Мотивная когомология

Мотивные когомологии - это инвариант алгебраических многообразий и более общих схем . Он включает кольцо Чжоу алгебраических циклов как частный случай. Некоторые из самых глубоких проблем алгебраической геометрии и теории чисел - это попытки понять мотивационные когомологии.

Мотивные гомологии и когомологии [ править ]

Пусть X - схема конечного типа над полем k . Основная цель алгебраической геометрии вычислить чау группы из X , потому что они дают сильную информацию обо всех подмногообразий X . Группы Чжоу X обладают некоторыми формальными свойствами гомологии Бореля – Мура в топологии, но некоторые вещи отсутствуют. Например, для замкнутой подсхемы Z из X , существует точная последовательность из Chow групп, то последовательность локализации

${\ displaystyle CH_ {i} (Z) \ rightarrow CH_ {i} (X) \ rightarrow CH_ {i} (XZ) \ rightarrow 0,}$

тогда как в топологии это будет частью длинной точной последовательности .

Эта проблема была решена путем обобщения чау групп к биградуированным семейству групп, (Борель-Мура) мотивные группы гомологии (которые были впервые называемая высшими группы чау по Bloch ). ^[1] А именно, для каждой схемы X конечного типа над полем k и целых чисел i и j мы имеем абелеву группу H _i ( X , Z ( j )), причем обычная группа Чжоу является частным случаем

${\ displaystyle CH_ {i} (X) \ cong H_ {2i} (X, \ mathbf {Z} (i)).}$

Для замкнутой подсхемы Z схемы X существует длинная точная последовательность локализации для групп мотивных гомологий, заканчивающаяся последовательностью локализации для групп Чжоу:

${\ displaystyle \ cdots \ rightarrow H_ {2i + 1} (XZ, \ mathbf {Z} (i)) \ rightarrow H_ {2i} (Z, \ mathbf {Z} (i)) \ rightarrow H_ {2i} ( X, \ mathbf {Z} (i)) \ rightarrow H_ {2i} (XZ, \ mathbf {Z} (i)) \ rightarrow 0.}$

Фактически, это одна из четырех теорий, построенных Воеводским : мотивационные когомологии, мотивационные когомологии с компактным носителем, мотивные гомологии Бореля-Мура (см. Выше) и мотивные гомологии с компактным носителем. ^[2] Эти теории обладают многими формальными свойствами соответствующих теорий топологии. Например, мотивная когомологий группа Н ^я (Х, Z ( J )) образует биградуированное кольцо для каждой схему X конечного типа над полем. Когда Х является гладким размерности п над к , существует двойственность Пуанкаре изоморфизм

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} (j))\cong H_{2n-i}(X,\mathbf {Z} (n-j)).}$

В частности, группа Чжоу CH ⁱ ( X ) циклов коразмерности i изоморфна H ^{2 i} ( X , Z ( i )), когда X гладко над k .

Мотивная когомологий Н ^я ( Х , Z ( J )) гладкий схемы X над к является когомологией из X в топологии Зарисской с коэффициентами в некотором комплексе из пучков Z (J) на X . (Некоторые свойства легче доказать, используя топологию Нисневича , но это дает те же группы мотивационных когомологий. ^[3] ) Например, Z (j) равен нулю при j <0, Z (0) - постоянный пучок ZИ Z (1) изоморфен в производной категории от X до G _м [-1]. ^[4] Здесь G _m ( мультипликативная группа ) обозначает пучок обратимых регулярных функций , а сдвиг [−1] означает, что этот пучок рассматривается как комплекс степени 1.

Четыре версии мотивных гомологий и когомологий могут быть определены с коэффициентами в любой абелевой группе. Теории с разными коэффициентами связаны теоремой об универсальных коэффициентах , как в топологии.

Связь с другими теориями когомологий [ править ]

Отношение к K-теории [ править ]

По Блоху, Лихтенбауму , Фридлендеру , Суслину и Левину, существует спектральная последовательность от мотивных когомологий до алгебраической K-теории для каждой гладкой схемы X над полем, аналогичная спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха в топологии:

${\displaystyle E_{2}^{pq}=H^{p}(X,\mathbf {Z} (-q/2))\Rightarrow K_{-p-q}(X).}$

Как и в топологии, спектральная последовательность вырождается после тензора с рациональными числами. ^[5] Для произвольных схем конечного типа над полем (не обязательно гладким) существует аналогичная спектральная последовательность от мотивных гомологий до G-теории (K-теория когерентных пучков , а не векторных расслоений ).

