучения h- кобордизмов . Два n -мерных многообразия M и N являются h -кобордантными, если существует ( n + 1) -мерное многообразие с краем W , край которого является дизъюнктным объединением M и N и для которого включения M и N в W гомотопически эквивалентности (в категориях TOP, PL или DIFF). Смэйл «sТеорема о h- кобордизме ^[25] утверждает, что если n ≥ 5 , W компактно, а M , N и W односвязны, то W изоморфен цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL или DIFF в зависимости от ситуации). Эта теорема доказала гипотезу Пуанкаре для n ≥ 5 .

Если M и N не предполагаются односвязными, то h -кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. Теорема о s- кобордизме, независимо от Мазура, ^[26] Столлингса и Бардена, ^[27], объясняет общую ситуацию: h -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения M ⊂ W обращается в нуль. Это обобщает теорему о h- кобордизме, поскольку из простых гипотез связности следует, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. На самом деле sИз теоремы -кобордизмов следует, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизмов h -кобордизмов и элементами группы Уайтхеда.

Очевидный вопрос, связанный с существованием h -кобордизмов, - это их единственность. Естественное понятие эквивалентности - изотопия . Жан Серф доказал, что для односвязных гладких многообразий M размерности не менее 5 изотопия h -кобордизмов - это то же самое, что и более слабое понятие, называемое псевдоизотопией. ^[28] Хэтчер и Ваггонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали его с фактором K ₂ ( Z π ). ^[29]

Подходящим контекстом для теоремы о s- кобордизме является классифицирующее пространство h -кобордизмов. Если М является САТ многообразие, то Н ^CAT ( М ) представляет собой пространство , которое классифицирует пучки ч -cobordisms на М . Теорема s -кобордизма может быть переинтерпретирована как утверждение, что множество компонент связности этого пространства является группой Уайтхеда π ₁ ( M ). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, связная компонента тривиального кобордизма описывает возможные цилиндры на Mи, в частности, препятствие к единственности гомотопии между многообразием и M × [0, 1] . Рассмотрение этих вопросов привело Вальдхаузена к введению своей алгебраической K -теории пространств. ^[30] Алгебраическая К -теория М является пространство ( М ) , которая определяется таким образом , что она играет по существу той же роль , что для высших К -группам как K ₁ ( Z π ₁ ( M )) делает для M . В частности, Вальдхаузен показал, что существует отображение из A ( M) на пространство Wh ( M ), которое обобщает отображение K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh ( π ₁ ( M )) и гомотопический слой которого является теорией гомологий.

Чтобы полностью развить A- теорию, Вальдхаузен добился значительного технического прогресса в основах K- теории . Waldhausen представил Вальдхаузен категорию , а для категории Вальдхаузен C он ввел симплициальные категории S _· C ( S для Segal) , определенный в терминах цепей корасслоений в C . ^[31] Это освободило основы K- теории от необходимости прибегать к аналогам точных последовательностей.

Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия в алгебраической K -теории [ править ]

Квиллен предложил своему ученику Кеннет Браун , что можно было бы создать теорию пучков из спектров которых K -теория обеспечили бы пример. Пучок спектров K -теории будет связывать с каждым открытым подмножеством многообразия K- теорию этого открытого подмножества. Браун разработал такую ​​теорию для своей диссертации. Одновременно с этим у Герстена возникла та же идея. Осенью 1972 года на конференции в Сиэтле они вместе обнаружили спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий пучка пучка K _n -групп на X к K${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {n}}$-группа общей площади. Теперь это называется спектральной последовательностью Брауна – Герстена . ^[32]

Спенсер Блох , под влиянием работы Герстена на пучков K -групп, доказано , что на регулярной поверхности, группа когомологий изоморфна Чоу группы CH ² ( X ) коразмерности 2 циклов на X . ^[33] Вдохновленный этим, Герстена высказал предположение , что для регулярного локального кольца R с Фракцию поля F , K _н ( R ) впрыскивает в K _н ( F ) для всех п . Вскоре Квиллен доказал, что это верно, когда R содержит поле, ^[34]${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, {\ mathcal {K}} _ {2})}$ и используя это, он доказал, что

${\ displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {K}} _ {p}) \ cong \ operatorname {CH} ^ {p} (X)}$

для всех р . Это известно как формула Блоха . Хотя с тех пор в гипотезе Герстена был достигнут прогресс, общий случай остается открытым.

