Кольцо Adele

В математике , то кольцо аделей из глобального поля (также адельного кольца , кольца аделей или кольца аделей ^[1] ) является центральным объектом теории полех классов филиала алгебраической теории чисел . Это ограниченное произведение всех пополнений глобального поля и пример самодуального топологического кольца .

Кольцо аделей позволяет элегантно описать закон взаимности Артина , который является обширным обобщением квадратичной взаимности , и других законов взаимности над конечными полями. Кроме того, это классическая теорема Вейля о том, что -расслоения на алгебраической кривой над конечным полем могут быть описаны в терминах аделей для редуктивной группы . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

Определение [ править ]

Пусть - глобальное поле (конечное расширение или функциональное поле кривой X / F _q над конечным полем). Адельное кольцо из подкольца ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ ${\ displaystyle K}$

{\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {K} \ = \ \ prod (K _ {\ nu}, {\ mathcal {O}} _ {\ nu}) \ \ substeq \ \ prod K _ {\ nu}}

состоящий из кортежей, где лежит в подкольце для всех, кроме конечного числа мест . Здесь индекс пробегает все оценки глобального поля , является завершение на этой оценку и на кольце нормирования . ${\ Displaystyle (а _ {\ ню})}$ ${\ displaystyle a _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ nu} \ subset K _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ nu}}$

Мотивация [ править ]

Кольцо аделей решает техническую проблему «проведения» анализа рациональных чисел . «Классическое» решение, которое использовали люди раньше, заключалось в том, чтобы перейти к завершению и использовать там аналитические техники. Но, как выяснилось позже, помимо евклидова расстояния существует гораздо больше абсолютных значений , по одному на каждое простое число , как это было классифицировано Островским . Поскольку обозначенная евклидова абсолютная величина является лишь одной из многих других, кольцо аделей позволяет достичь компромисса и использовать все оценки сразу. ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle | \ cdot | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle | \ cdot | _ {p}}$ . Это дает возможность получить доступ к аналитическим методам, а также сохранить информацию о простых числах, поскольку их структура встроена в ограниченное бесконечное произведение.

Почему ограниченный продукт? [ редактировать ]

Ограниченно бесконечное произведение является необходимым условием для технического дают поле номера решетчатой структуру внутренней части , что делает возможным построение теории Фурье - анализ в адельной обстановке. Это полностью аналогично ситуации в теории алгебраических чисел, когда кольцо целых чисел поля алгебраических чисел вкладывается ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {Q}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} \ hookrightarrow K}$

в виде решетки. С помощью новой теории анализа Фурье Тейт смог доказать особый класс L-функций, а дзета-функции Дедекинда были мероморфны на комплексной плоскости. Еще одну естественную причину, по которой выполняется это техническое условие, можно непосредственно увидеть, построив кольцо аделей как тензорное произведение колец. Если определить кольцо целых аделей как кольцо ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {Z}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {Z}} = \ mathbf {R} \ times {\ hat {\ mathbf {Z}}} = \ mathbf {R} \ times \ prod _ {p} \ mathbf {Z} _ {p}}$

то кольцо аделей можно эквивалентно определить как

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right)\end{aligned}}$

Ограниченная структура продукта становится прозрачной после просмотра явных элементов в этом кольце. Если мы возьмем рациональное число, то найдем . Для любого набора справедлива следующая серия равенств $b/c\in \mathbf {Q}$ $c=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$ $(a_{p})\in \mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}$

${\begin{aligned}\left({\frac {b}{c}}\right)\otimes (r,(a_{p}))&=b\otimes \left({\frac {r}{c}},{\frac {1}{c}}(a_{p})\right)\\&=b\otimes \left({\frac {r}{c}},\left({\frac {a_{p}}{c}}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Тогда для любого, у нас все еще есть for , но for, поскольку существует обратная степень . Это показывает, что любой элемент в этом новом кольце аделей может иметь элемент только в конечном числе мест . $p\notin \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$ $a_{p}/c\in \mathbf {Z} _{p}$ $a_{p}\in \mathbf {Z} _{p}$ $p\in \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$ $a_{p}/c\in \mathbf {Q} _{p}$ $p$ $\mathbf {Q} _{p}$ $p$

Происхождение названия [ править ]

В теории поля локальных классов центральную роль играет группа единиц локального поля. В глобальной теории полей классов эту роль играет группа классов иделей . Термин «идель» ( фр . Idèle ) является изобретением французского математика Клода Шевалле (1909–1984) и означает «идеальный элемент» (сокращенно: id.el.). Термин «адель» ( адель ) означает аддитивный идеель.