Связь с K-теорией Милнора [ править ]

Мотивные когомологии уже предоставляют богатый инвариант для полей. (Обратите внимание, что поле k определяет схему Spec ( k ), для которой определены мотивные когомологии.) Хотя мотивационные когомологии H ⁱ ( k , Z ( j )) для полей k в целом еще не понятны, существует описание, когда я = j :

${\displaystyle K_{j}^{M}(k)\cong H^{j}(k,\mathbf {Z} (j)),}$

где K _j ^M ( k ) j- я K-группа Милнора поля k . ^[6] Поскольку K-теория Милнора поля явно определяется образующими и соотношениями, это полезное описание одной части мотивационных когомологий поля k .

Карта этальных когомологий [ править ]

Пусть X - гладкая схема над полем k , и пусть m - натуральное число, обратимое в k . Тогда существует естественный гомоморфизм ( отображение цикла ) от мотивных когомологий к этальным когомологиям :

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j)),}$

где Z / m ( j ) справа означает этальный пучок (μ _m ) ^{⊗ j} , причем μ _m - корни m- й степени из единицы. Это обобщает отображение цикла от кольца Чжоу гладкого многообразия до этальных когомологий.

Частой целью алгебраической геометрии или теории чисел является вычисление мотивных когомологий, тогда как этальные когомологии часто легче понять. Например, если базовым полем k являются комплексные числа, то этальные когомологии совпадают с сингулярными когомологиями (с конечными коэффициентами). Мощный результат, доказанный Воеводским, известный как гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума , утверждает, что многие группы мотивных когомологий на самом деле изоморфны группам этальных когомологий. Это следствие теоремы об изоморфизме вычетов по норме . А именно, гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума (теорема Воеводского) утверждает, что для гладкой схемы X над полем k и mположительное целое число, обратимое в k , отображение цикла

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))}$

является изоморфизмом для всех j ≥ i и инъективным для всех j ≥ i - 1. ^[7]

Отношение к мотивам [ править ]

Для любого поля k и коммутативного кольца R Воеводский определил R -линейную триангулированную категорию, названную производной категорией мотивов над k с коэффициентами в R , DM ( k ; R ). Каждая схема Х над к определяет два объекта в DM называется мотив из X , M ( X ), а также с компактным носителем мотив из X , М ^с ( Х ); два изоморфны , если X является собственнонад k .

Одним из основных моментов производной категории мотивов является то, что все четыре типа мотивных гомологий и мотивных когомологий возникают как множества морфизмов в этой категории. Чтобы описать это, сначала отметьте, что в DM ( k ; R ) есть мотивы Тейта R ( j ) для всех целых j , такие, что мотив проективного пространства является прямой суммой мотивов Тейта:

${\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j],}$

где M ↦ M [1] обозначает сдвиг или «функтор сдвига» в триангулированной категории DM ( k ; R ). В этих терминах мотивационные когомологии (например) задаются

${\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}$

для любой схемы X конечного типа над k .

Когда коэффициенты R являются рациональными числами, современная версия гипотезы Бейлинсона предсказывает, что подкатегория компактных объектов в DM (k; Q ) эквивалентна ограниченной производной категории абелевой категории MM ( k ), категории смешанные мотивы по k . В частности, из гипотезы следует, что группы мотивационных когомологий можно отождествить с группами Ext в категории смешанных мотивов. ^[8] Это далеко не известно. Конкретно из гипотезы Бейлинсона следует гипотеза Бейлинсона- Суле о том, что H ⁱ(X, Q ( j )) равно нулю при i <0, что известно лишь в некоторых случаях.

Напротив, вариант гипотезы Бейлинсона-Суле вместе со стандартными гипотезами Гротендика и гипотезами Мюрра о мотивах Чжоу означал бы существование абелевой категории MM ( k ) как сердцевины t-структуры на DM ( k ; Q ). . ^[9] Потребуется больше, чтобы идентифицировать группы Ext в MM ( k ) с мотивационными когомологиями.