Лихтенбаум предположил, что особые значения дзета-функции числового поля могут быть выражены через K -группы кольца целых чисел поля. Было известно, что эти специальные значения связаны с этальными когомологиями кольца целых чисел. Поэтому Куиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха в топологической K -теории. ^[35] Предлагаемая Квилленом спектральная последовательность должна начинаться с этальных когомологий кольца R и, в достаточно высоких степенях и после завершения на простом l, обратимом в R, Примыкают к л -адического завершения К -теории R . В случае, изученном Лихтенбаумом, спектральная последовательность вырождается, что приводит к гипотезе Лихтенбаума.

Необходимость локализации в простом l подсказала Браудеру, что должен существовать вариант K -теории с конечными коэффициентами. ^[36] Он ввел группы K- теории K _n ( R ; Z / l Z ), которые были Z / l Z -векторными пространствами, и нашел аналог боттовского элемента в топологической K -теории. Сул использовал эту теорию для построения «этальных классов Черна », аналог топологических классов Черна, которые преобразовали элементы алгебраической K- теории в классы этальных когомологий.. ^[37] В отличие от алгебраической K -теории, этальные когомологии хорошо вычислимы, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения существования элементов в K- теории. Затем Уильям Дж. Дуайер и Эрик Фридлендер изобрели аналог K -теории для этальной топологии, названный этальной K- теорией. ^[38] Для многообразий, определенных над комплексными числами, этальная K -теория изоморфна топологической K -теории. Кроме того, étale K-теория допускает спектральную последовательность, подобную той, которую предположил Квиллен. Примерно в 1980 году Томасон доказал, что после обращения элемента Ботта алгебраическая K -теория с конечными коэффициентами стала изоморфной этальной K -теории. ^[39]

На протяжении 1970-х и начала 1980-х К -теория единичных многообразий все еще не имела адекватных оснований. Хотя считалось, что K- теория Квиллена дает правильные группы, не было известно, обладают ли эти группы всеми предполагаемыми свойствами. Для этого пришлось переформулировать алгебраическую K- теорию. Это было сделано Томасоном в длинной монографии, которую он приписал своему мертвому другу Томасу Тробо, который, по его словам, дал ему ключевую идею во сне. ^[40] Томасон объединил построение K -теории Вальдхаузена с основами теории пересечений, описанными в шестом томе « Семинара геометрии в Альгебрике дю Буа Мари» Гротендика . Там, K ₀описан в терминах комплексов пучков на алгебраических многообразиях. Томасон обнаружил, что если работать с производной категорией пучков, существует простое описание того, когда комплекс пучков может быть расширен от открытого подмножества разнообразия до всего многообразия. Применив конструкцию K -теории Вальдхаузена к производным категориям, Томасон смог доказать, что алгебраическая K- теория обладает всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий.

В 1976 году Кейт Деннис открыл совершенно новую технику вычисления K- теории, основанную на гомологии Хохшильда . ^[41] Это было основано на существовании отображения следов Денниса, гомоморфизма от K -теории к гомологиям Хохшильда. В то время как карта следов Денниса казалась успешной для вычислений K -теории с конечными коэффициентами, она была менее успешной для рациональных вычислений. Гудвилли, руководствуясь своим «исчислением функторов», предположил существование теории, промежуточной по отношению к K-теория и гомологии Хохшильда. Он назвал эту теорию топологической гомологией Хохшильда, потому что ее основное кольцо должно быть сферным спектром (рассматриваемым как кольцо, операции которого определены только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х годов Бокстедт дал определение топологических гомологий Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем гипотетическим свойствам Гудвилли, и это сделало возможным дальнейшие вычисления K -групп. ^[42] Версия Бокстедта карты следов Денниса была преобразованием спектров K → THH . Это преобразование учитывает неподвижные точки действия окружности на THH , что предполагает связь с циклическими гомологиями . В ходе доказательства алгебраическойK -теоретический аналог гипотезы Новикова , Бокстедт, Сян и Мадсен ввели топологические циклические гомологии, которые имеют такое же отношение к топологическим гомологиям Хохшильда, как циклические гомологии к гомологиям Хохшильда. ^[43] Отображение следов Денниса в топологические факты гомологии Хохшильда через топологические циклические гомологии, обеспечивая еще более подробный инструмент для вычислений. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологические циклические гомологии в точном смысле имеют ту же локальную структуру, что и алгебраическая K -теория, так что если возможно вычисление в K- теории или топологических циклических гомологиях, то возможно множество других "близких" "расчеты следуют. ^[44]

Низшие K -группы [ править ]

Первыми были открыты нижние K -группы, которым были даны различные специальные описания, которые остаются полезными. На всем протяжении пусть A будет кольцом .

