В алгебраической геометрии , то топология Нисневич , которую иногда называют полностью разлагаются топологией является топология Гротендика на категории схем , которая была использована в алгебраической К-теории , теории гомотопий A¹ и теория мотивов . Первоначально он был введен Евсеем Нисневичем, который руководствовался теорией аделей .
Определение
Морфизм схем называется морфизмом Нисневича, если это этальный морфизм такой, что для любой (возможно, незамкнутой) точки x ∈ X существует точка y ∈ Y в слое f −1 ( x ) такая, что индуцированное отображение полей вычетов k ( x ) → k ( y ) - изоморфизм. Эквивалентно, f должна быть плоской, неразветвленной, локально конечного представления, и для каждой точки x ∈ X должна существовать точка y в слое f −1 ( x ) такая, что k ( x ) → k ( y ) является изоморфизм.
Семейство морфизмов { u α : X α → X } называется покрытием Нисневича, если каждый морфизм в семействе этален и для любой (возможно, незамкнутой) точки x ∈ X существует α и точка y ∈ X α st u α ( y ) = x и индуцированное отображение полей вычетов k ( x ) → k ( y ) является изоморфизмом. Если семейство конечно, это эквивалентно морфизму из к X, являющемуся морфизмом Нисневича. Покрытия Нисневича - это накрывающие семейства претопологии категории схем и морфизмов схем. Это создает топологию, называемую топологией Нисневича . Категория схем с топологией Нисневича обозначается Nis .
Небольшой сайт Нисневич из X имеет в качестве основной категории такой же , как на небольшом участке этальной, то есть сказать, объекты схемы U с фиксированным этальна морфизм U → X и морфизмами морфизмов схем , совместимых с фиксированными карт на X . Допустимые покрытия - морфизмы Нисневича.
Большой сайт Нисневича из X имеет , как базовые схемы категории с фиксированной картой к X и морфизмами морфизмов X -схем. Топология задается морфизмами Нисневича.
Топология Нисневича имеет несколько вариантов, адаптированных для изучения особых многообразий. Покрытия в этих топологиях включают разрешение особенностей или более слабые формы разрешения.
- CDH топология позволяет правильные бирациональные морфизмы как покрытия.
- Топология ч позволяет изменения De Jong как покрытия.
- В топологии L ' позволяет морфизмов , как в заключении локальной теоремы униформизации Габбер в.
Топологии cdh и l 'несравнимы с этальной топологией , а топология h тоньше этальной топологии.
Эквивалентные условия для покрытия Нисневича
Другое эквивалентное условие [1] стр. 21 для семейства морфизмов схем накрытием Нисневича, если
- Каждый это etale
- Копроизведение индуцированных отображений на связанных с ними функторах дает сюръективное отображение множеств для поля .
Существует альтернативная характеризация с использованием конечных последовательностей конечно представленных замкнутых подсхем
где второе условие заменено гипотезой о том, что
допускает раздел. Обратите внимание, что при оценке этих морфизмов на-точки, это означает, что отображение является сюръекцией. Наоборот, взяв тривиальную последовательность дает результат в обратном направлении.
Мотивация
Одним из ключевых мотивов [2] для введения топологии Нисневича в мотивные когомологии является тот факт, что открытое покрытие Зарисскогоне дает разрешения пучков Зарисского [3]
где
- представимый функтор над категорией предпучков с трансферами. Для топологии Нисневича локальные кольца являются гензелевыми, а конечное покрытие гензелевского кольца задается произведением гензелевых колец, что показывает точность.
Локальные кольца в топологии Нисневича
Если x является точкой схемы X , то локальное кольцо x в топологии Нисневича является гензелизацией локального кольца x в топологии Зарисского. Это отличается от топологии Etale, где локальные кольца являются строгими хенселизациями. Один из важных моментов между двумя случаями можно увидеть, глядя на локальное кольцо. с полем вычетов . В этом случае поля вычетов хенселизации и строгой хенселизации различаются [4]
поэтому поле вычетов строгой генселизации дает сепарабельное замыкание исходного поля вычетов .