Для подполя комплексных чисел k кандидат в абелеву категорию смешанных мотивов определил Нори. ^[10] Если категория ММ ( к ) с ожидаемыми свойствами существует ( в частности , что функтор реализации Betti от ММ ( к ) для Q -векторных пространств верен ), то она должна быть эквивалентна категории Нори.

Приложения к арифметической геометрии [ править ]

Значения L-функций [ править ]

Пусть X - гладкое проективное многообразие над числовым полем. Гипотеза Блоха-Като о значениях L-функций предсказывает, что порядок обращения в нуль L-функции от X в целой точке равен рангу подходящей группы мотивационных когомологий. Это одна из центральных проблем теории чисел, основанная на более ранних предположениях Делиня и Бейлинсона. Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера - частный случай. Точнее, гипотеза предсказывает старший коэффициент L-функции в целой точке в терминах регуляторов и пары высот на мотивационных когомологиях.

История [ править ]

Первым явным признаком возможного обобщения групп Чжоу до более общей теории мотивационных когомологий для алгебраических многообразий было определение Квилленом и развитие алгебраической K-теории (1973), обобщающее группу Гротендика K ₀ векторных расслоений. В начале 1980-х Бейлинсон и Суле заметили, что операции Адамса приводят к расщеплению алгебраической K-теории с учетом рациональных чисел; слагаемые теперь называются мотивными когомологиями (с рациональными коэффициентами). Бейлинсон и Лихтенбаум сделали важные предположения, предсказывая существование и свойства мотивационных когомологий. Большинство, но не все их предположения теперь подтверждены.

Определение Блоха высших групп Чжоу (1986) было первым интегральным (в отличие от рационального) определением мотивных гомологий для схем над полем k (и, следовательно, мотивных когомологий в случае гладких схем). Определение высших групп Чжоу X является естественным обобщением определения групп Чоу, включая алгебраические циклы на произведении X с аффинным пространством, которые встречаются с набором гиперплоскостей (рассматриваемых как грани симплекса ) в ожидаемой размерности.

Наконец, Воеводский (опираясь на свою работу с Суслиным) определил четыре типа мотивационной гомологии и мотивационной когомологии в 2000 году вместе с производной категорией мотивов. Связанные категории также были определены Ханамурой и Левином.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Блох, Спенсер (1986), «Алгебраические циклы и высшая K- теория», Успехи в математике , 61 (3): 267 ~ 304, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (86) 90081-2 , ISSN  0001-8708 , MR  0852815
• Hanamura, Masaki (1999), "смешанные мотивы и алгебраические циклы III", Математический Research Letters , 6 : 61-82, DOI : 10,4310 / MRL.1999.v6.n1.a5 , МР  1682709
• Яннсен, Уве (1994), "Мотивные пучки и фильтрации групп Чоу", Motives , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 245–302, ISBN 978-0-8218-1637-0, Руководство по ремонту  1265533
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Weibel, Charles (2006), Lecture Notes on Motivic Cohomology , Clay Mathematics Monographs , 2 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3847-1, Руководство по ремонту  2242284
• Воеводский, Владимир (2000), "Триангулированные категории мотивов над полем", Циклы, передачи и теории мотивационных гомологий , Princeton University Press , стр. 188–238, ISBN 9781400837120, Руководство по ремонту  1764202
• Воеводский, Владимир (2011), «О мотивационных когомологиях с коэффициентами Z / l », Annals of Mathematics : 401–438, arXiv : 0805.4430 , doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.11 , MR  2811603

См. Также [ править ]

• Presheaf с трансферами
• Все теории гомотопии

Внешние ссылки [ править ]

• Хубер, Аннет; Мюллер-Стах, Стефан, О связи между мотивами Нори и периодами Концевича , arXiv : 1105.0865 , Bibcode : 2011arXiv1105.0865H
• Левин, Марк, K-теория и мотивационные когомологии схем I (PDF)
• Нори, Мадхава, Лекции в TIFR , заархивированные с оригинала на 22 Сен 2016
• Харрер Дэниел, Сравнение категорий мотивов, определенных Воеводским и Нори
• Веслава Низиол, p-адические мотивные когомологии в арифметике