K ₀ [ править ]

Функтор K ₀ переводит кольцо A в группу Гротендика множества классов изоморфизма его конечно порожденных проективных модулей , рассматриваемых как моноид относительно прямой суммы. Любой гомоморфизм колец A → B дает отображение K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ), отображая (класс) проективный A -модуль M в M ⊗ _A B , делая K ₀ ковариантным функтором.

Если кольцо A коммутативно, мы можем определить подгруппу в K ₀ ( A ) как множество

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

куда :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

- это отображение, переводящее каждый (класс a) конечно порожденный проективный A -модуль M в ранг свободного -модуля (этот модуль действительно свободен, так как любой конечно порожденный проективный модуль над локальным кольцом свободен). Эта подгруппа называется пониженной нулевой К-теории из A .${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$

Если B - кольцо без элемента единицы , мы можем расширить определение K ₀ следующим образом. Пусть A = B ⊕ Z - расширение B до кольца с единицей, полученное присоединением единичного элемента (0,1). Существует короткая точная последовательность B → → Z и определим К ₀ ( В ) , чтобы быть ядром соответствующей карте К ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z . ^[45]

Примеры [ править ]

• (Проективные) модули над полем k являются векторными пространствами, а K ₀ ( k ) изоморфен Z по размерности .
• Конечно порожденные проективные модули над локальным кольцом A свободны, поэтому в этом случае снова K ₀ ( A ) изоморфен Z по рангу . ^[46]
• Для А в дедекиндовой ,

K ₀ ( A ) = Pic ( A ) ⊕ Z ,

где Pic ( ) является группой Пикара из А , ^[47] и аналогично приведенные К-теория задаются

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}(A)=\operatorname {Pic} A.}$

Алгебро-геометрический вариант этой конструкции применяется к категории алгебраических многообразий ; он связывает с данным алгебраическим многообразием X в Гротендик K -группа категории локально свободных пучки (или когерентных пучков) на X . Учитывая компактное топологическое пространство X , то топологическое К -теория К ^{верхней} ( Х ) из (реальных) векторных расслоений над X совпадает с K ₀ кольца непрерывных вещественных функций на X . ^[48]

Относительный K ₀ [ править ]

Пусть I - идеал в A, и определим «дубль» как подкольцо декартова произведения A × A : ^[49]

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}$

Относительно К-группа определена в терминах «двойной» ^[50]

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .}$

где отображение индуцировано проекцией по первому множителю.

Относительный K ₀ ( A , I ) изоморфен K ₀ ( I ), рассматривая I как кольцо без единицы. Независимость от A является аналогом теоремы об исключении в гомологиях. ^[45]

K ₀ как кольцо [ править ]

Если A - коммутативное кольцо, то тензорное произведение проективных модулей снова проективно, и поэтому тензорное произведение индуцирует умножение, превращающее K ₀ в коммутативное кольцо с классом [ A ] в качестве единицы. ^[46] внешнее произведение аналогично индуцирует λ-кольцевую структуру. Группа Пикара вкладывается как подгруппа группы единиц K ₀ ( A ) ^∗ . ^[51]

K ₁ [ править ]

Хайман Bass условии , что это определение, которое обобщает группу единиц кольца: K ₁ ( A ) является абелианизация из бесконечной линейной группы :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Здесь

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}$

является прямым пределом группы GL ( n ), которая вкладывается в GL ( n  + 1) как верхнюю левую блочную матрицу , и ее коммутаторная подгруппа . Определите элементарную матрицу , которая представляет собой сумму единичной матрицы и одного недиагонального элемента (это подмножество элементарных матриц, используемых в линейной алгебре ). Тогда лемма Уайтхеда утверждает, что группа E ( A ), порожденная элементарными матрицами, равна коммутаторной подгруппе [GL ( A ), GL ( A )]. Действительно, группа GL ( A ) / E ( A${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$) Впервые была определена и изучена Whitehead, ^[52] и называется группой Уайтхеда из кольца A .

Относительный К ₁ [ править ]

Относительно К-группа определена в терминах «двойной» ^[53]

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}$

Существует естественная точная последовательность ^[54]

${\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}$

Коммутативные кольца и поля [ править ]

Для А коммутативное кольцо , можно определить определитель DET: GL ( ) → A * к группе единиц из А , которая обращается в нуль на Е ( А ) , и , таким образом , опускается к карте DET: К ₁ ( A ) → A * . Поскольку E ( A ) ◅ SL ( A ), можно также определить специальную группу Уайтхеда S K ₁ ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Это отображение разделяется отображением A * → GL (1, A ) → K ₁( A ) (единица в верхнем левом углу) и, следовательно, находится на и имеет специальную группу Уайтхеда в качестве ядра, что дает расщепленную короткую точную последовательность :

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

который является частным от обычной расщепленной короткой точной последовательности, определяющей специальную линейную группу , а именно

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}$

Определитель разделяется путем включения группы единиц A * = GL ₁ ( A ) в общую линейную группу GL (A) , поэтому K ₁ ( A ) разбивается как прямая сумма группы единиц и специальной группы Уайтхеда: К ₁ ( А ) ≅ А * ⊕ СК ₁ ( А ).