Примеры покрытия Нисневича
Рассмотрим эталонное покрытие, данное
Если мы посмотрим на ассоциированный морфизм полей вычетов для общей точки базы, мы увидим, что это расширение степени 2
Отсюда следует, что эта этальная кавер-версия не Нисневича. Мы можем добавить этальный морфизм получить покрытие Нисневича, поскольку существует изоморфизм точек для общей точки .
Условное покрытие
Если мы возьмем как схема над полем , то покрытие [1] pg 21, заданное формулой
где включение и , то это покрытие Нисневича тогда и только тогда, когда есть решение по . В противном случае покрытие не может быть сюрпризом на-точки. В этом случае покрытие является только покрытием Etale.
Покрытия Зариски
Каждое покрытие Зарисского [1] стр. 21 является Нисневичем, но обратное, вообще говоря, неверно. [5] Это можно легко доказать, используя любое из определений, поскольку поля вычетов всегда будут изоморфизмом независимо от покрытия Зарисского, а по определению покрытие Зарисского будет давать сюръекцию по точкам. Кроме того, включения Зарисского всегда являются этальными морфизмами.
Приложения
Нисневич ввел свою топологию, чтобы обеспечить когомологическую интерпретацию множества классов аффинной групповой схемы, которая первоначально была определена в адельных терминах. Он использовал это, чтобы частично доказать гипотезу Александра Гротендика и Жан-Пьера Серра, которая утверждает, что рационально тривиальный торсор при редуктивной групповой схеме над целочисленной регулярной нётеровой базовой схемой является локально тривиальным в топологии Зарисского . Одним из ключевых свойств топологии Нисневича является наличие спадающей спектральной последовательности . Пусть X нетеров схема конечной размерности Крулля, и пусть G п ( X ) быть Квиллен K-группа категории когерентных пучков на X . Если является пучком этих групп относительно топологии Нисневича, существует сходящаяся спектральная последовательность
для p ≥ 0 , q ≥ 0 и p - q ≥ 0 . Если- простое число, не равное характеристике X , то существует аналогичная сходящаяся спектральная последовательность для K-групп с коэффициентами в.
Топология Нисневича также нашла важные приложения в алгебраической K-теории , теории гомотопий A¹ и теории мотивов . [6] [7]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b c Antieau, Бенджамин; Эльманто, Элден (07.11.2016). «Букварь для теории нестабильной мотивационной гомотопии». arXiv : 1605.00929 [ math.AG ].
- ^ Блох, Спенсер. Лекции по алгебраическим циклам . Кембридж. стр. ix.
- ^ Конспект лекций по мотивационным когомологиям . пример 6.13, страницы 39-40.
- ^ «Раздел 10.154 (0BSK): Хенселизация и строгая хенселизация - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 25 января 2021 .
- ^ «Контрпримеры - прикрытие Нисневича, которое не является Зарисским» . MathOverflow . Проверено 25 января 2021 .
- ^ Воеводский, Владимир. «Триангулированные категории мотивов над полем k» (PDF) . Журнал K-Theory . Предложение 3.1.3.
- ^ "Топология Нисневича" (PDF) . Архивировано 23 сентября 2017 года.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
- Нисневич, Евсей А. (1989). «Полностью разложенная топология на схемах и связанных спектральных последовательностях спуска в алгебраической K-теории». В JF Jardine и VP Snaith (ред.). Алгебраическая K-теория: связи с геометрией и топологией. Труды Института перспективных исследований НАТО , проведенные в Лэйк Луиз, Альберта, декабрь 7--11, 1987 . Институты перспективных наук НАТО. Серия C: Математические и физические науки. 279 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. 241–342., доступно на сайте Нисневича
- Левин, Марк (2008), Теория мотивационной гомотопии (PDF)