Идея кольца аделей состоит в том, чтобы рассматривать сразу все пополнения . На первый взгляд, декартово произведение может быть хорошим кандидатом. Однако кольцо аделей определяется с помощью ограниченного произведения. На это есть две причины: $K$

Для каждого элемента оценки равны нулю почти для всех мест, т. Е. Для всех мест, кроме конечного числа. Таким образом, глобальное поле может быть встроено в ограниченный продукт. $K$

Ограниченное произведение - это локально компактное пространство, а декартово произведение - нет. Следовательно, мы не можем применить гармонический анализ к декартову произведению.

Примеры [ править ]

Кольцо аделей для рациональных чисел [ править ]

Рациональных чисел K = Q имеют оценку для каждого простого числа р , с (K _v , , О _ν ) = ( Q _р , Z _р ), и одной бесконечной оценки ∞ с Q _∞ = R . Таким образом, элемент

\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})

вещественное число наряду с р -адическим рациональным для каждого р из которых все , кроме конечного числа являются р -адических числами.

Кольцо аделей для функционального поля проективной прямой [ править ]

Во- вторых, взять на себя функции поля K = F _д ( P ¹ ) = F _д (Т) в проективной прямой над конечным полем. Его оценки соответствуют точкам x из X = P ¹ , т. Е. Отображаются над Spec F _q

x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.

Например, существует q + 1 точка вида Spec F _q → P ¹ . В этом случае O _ν = Ô _{X, x} - завершенный стержень структурного пучка в точке x (т.е. функции в формальной окрестности x ), а K _ν = K _{X, x} - его поле дробей. Таким образом

\mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).

То же самое верно для любой гладкой собственной кривой X / F _q над конечным полем, причем ограниченное произведение существует по всем точкам x∈X .

Связанные понятия [ править ]

Группа единиц в кольце аделей называется группой иделей.

I_{K}\ =\ \mathbf {A} _{K}^{\times }.

Фактор иделей по подгруппе K ^× ⊆I _K называется группой классов идеелей

C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.

В неотъемлемой адели является Подкольцом

\mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.

Приложения [ править ]

Заявление о взаимности Артина [ править ]

Закон взаимности Артина гласит, что для глобального поля K ,

{\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)

где K ^ab - максимальное абелево алгебраическое расширение K и означает проконечное пополнение группы. ${\widehat {(\dots )}}$

Приведение адельной формулировки пикардовой группы кривой [ править ]

Если Х / Р _д является гладкой кривой , то собственно его группа Пикара является ^[2]

{\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }

а его группа дивизоров - это Div (X) = A _K^× / O _K^× . Аналогично, если G - полупростая алгебраическая группа (например, SL _n , это верно и для GL _n ), то униформизация Вейля говорит, что ^[3]

{\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).

Применение этого к G = G _m дает результат о группе Пикара.

Тезис Тейта [ править ]

На A _K существует топология, для которой фактор-группа A _K / K компактна, что позволяет проводить на ней гармонический анализ. Джон Тейт в своей диссертации «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функциях Геккеса» ^[4] доказал результаты о L-функциях Дирихле, используя анализ Фурье на кольце аделей и группе иделей. Поэтому кольцо аделей и группа иделей были применены для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций.

Доказательство двойственности Серра на гладкой кривой [ править ]

Если X - гладкая собственная кривая над комплексными числами , можно определить адели ее функционального поля C ( X ) точно так же, как случай конечных полей. Джон Тейт доказал ^[5], что двойственность Серра на X

H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}

можно вывести, работая с этим кольцом аделей A _{C ( X )} . Здесь L линейное расслоение на X .