Когда A - евклидова область (например, поле или целые числа), S K ₁ ( A ) обращается в нуль, и детерминантное отображение является изоморфизмом из K ₁ ( A ) в A ^∗ . ^[55] В общем случае это неверно для PID, что обеспечивает одну из редких математических особенностей евклидовых доменов, которая не распространяется на все PID. Явный PID, такой, что SK _{1 не} равен нулю, был дан Ишебеком в 1980 г. и Грейсоном в 1981 г. ^[56] Если A - дедекиндова область, поле частных которой является полем алгебраических чисел(конечное расширение рациональных чисел), то Милнор (1971 , следствие 16.3) показывает, что S K ₁ ( A ) обращается в нуль. ^[57]

Исчезновение SK ₁ можно интерпретировать как указание на то, что K ₁ порождается образом GL ₁ в GL. Когда это не удается, можно спросить, генерируется ли K ₁ изображением GL ₂ . Для дедекиндовской области это так: действительно, K ₁ порождается изображениями GL ₁ и SL ₂ в GL. ^[56] Подгруппа SK _1, порожденная SL _2, может быть изучена с помощью символов Меннике . Для дедекиндовских областей со всеми конечными факторами по максимальным идеалам SK ₁ - периодическая группа. ^[58]

Для некоммутативного кольца определитель, вообще говоря, не может быть определен, но отображение GL ( A ) → K ₁ ( A ) является обобщением определителя.

Центральные простые алгебры [ править ]

В случае центральной простой алгебры A над полем F , то приведенная норма предусматривает обобщение определителя дает отображение K ₁ ( A ) → F ^* и S K ₁ ( A ) может быть определен как ядро. Теорема Ванга утверждает, что если A имеет простую степень, то S K ₁ ( A ) тривиально ^[59], и это можно продолжить до бесквадратной степени. ^[60] Ван также показал, что S K ₁ ( A) тривиально для любой центральной простой алгебры над числовым полем ^[61], но Платонов привел примеры алгебр с квадратом простого числа, для которых S K ₁ ( A ) нетривиальна. ^[60]

K ₂ [ править ]

Джон Милнор нашел правильное определение K ₂ : это центр из Steinberg группы St ( A ) от A .

Его также можно определить как ядро карты

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

или как множитель Шура группы элементарных матриц .

Для поля K ₂ определяется символами Стейнберга : это приводит к теореме Мацумото.

Можно вычислить, что K ₂ равно нулю для любого конечного поля. ^{[62] [63]} Вычисление K ₂ ( Q ) сложно: доказано Тейт ^{[63] [64]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

и заметил, что доказательство последовало за первым доказательством Гаусса закона квадратичной взаимности . ^{[65] [66]}

Для неархимедовых локальных полей группа K ₂ ( F ) является прямой суммой конечной циклической группы , скажем, порядка m и делимой группы K ₂ ( F ) ^m . ^[67]

Имеем K ₂ ( Z ) = Z / 2, ^[68] и, вообще говоря, K ₂ конечно для кольца целых чисел числового поля. ^[69]

Кроме того, мы имеем K ₂ ( Z / n ) = Z / 2, если n делится на 4, а в противном случае - ноль. ^[70]

Теорема Мацумото [ править ]

Теорема Мацумото утверждает, что для поля k вторая K- группа задается формулами ^{[71] [72]}

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

Исходная теорема Мацумото носит еще более общий характер: для любой корневой системы она дает представление о неустойчивой K-теории. Это представление отличается от представленного только для симплектических корневых систем. Для несимплектических корневых систем неустойчивая вторая K-группа относительно корневой системы является в точности стабильной K-группой для GL ( A ). Неустойчивые вторые K-группы (в данном контексте) определяются путем взятия ядра универсального центрального расширения группы Шевалле универсального типа для данной корневой системы. Эта конструкция дает ядро ​​расширения Стейнберга для систем корней A _n ( n  > 1) и, в пределе, стабильных вторых K -групп.

