Presheaf с трансферами

В алгебраической геометрии предварительный пучок с переносами - это, грубо говоря, предварительный пучок, который, как и теория когомологий , имеет прямые, «переносные» карты. Точнее, это, по определению, контравариантный аддитивный функтор из категории конечных соответствий (определенной ниже) в категорию абелевых групп (в теории категорий «предпучок» - это другой термин для контравариантного функтора).

Когда предпучок F с переносами ограничен подкатегорией гладких разделенных схем, его можно рассматривать как предпучок в категории с дополнительными отображениями , происходящими не из морфизмов схем, но также из конечных соответствий от X к Y${\ Displaystyle F (Y) \ к F (X)}$

Предпучок F с передачей называется -гомотопией инвариантным , если для каждого X . ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$${\ Displaystyle F (X) \ simeq F (X \ times \ mathbb {A} ^ {1})}$

Например, группа Чоу и мотивационные когомологии являются предпучками с переносами.

Конечная корреспонденция [ править ]

Пусть - алгебраические схемы (т. Е. Разделенные и конечного типа над полем) и пусть гладкие. Тогда элементарное соответствие - это замкнутое подмногообразие , некоторая связная компонента X , такая, что проекция конечна и сюръективна. Пусть - свободная абелева группа, порожденная элементарными соответствиями из X в Y ; элементы тогда называются конечными соответствиями .${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle W \ подмножество X_ {i} \ times Y}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle W \ to Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Cor} (X, Y)}$${\ displaystyle \ operatorname {Cor} (X, Y)}$

Категория конечных соответствий, обозначаемая , - это категория, в которой объекты представляют собой гладкие алгебраические схемы над полем; где набор Hom задается как: и где композиция определяется, как в теории пересечений : с учетом элементарных соответствий от до и от до , их состав равен:${\ displaystyle Cor}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=\operatorname {Cor} (X,Y)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha =p_{{13},*}(p_{12}^{*}\alpha \cdot p_{23}^{*}\beta )}$

где обозначает произведение пересечения и т. д. Отметим, что категория является аддитивной категорией, поскольку каждое множество Hom является абелевой группой.${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle p_{12}:X\times Y\times Z\to X\times Y}$${\displaystyle Cor}$${\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}$

Эта категория содержит категорию гладких алгебраических схем в качестве подкатегории в следующем смысле: есть верный функтор , который посылает объект в себе и морфизм на графику в .${\displaystyle {\textbf {Sm}}}$${\displaystyle {\textbf {Sm}}\to Cor}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$

С произведением схем, взятых в качестве моноидальной операции, категория является симметричной моноидальной категорией .${\displaystyle Cor}$

Шкивы с переносами [ править ]

Основная идея, лежащая в основе всех различных теорий, - это предварительные пучки с переносами . Это контравариантные аддитивные функторы

${\displaystyle F:{\text{Cor}}_{k}\to {\text{Ab}}}$

и их связанная категория обычно обозначается , или просто, если понимается основное поле. Каждая из категорий в этом разделе - абелевы категории, поэтому они подходят для выполнения гомологической алгебры.${\displaystyle \mathbf {PST} (k)}$${\displaystyle \mathbf {PST} }$

Этальные связки с переносами [ править ]

Они определяются как предварительные пучки с переносами, так что ограничение на любую схему представляет собой эталонный пучок. То есть, если это этальная обложка, а это предпучка с переводами, то это этальная связка с переводами, если последовательность${\displaystyle X}$${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to F(X){\xrightarrow {\text{diag}}}F(U){\xrightarrow {(+,-)}}F(U\times _{X}U)}$

точно и существует изоморфизм

${\displaystyle F(X\coprod Y)=F(X)\oplus F(Y)}$

для любых фиксированных гладких схем .${\displaystyle X,Y}$

Пучки Нисневича с передачами [ править ]

Аналогичное определение существует для пучка Нисневича с переносами , где топология Этале переключается с топологией Нисневича.