Обозначения и основные определения [ править ]

Глобальные поля [ править ]

В этой статье это глобальное поле , то есть это либо числовое поле (конечное расширение ), либо глобальное функциональное поле (конечное расширение для простого и ). По определению конечное расширение глобального поля само является глобальным полем. $K$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{p^{r}}(t)$ $p$ $r\in \mathbb {N}$

Оценки [ править ]

Для оценки из нас написать для завершения относительно If дискретна мы запись для оценки кольца и для максимального идеала Если это главный идеал будет обозначать элемент униформизирующего по неархимедовой оценке записывается в виде или и Архимедова оценка, поскольку Мы предполагаем, что все оценки нетривиальны. $v$ $K$ $K_{v}$ $K$ $v.$ $v$ $O_{v}$ $K_{v}$ ${\mathfrak {m}}_{v}$ $O_{v}.$ $\pi _{v}.$ $v<\infty$ $v\nmid \infty$ $v|\infty .$

Существует взаимно однозначная идентификация оценок и абсолютных значений. Зафиксируйте константу, которой оценке будет присвоено абсолютное значение, определяемое как: $C>1,$ $v$ $|\cdot |_{v},$

\forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}

И наоборот, абсолютному значению присваивается оценка, определяемая как: $|\cdot |$ $v_{|\cdot |},$

\forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).

Место из является представителем класса эквивалентности оценок (или абсолютных значений) мест , соответствующих неархимедовы оценок называются конечным, тогда как места , соответствующие архимедовы оценки называются бесконечными. Множество бесконечных мест глобального поля конечно, обозначим это множество через $K$ $K.$ $P_{\infty }.$

Определите и пусть будет его группа единиц. Затем $\textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}$ ${\widehat {O}}^{\times }$ $\textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.$

Конечные расширения [ править ]

Позвольте быть конечным расширением глобального поля Позвольте быть местом и местом Мы говорим ложь выше, обозначенным, если абсолютное значение, ограниченное на, находится в классе эквивалентности Define $L/K$ $K.$ $w$ $L$ $v$ $K.$ $w$ $v,$ $w|v,$ $|\cdot |_{w}$ $K$ $v.$

{\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}

Обратите внимание, что оба продукта конечны.

Если мы можем вложить в Следовательно, мы можем вложить по диагонали в. Это вложение является коммутативной алгеброй над со степенью $w|v$ $K_{v}$ $L_{w}.$ $K_{v}$ $L_{v}.$ $L_{v}$ $K_{v}$

\sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].

Кольцо аделей [ править ]

Множество конечных аделей глобального поля, $K,$ обозначаемое как ограниченное произведение относительно $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},$ $K_{v}$ $O_{v}:$

\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.

Он снабжен топологией ограниченного продукта, топологией, генерируемой ограниченными открытыми прямоугольниками, которые имеют следующий вид:

U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},

где - конечное множество (конечных) мест и открыты. С покомпонентным сложением и умножением тоже кольцо. $E$ $U_{v}\subset K_{v}$ $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}$

Адельное кольцо глобального поля определяются как произведение с произведением пополнений на своих бесконечных местах. Количество бесконечных мест конечно, а пополнения - либо, либо вкратце: $K$ $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}$ $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$

\mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.

Если сложение и умножение определены как покомпонентно, кольцо аделей является кольцом. Элементы кольца аделей $K.$ называются аделями кольца. Далее мы пишем

\mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},

хотя, как правило, это не ограниченный продукт.

Замечание. Глобальные функциональные поля не имеют бесконечных мест, и поэтому конечное кольцо аделей равно кольцу аделей.

Лемма. Существует естественное вложение в, заданное диагональным отображением:

K

\mathbb {A} _{K}

a\mapsto (a,a,\ldots ).

Доказательство. Если то для почти всех Это показывает, что карта четко определена. Это также инъективно, потому что вложение in инъективно для всех $a\in K,$ $a\in O_{v}^{\times }$ $v.$ $K$ $K_{v}$ $v.$

Замечание. Выявляя с его изображением под диагональной картой мы рассматриваем его как подкольцу Элементов называются главной адели из $K$ $\mathbb {A} _{K}.$ $K$ $\mathbb {A} _{K}.$

Определение. Позвольте быть набором мест Определим набор -адель как $S$ $K.$ $S$ $K$

\mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.