Длинные точные последовательности [ править ]

Если A - дедекиндовская область с полем дробей F, то существует длинная точная последовательность

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }$

где р пробегает все простые идеалы А . ^[73]

Существует также расширение точной последовательности для относительных K ₁ и K ₀ : ^[74]

${\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}$

Сопряжение [ править ]

На K ₁ существует пара со значениями в K ₂ . Даны коммутирующие матрицы X и Y над A , возьмем элементы x и y из группы Стейнберга с X , Y в качестве изображений. Коммутатор является элементом K ₂ . ^[75] Карта не всегда сюръективна. ^[76]${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$

Милнор К. Теория [ править ]

Вышеприведенное выражение для K ₂ поля k привело Милнора к следующему определению «высших» K -групп посредством

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),}$

Таким образом , как градуированные части частного от деления тензорной алгебры в мультипликативной группе к ^× по двусторонний идеалу , порожденные

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

Для n = 0,1,2 они совпадают с нижеследующими, но для n 3 в целом отличаются. ^[77] Например, K^M
_n( F _q ) = 0 для n ≧ 2, но K _n F _q отличен от нуля для нечетных n (см. Ниже).

Тензорное произведение на тензорной алгебре индуцирует продукт делает в градуированное кольцо , которое градуированное коммутативное . ^[78]${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

Изображения элементов в называется символы , обозначаемые . Для целого m, обратимого в k, существует отображение${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}$

где обозначает группу корней m -й степени из единицы в некотором сепарабельном расширении k . Это распространяется на${\displaystyle \mu _{m}}$

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }$

удовлетворяющие определяющим соотношениям K-группы Милнора. Следовательно, ее можно рассматривать как карту , называемую картой символов Галуа . ^[79]${\displaystyle \partial ^{n}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$

Связь между этальными (или Галуа ) когомологиями поля и K-теорией Милнора по модулю 2 - это гипотеза Милнора , доказанная Владимиром Воеводским . ^[80] Аналогичное утверждение для нечетных простых чисел - это гипотеза Блоха-Като , доказанная Воеводским, Ростом и другими.

Высшая K -теория [ править ]

Принятые определения высших K -групп были даны Квилленом (1973) через несколько лет, в течение которых было предложено несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K ( R ) и K ( R , I ) в терминах классифицирующих пространств так, чтобы R ⇒ K ( R ) и ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) были функторами в гомотопическая категория пространств и длинный точная последовательность относительных K-группы возникают какдлинная точная гомотопическая последовательность из расслоения K ( R , I ) →  K ( R ) →  K ( R / I ). ^[81]

Квиллен дал две конструкции, «плюс-конструкцию» и « Q-конструкцию », которые впоследствии были модифицированы различными способами. ^[82] Две конструкции дают одни и те же K-группы. ^[83]

+ -Конструкция [ править ]

Одно возможное определение высшей алгебраической K -теории колец было дано Квилленом.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Здесь π _п является гомотопической группой , GL ( R ) является прямым пределом из общих линейных групп над R для размера матрицы , стремящейся к бесконечности, B является классифицирующим пространством построения теории гомотопий , а ⁺ является Квиллен плюс строительство .

Это определение справедливо только для n  > 0, поэтому часто определяют высшую алгебраическую K -теорию через

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

Поскольку BGL ( R ) ⁺ линейно соединен, а K ₀ ( R ) дискретен, это определение не отличается в более высоких степенях, а также справедливо для n  = 0.

Q -строительство [ править ]

Q -строительство дает те же результаты, что и + -строительство, но применяется и в более общих ситуациях. Более того, определение более прямое в том смысле, что K -группы, определенные с помощью Q-конструкции , по определению функториальны. Этот факт не является автоматическим в плюс-конструкции.

Предположим, что P - точная категория ; ассоциированная с P, определена новая категория QP , объекты которой являются объектами категории P, а морфизмы из M ′ в M ″ являются классами изоморфизма диаграмм

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

где первая стрелка - допустимый эпиморфизм, а вторая стрелка - допустимый мономорфизм .

Тогда i -я K -группа точной категории P определяется как

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

с фиксированным нулевого объектом 0, где В QP является классифицирующим пространством из QP , которое определяется быть геометрической реализацией в нерве из QP .

Это определение совпадает с приведенным выше определением K ₀ ( P ). Если P - категория конечно порожденных проективных R -модулей , это определение согласуется с приведенным выше определением BGL ⁺ для K _n ( R ) для всех n . В более общем плане , на схеме X , тем выше К -группы X определяются так, чтобы быть К -группы (точной категории) локально свободных когерентных пучков на X .