Примеры [ править ]

Единицы [ править ]

Связка агрегатов - это предпучка с передачами. Любое соответствие индуцирует конечное отображение степени над , следовательно, существует индуцированный морфизм${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}$${\displaystyle W\subset X\times Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}(Y)\to {\mathcal {O}}^{*}(W){\xrightarrow {N}}{\mathcal {O}}^{*}(X)}$^[1]

показывая, что это предпучка с переводами.

Представимые функторы [ править ]

Один из основных примеров предпучков с трансферами - это представимые функторы. По плавной схеме есть предпучка с отправкой переводов . ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle U\mapsto {\text{Hom}}_{Cor}(U,X)}$

Представимый функтор, связанный с точкой [ править ]

Связанный Предпучок с передачами обозначается .${\displaystyle {\text{Spec}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Указанные схемы [ править ]

Другой класс элементарных примеров исходит от схем с точками . Этот морфизм индуцирует морфизм , коядро которого обозначено . Существует расщепление исходя из структуры морфизма , так что есть индуцированное отображение , следовательно , .${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}$${\displaystyle x_{*}:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X,x)}$${\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{tr}(X,x)}$

Представимый функтор, связанный с A ¹ -0 [ править ]

Существует представляемое функтор , связанное с остроконечной схемой обозначенной .${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=(\mathbb {A} ^{1}-\{0\},1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m})}$

Разбить произведение остроконечных схем [ править ]

Для конечного семейства точечных схем существует связанный предпучок с трансферами , также обозначаемый ^[1] из их произведения Smash . Это определяется как коядро${\displaystyle (X_{i},x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}((X_{1},x_{1})\wedge \cdots \wedge (X_{n},x_{n}))}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n})}$

${\displaystyle {\text{coker}}\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times {\hat {X}}_{i}\times \cdots \times X_{n}){\xrightarrow {id\times \cdots \times x_{i}\times \cdots \times id}}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times X_{n})\right)}$

Например, для двух указанных схем существует связанный предпучок с передачами, равными коядру${\displaystyle (X,x),(Y,y)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X\wedge Y)}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\oplus \mathbb {Z} _{tr}(Y){\xrightarrow {\begin{bmatrix}1\times y&x\times 1\end{bmatrix}}}\mathbb {Z} _{tr}(X\times Y)}$^[2]

Это аналогично продукту разрушения в топологии, поскольку здесь исчезает отношение эквивалентности .${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)}$${\displaystyle X\times \{y\}\cup \{x\}\times Y}$

Клин единого пространства [ править ]

Конечное клин заостренного пространства обозначается . Одним из примеров этой конструкции является , которая используется в определении мотивационных комплексов, используемых в Мотивных когомологиях .${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X^{\wedge q})=\mathbb {Z} _{tr}(X\wedge \cdots \wedge X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})}$${\displaystyle \mathbb {Z} (q)}$

Гомотопически инвариантные пучки [ править ]

Предпучок с трансферами гомотопически инвариантен, если проекционный морфизм индуцирует изоморфизм для любой гладкой схемы . Существует конструкция, связывающая гомотопически инвариантный пучок ^[1] для каждого предпучка с трансферами, используя аналог симплициальных гомологий.${\displaystyle F}$${\displaystyle p:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X}$${\displaystyle p^{*}:F(X)\to F(X\times \mathbb {A} ^{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

Симплициальные гомологии [ править ]

Есть схема

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1}}\right)}$

давая косимплициальную схему , где морфизмы задаются . То есть,${\displaystyle \Delta ^{*}}$${\displaystyle \partial _{j}:\Delta ^{n}\to \Delta ^{n+1}}$${\displaystyle x_{j}=0}$

${\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1)}}\to {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1,x_{j})}}}$

дает индуцированный морфизм . Затем к предпучке с переводами идет ассоциированный комплекс предпучков с отправкой переводов.${\displaystyle \partial _{j}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C_{*}F}$

${\displaystyle C_{i}F:U\mapsto F(U\times \Delta ^{i})}$

и имеет индуцированные цепные морфизмы

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\partial _{i}^{*}:C_{j}F\to C_{j-1}F}$