Кроме того, если мы определим

\mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}

у нас есть: $\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.$

Кольцо аделей рациональных существ [ править ]

По теореме Островского места , где мы отождествляем простое число с классом эквивалентности -адического абсолютного значения и с классом эквивалентности абсолютного значения, определяемого как: $\mathbb {Q}$ $\{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},$ $p$ $p$ $\infty$ $|\cdot |_{\infty }$

\forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}

Завершение по отношению к месту , находятся с нормированным кольцом За место завершения это Таким образом: $\mathbb {Q}$ $p$ $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}.$ $\infty$ $\mathbb {R} .$

{\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}

Или для краткости

\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .

Мы проиллюстрируем разницу между ограниченной и неограниченной топологией продукта, используя последовательность в : $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$

Лемма. Рассмотрим следующую последовательность в :

\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }

{\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}

В топологии продукта он сходится к. Он не сходится в ограниченной топологии продукта.

(1,1,\ldots ).

Доказательство. В топологии продукта сходимость соответствует сходимости по каждой координате, что тривиально, поскольку последовательности становятся стационарными. Последовательность не сходится в ограниченной топологии произведения, для каждого адела и для каждого ограниченного открытого прямоугольника мы имеем: для и, следовательно, для всех В результате для почти всех В этом рассмотрении и являются конечными подмножествами множества всех мест. $a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ $\textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},$ ${\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}$ $a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}$ ${\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}$ $p\notin F.$ $x_{n}-a\notin U$ $n\in \mathbb {N} .$ $E$ $F$

Альтернативное определение числовых полей [ править ]

Определение ( бесконечные целые числа ). Мы определяем проконечные целые числа как проконечное пополнение колец с частичным порядком, т. Е. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $n\geq m\Leftrightarrow m|n,$

{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,

Лемма.

\textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.

Доказательство. Это следует из китайской теоремы об остатках.

Лемма.

\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .

Доказательство. Воспользуемся универсальным свойством тензорного произведения. Определите -билинейную функцию $\mathbb {Z}$

{\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}

Это определение корректно , поскольку для данного с со-премьером существует лишь конечное число простых чисел делящихся Пусть еще один модуль с -bilinear карты Мы должны показать факторы через однозначно, т.е. существует единственная -линейная карта такого , что We определите следующим образом: для данного существуют и такие, что для всех Define One, которые может показать, является четко определенным, -линейным, удовлетворяет и уникально с этими свойствами. $q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ $m,n$ $n.$ $M$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.$ $\Phi$ $\Psi$ $\mathbb {Z}$ ${\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M$ $\Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .$ ${\tilde {\Phi }}$ $(u_{p})_{p}$ $u\in \mathbb {N}$ $(v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}$ $u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}$ $p.$ ${\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).$ ${\tilde {\Phi }}$ $\mathbb {Z}$ $\Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi$

Следствие. Определить Тогда у нас есть алгебраический изоморфизм

\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .

\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .

Доказательство. $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$

Лемма. Для числового поля

K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.

Замечание. Используя где есть слагаемые, мы задаем топологию произведения в правой части и переносим эту топологию через изоморфизм на $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ $[K:\mathbb {Q} ]$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.$

Кольцо аделей конечного расширения [ править ]

Если бы то конечное расширение глобальное поле и , таким образом , определяется и Мы утверждаем , могут быть идентифицированы с подгруппой Карта на которой для Тогда в подгруппе , если для и для всех лежащих выше того же места в $L/K$ $L$ $\mathbb {A} _{L}$ $\textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.$ $\mathbb {A} _{K}$ $\mathbb {A} _{L}.$ $a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}$ $a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}$ $a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}$ $w|v.$ $a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}$ $\mathbb {A} _{K},$ $a_{w}\in K_{v}$ $w|v$ $a_{w}=a_{w'}$ $w,w'$ $v$ $K.$

Лемма. Если - конечное расширение, то алгебраически и топологически.

L/K

\mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L

С помощью этого изоморфизма включение дается формулой $\mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}$

{\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}

Кроме того, главные аделы в можно отождествить с подгруппой главных аделей в с помощью отображения $\mathbb {A} _{K}$ $\mathbb {A} _{L}$

{\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}

Доказательство. ^[6] Позвольте быть базисом над Тогда для почти всех $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ $L$ $K.$ $v,$

{\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.