Также используется следующий вариант: вместо конечно порожденных проективных (= локально свободных) модулей взять конечно порожденные модули. Полученные K -группы обычно обозначаются G _n ( R ). Когда R - нётерово правильное кольцо , то G- и K -теории совпадают. Действительно, глобальная размерность регулярных колец конечна, т. Е. Любой конечно порожденный модуль имеет конечную проективную резольвенту P _* → M , и простой аргумент показывает, что каноническое отображение K ₀ (R) → G ₀ (R) являетсяизоморфизм , причем [ M ] = Σ ± [ P _n ]. Этот изоморфизм распространяется и на высшие K -группы.

S -строительство [ править ]

Третья конструкция групп с K- теорией - это S -конструкция Вальдхаузена . ^[84] Это относится к категориям с кофибрациями (также называемыми категориями Вальдхаузена ). Это более общее понятие, чем точные категории.

Примеры [ править ]

В то время как алгебраическая K- теория Квиллена дала глубокое понимание различных аспектов алгебраической геометрии и топологии, K-группы оказались особенно трудными для вычисления, за исключением нескольких изолированных, но интересных случаев. (См. Также: K-группы поля .)

Алгебраические K -группы конечных полей [ править ]

Первое и одно из наиболее важных вычислений высших алгебраических K -групп кольца было сделано самим Квилленом для случая конечных полей :

Если F _q - конечное поле с q элементами, то:

• К ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 для i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z / ( q ⁱ  - 1) Z для i  ≥ 1. 

Рик Джардин  ( 1993 ) опроверг вычисления Квиллена с использованием различных методов.

Алгебраические K -группы колец целых чисел [ править ]

Квиллен доказал, что если A - кольцо целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы A конечно порождены. Арманд Борел использовал это для вычисления K _i ( A ) и K _i ( F ) по модулю кручения. Например, для целых Z Борель доказал, что (по модулю кручения)

• K _i ( Z ) /tors.=0 для положительного i, если i = 4k + 1 с положительным k
• K _{4 k +1} ( Z ) /tors.= Z для положительного k .

Подгруппы кручения группы K _{2 i +1} ( Z ) и порядки конечных групп K _{4 k +2} ( Z ) недавно были определены, но являются ли последние группы циклическими и являются ли группы K _{4 k} ( Z ) исчезают, зависит от гипотезы Вандивера о группах классов круговых целых чисел. Для получения более подробной информации см. Гипотезу Квиллена – Лихтенбаума .

Заявки и открытые вопросы [ править ]

Алгебраические K -группы используются в гипотезах о специальных значениях L-функций и формулировке некоммутативной основной гипотезы теории Ивасавы, а также при построении высших регуляторов . ^[69]

Гипотеза Паршина касается высших алгебраических K -групп для гладких многообразий над конечными полями и утверждает, что в этом случае группы обращаются в нуль с точностью до кручения.

Другая фундаментальная гипотеза Хаймана Басса ( гипотеза Басса ) утверждает, что все группы G _n ( A ) конечно порождены, когда A - конечно порожденная Z -алгебра. (Группы G _n ( A ) являются K -группами категории конечно порожденных A -модулей) ^[85]

См. Также [ править ]