подача комплекса предпучков с передачами. Гомологически инвариантные предпучки с трансферами гомотопически инвариантны. В частности, является универсальным гомотопически инвариантным предпучком с переносами, ассоциированными с .${\displaystyle H_{i}(C_{*}F)}$${\displaystyle H_{0}(C_{*}F)}$${\displaystyle F}$

Связь с группой Чоу нулевых циклов [ править ]

Обозначим . Существует индуцированная сюръекция, которая является изоморфизмом проективного.${\displaystyle H_{0}^{sing}(X/k):=H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X))({\text{Spec}}(k))}$${\displaystyle H_{0}^{sing}(X/k)\to {\text{CH}}_{0}(X)}$${\displaystyle X}$

Нулевые гомологии Z _tr (X) [ править ]

Нулевой гомологии является , где гомотопическая эквивалентность задается следующим образом . Два конечных соответствия являются -гомотопически эквивалентными, если существует такой морфизм , что и .${\displaystyle H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(Y))(X)}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{Cor}(X,Y)/\mathbb {A} ^{1}{\text{ homotopy}}}$${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle h:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X}$${\displaystyle h|_{X\times 0}=f}$${\displaystyle h|_{X\times 1}=g}$

Мотивные комплексы [ править ]

Для категории смешанных мотивов Воеводского мотивом, связанным с ней , является класс in . Один из простейших мотивационных комплексов для , определяемых классом${\displaystyle M(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle DM_{Nis}^{eff,-}(k,R)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (q)}$${\displaystyle q\geq 1}$

${\displaystyle \mathbb {Z} (q)=C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[-q]}$^[1]

Для абелевой группы , например , существует мотивационный комплекс . Они дают группы мотивационных когомологий, определенные формулой${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }$${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,\mathbb {Z} (q))}$

поскольку мотивные комплексы ограничиваются комплексом пучков Зарикси . ^[1] Они называются -й группой мотивных когомологий веса . Их также можно продолжить на любую абелеву группу ,${\displaystyle \mathbb {Z} (q)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A)=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,A(q))}$

дающие мотивационные когомологии с весовыми коэффициентами .${\displaystyle A}$${\displaystyle q}$

Особые случаи [ править ]

Есть несколько частных случаев, которые можно проанализировать явно. А именно когда . Эти результаты можно найти в четвертой лекции книги Clay Math.${\displaystyle q=0,1}$

Z (0) [ править ]

В этом случае, который квазиизоморфен ( начало страницы 17), ^[1], следовательно, группы весовых когомологий изоморфны${\displaystyle \mathbb {Z} (0)\cong \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge 0})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle H^{p,0}(X,\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} (X)&{\text{if }}p=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

где . Поскольку открытая крышка${\displaystyle \mathbb {Z} (X)={\text{Hom}}_{Cor}(X,{\text{Spec}}(k))}$

Z (1) [ править ]

Этот случай требует дополнительной работы, но конечным результатом является квазиизоморфизм между и . Это дает две группы мотивационных когомологий${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}[-1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{0}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\mathcal {O}}^{*}(X)\\H^{2,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\text{Pic}}(X)\end{aligned}}}$

где средние группы когомологий являются когомологиями Зарисского.

Общий случай: Z (n) [ править ]

В общем, над идеальным полем есть хорошее описание с точки зрения предварительных пучков с переносом . Есть квазиизморфизм${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})}$

${\displaystyle C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))\simeq C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[n]}$

следовательно

${\displaystyle \mathbb {Z} (n)\simeq C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))[-2n]}$

которое находится с использованием техники расщепления вместе с серией квазиизоморфизмов. Подробности в лекции 15 книги Clay Math.

См. Также [ править ]

• Относительный цикл
• Мотивная когомология
• Смешанные мотивы (математика)
• Этальная топология
• Топология Нисневича

Ссылки [ править ]

• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Вейбель, Чарльз (2006), Конспект лекций по мотивационной когомологии , Clay Mathematics Monographs , 2 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3847-1, Руководство по ремонту  2242284

Внешние ссылки [ править ]

• https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf+with+transfer