• Формула Блоха
• Основная теорема алгебраической K -теории
• Основные теоремы алгебраической K -теории
• K -теория
• K -теория категории
• K -группа поля
• K -теория спектр
• Гипотеза красного смещения
• Топологическая K -теория
• Жесткость ( K -теория)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Bass, Хайман (1968), алгебраическая K -теория , Математика Лекция Примечание Серия, Нью - Йорк-Амстердам: WA Benjamin, Inc., Zbl  0174,30302
• Фридлендер, Эрик ; Грейсон, Дэниел, ред. (2005), Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 3-540-27855-9 , ISBN 978-3-540-30436-4, Руководство по ремонту  2182598
• Фридлендер, Эрик М .; Weibel, Charles W. (1999), Обзор алгебраической K- теории , World Sci. Publ., River Edge, NJ, стр. 1–119, MR  1715873
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), Центральные простые алгебры и когомологии Галуа , Кембриджские исследования по высшей математике, 101 , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-86103-8, Zbl  1137,12001
• Гра, Жорж (2003), Теория поля классов. От теории к практике , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44133-5, Zbl  1019,11032
• Джардин, Джон Фредерик (1993), "К-теории конечных полей, вновь", K-теория , 7 (6): 579-595, DOI : 10.1007 / BF00961219 , MR  1268594
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике, 67 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1095-8, Руководство по ремонту  2104929 , Zbl  1068.11023
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 978-3-540-66957-9, Руководство по ремонту  1761696 , Zbl  0949.11002
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K- теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat ... 9..318M , doi : 10.1007 / BF01425486 , ISSN  0020- 9910 , Руководство MR  0260844
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR  0349811 , Zbl  0237.18005 (нижние K-группы)
• Куиллен, Дэниел (1973), "Высшая алгебраическая K-теория. I", Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972) , Лекционные заметки в Математика, 341 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., стр 85-147, DOI : 10.1007 / BFb0067053 , ISBN 978-3-540-06434-3, MR  0338129
• Квиллен, Дэниел (1975), «Высшая алгебраическая K-теория», Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Vol. 1 , Монреаль, Квебек: Canad. Математика. Конгресс, стр. 171–176, MR  0422392 (Q-конструкция Квиллена)
• Куиллен, Дэниел (1974), «Высшая K-теория для категорий с точными последовательностями», Новые разработки в топологии (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 11 , Cambridge University Press , стр. 95–103, MR  0335604 (отношение Q-конструкции к плюс-конструкции)
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для выпускников по математике , 147 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Опечатки
• Зайлер, Вольфганг (1988), «λ-кольца и операции Адамса в алгебраической K-теории», в Rapoport, M .; Schneider, P .; Шаппахер, Н. (ред.), Гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L-функций , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0
• Сильвестр, Джон Р. (1981), Введение в алгебраическую K-теорию , Серия математических статей Чепмена и Холла, Лондон, Нью-Йорк: Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-22700-4, Zbl  0468,18006
• Вейбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях» (PDF) , Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 139–190, doi : 10.1007 / 3-540-27855-9_5 , ISBN 978-3-540-23019-9, MR  2181823 (обзорная статья)
• Weibel, Чарльз (1999), Развитие алгебраической К-теории до 1980 , Современная математика, 243 , Providence, RI: Американское математическое общество . С. 211-238, DOI : 10,1090 / conm / 243/03695 , MR  1732049

Дальнейшее чтение [ править ]

• Луис-Пуэбла, Эмилио; Лодей, Жан-Луи; Жилле, Анри; Суле, Кристоф; Снайт, Виктор (1992), Высшая алгебраическая K-теория: обзор , Лекционные заметки по математике, 1491 , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl  0746,19001
• Магурн, Брюс А. (2009), Алгебраическое введение в K-теорию , Энциклопедия математики и ее приложений, 87 (исправленное издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Шринивас, В. (2008), алгебраическая K -теория , Современная классика Birkhäuser (Мягкая обложка Перепечатка 1996 2 - е изд.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl  1125,19300
• Вейбель, К., K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию

Педагогические ссылки [ править ]

• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для выпускников по математике , 147 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Опечатки

Исторические ссылки [ править ]

• Атья, Майкл Ф .; Хирцебрух, Фридрих (1961), Векторные расслоения и однородные пространства , Proc. Симпози. Pure Math., 3 , Американское математическое общество , стр. 7–38.
• Барден, Деннис (1964). О строении и классификации дифференциальных многообразий (Диссертация). Кембриджский университет .
• Басс, Хайман ; Мурти, член парламента (1967). «Группы Гротендика и группы Пикара абелевых групповых колец». Анналы математики . 86 (1): 16–73. DOI : 10.2307 / 1970360 . JSTOR  1970360 .
• Басс, Хайман ; Шануэль, С. (1962). «Гомотопическая теория проективных модулей» . Бюллетень Американского математического общества . 68 (4): 425–428. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1962-10826-х .
• Басс, Хайман (1968). Алгебраическая K -теория . Бенджамин.
• Блох, Спенсер (1974). « K ₂ алгебраических циклов». Анналы математики . 99 (2): 349–379. DOI : 10.2307 / 1970902 . JSTOR  1970902 .
• Бокстедт М. Топологические гомологии Хохшильда . Препринт, Билефельд, 1986.
• Бокстедт М., Хсианг В.К., Мадсен И. Круговой след и алгебраическая K- теория пространств . Изобретать. Math., 111 (3) (1993), 465–539.
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958). "Теорема Римана – Роха" . Бюллетень Математического общества Франции . 86 : 97–136. DOI : 10,24033 / bsmf.1500 .
• Браудер, Уильям (1978), Алгебраическая K -теория с коэффициентами Z / p, Lecture Notes in Mathematics, 657 , Springer – Verlag, pp. 40–84.
• Браун, К., Gersten С., Алгебраическая K -теория как генерализованная пучок когомологий , алгебраическая K-теория I, Лекции по математике., Т. 341, Springer-Verlag, 1973, стр. 266–292.
• Серф, Жан (1970). "La stratification naturelle des espaces de fonctions дифференцируемые катушки и теорема псевдоизотопии" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 39 : 5–173. DOI : 10.1007 / BF02684687 .
• Деннис, Р.К., Высшая алгебраическая K- теория и гомологии Хохшильда , неопубликованный препринт (1976).
• Герстен, S (1971). «О функторе К ₂ ». J. Алгебра . 17 (2): 212–237. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90030-5 .
• Гротендик, Александр, Классы фасада и теоремы Римана – Роха , мимеографические записи, Принстон, 1957.
• Хэтчер, Аллен ; Вагонер, Джон (1973), «Псевдоизотопии компактных многообразий», Astérisque , 6 , MR  0353337
• Каруби, Макс (1968). "Foncteurs derives et K -theorie. Категории фильтров". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 267 : A328 – A331.
• Каруби, Макс ; Вилламайор, О. (1971). "K-теория алгебры и K-теория топология" . Математика. Сканд . 28 : 265–307. DOI : 10,7146 / math.scand.a-11024 .
• Мацумото, Хидея (1969). "Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simples deployes" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2 : 1–62. DOI : 10,24033 / asens.1174 .
• Мазур, Барри (1963). «Дифференциальная топология с точки зрения простой теории гомотопий» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 15 : 5–93.
• Милнор, Дж (1970). «Алгебраическая K- теория и квадратичные формы». Изобретать. Математика . 9 (4): 318–344. Bibcode : 1970InMat ... 9..318M . DOI : 10.1007 / bf01425486 .
• Милнор Дж. Введение в алгебраическую K- теорию // Принстон. Пресс, 1971.
• Нобиле А., Вильямайор О. Sur la K -theorie algebrique , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4e serie, 1 , no. 3, 1968, 581–616.
• Квиллен, Даниэль, Когомологии групп , Proc. ICM Nice 1970, т. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K- теория I , Алгебраическая K- теория I, Конспекты лекций по математике, т. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K- теория , Proc. Междунар. Congress Math., Ванкувер, 1974, т. Я, Канад. Математика. Soc., 1975, с. 171–176.
• Сегал, Грэм (1974). «Категории и теории когомологий». Топология . 13 (3): 293–312. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (74) 90022-6 .
• Зибенманн, Ларри, Препятствие к поиску границы для открытого многообразия размерности больше пяти , Диссертация, Принстонский университет (1965).
• Смейл, S (1962). «О строении многообразий». Амер. J. Math . 84 (3): 387–399. DOI : 10.2307 / 2372978 . JSTOR  2372978 .
• Steinberg, R., Generateurs,, Relations et revetements de groupes algebriques , ́Colloq . Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier-Villars, Paris, 1962, стр. 113–127. (Французский)
• Свон, Ричард, Неабелева гомологическая алгебра и K-теория , Proc. Симпози. Чистая математика, т. XVII, 1970, с. 88–123.
• Томасон, RW, Алгебраическая K- теория и этальные когомологии , Ann. Научный. Ec. Норма. Как дела. 18 , 4д серия (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Томасон, Р. У., Принципы науки и небытие единого K - глобальная теория Милнора , Топология 31 , вып. 3, 1992, 571–588.
• Томасон, Роберт В .; Тробо, Томас (1990), "Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий", Grothendieck Festschrift, Vol. III , Прогр. . Математика, 88 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Бостон, стр 247-435,. Дои : 10.1007 / 978-0-8176-4576-2_10 , ISBN 978-0-8176-3487-2, Руководство по ремонту  1106918
• Вальдхаузен Ф. Алгебраическая K -теория топологических пространств . I , по алгебраической и геометрической топологии (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 35–60, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1978.
• Вальдхаузен Ф. Алгебраическая K- теория пространств в алгебраической и геометрической топологии (Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси, 1983) , Конспект лекций по математике, т. 1126 (1985), 318–419.
• Уолл, СТС (1965). «Условия конечности для CW-комплексов». Анналы математики . 81 (1): 56–69. DOI : 10.2307 / 1970382 . JSTOR  1970382 .
• Уайтхед, JHC (1941). «О матрицах инцидентности, ядрах и гомотопических типах». Анналы математики . 42 (5): 1197–1239. DOI : 10.2307 / 1970465 . JSTOR  1970465 .
• Уайтхед, JHC (1950). «Простые гомотопические типы». Амер. J. Math . 72 (1): 1–57. DOI : 10.2307 / 2372133 . JSTOR  2372133 .
• Уайтхед, JHC (1939). «Симплициальные пространства, ядра и m-группы». Proc. Лондонская математика. Soc . 45 : 243–327. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-45.1.243 .

Внешние ссылки [ править ]

• Архив препринтов теории K