Кроме того, существуют следующие изоморфизмы:

K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}

Для второго мы использовали карту:

{\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}

в котором - каноническое вложение, и мы берем с обеих сторон ограниченное произведение относительно $\tau _{w}:L\to L_{w}$ $w|v.$ ${\widetilde {O_{v}}}:$

{\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}

Следствие. Как аддитивные группы, в которых в правой части есть слагаемые.

\mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},

[L:K]

Множество главных аделей в отождествляется с множеством, в котором левая часть имеет слагаемые, и мы рассматриваем как подмножество $\mathbb {A} _{L}$ $K\oplus \cdots \oplus K,$ $[L:K]$ $K$ $\mathbb {A} _{K}.$

Кольцо аделей векторных пространств и алгебр [ править ]

Лемма. Предположим, есть конечное множество мест и определим

P\supset P_{\infty }

K

\mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.

Оборудуйте топологию продукта и определите компонентное сложение и умножение. Тогда - локально компактное топологическое кольцо.

\mathbb {A} _{K}(P)

\mathbb {A} _{K}(P)

Замечание. Если - другое конечное множество мест содержания, то это открытое подкольцо $P'$ $K$ $P$ $\mathbb {A} _{K}(P)$ $\mathbb {A} _{K}(P').$

Теперь мы можем дать альтернативную характеристику кольца аделей. Кольцо аделей - это объединение всех множеств : $\mathbb {A} _{K}(P)$

\mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).

Эквивалентно множество всех так, что для почти всех Топология индуцирована требованием, чтобы все были открытыми подкольцами в Таким образом, является локально компактным топологическим кольцом. $\mathbb {A} _{K}$ $x=(x_{v})_{v}$ $|x_{v}|_{v}\leq 1$ $v<\infty .$ $\mathbb {A} _{K}$ $\mathbb {A} _{K}(P)$ $\mathbb {A} _{K}.$ $\mathbb {A} _{K}$

Зафиксируйте место в Пусть конечное множество мест , содержащих и определение $v$ $K.$ $P$ $K,$ $v$ $P_{\infty }.$

\mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.

Затем:

\mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).

Кроме того, определим

\mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),

где пробегает все конечные множества, содержащие Then: $P$ $P_{\infty }\cup \{v\}.$

\mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),

через карту . Вся описанная выше процедура выполняется с конечным подмножеством вместо $(a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).$ ${\widetilde {P}}$ $\{v\}.$

По построению существует естественное вложение: кроме того, существует естественная проекция $\mathbb {A} _{K}'(v),$ $K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.$ $\mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.$

Кольцо аделей векторного пространства [ править ]

Пусть конечномерное векторное пространство над и основой для более чем для каждого места в которых мы пишем: $E$ $K$ $\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}$ $E$ $K.$ $v$ $K,$

{\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}

Определим кольцо аделей как $E$

\mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.

Это определение основано на альтернативном описании кольца аделей как тензорного произведения, снабженного той же топологией, которую мы определили, давая альтернативное определение кольца аделей для числовых полей. Мы оснащаем продукцию ограниченной топологией. Тогда и мы можем встроить в естественно через карту $\mathbb {A} _{E}$ $\mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}$ $E$ $\mathbb {A} _{E}$ $e\mapsto e\otimes 1.$

Мы даем альтернативное определение топологии на Рассмотрим все линейные отображения: Используя естественные вложения и расширяем эти линейные отображения на: Топология на - это грубейшая топология, для которой все эти расширения непрерывны. $\mathbb {A} _{E}.$ $E\to K.$ $E\to \mathbb {A} _{E}$ $K\to \mathbb {A} _{K},$ $\mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.$ $\mathbb {A} _{E}$

Мы можем определить топологию по-другому. Фиксация базиса для сверх результатов в изоморфизме Следовательно, фиксация базиса индуцирует изоморфизм. Мы снабжаем левую часть топологией произведения и переносим эту топологию с изоморфизмом в правую часть. Топология не зависит от выбора базиса, потому что другой базис определяет второй изоморфизм. Составив оба изоморфизма, мы получим линейный гомеоморфизм, который переводит две топологии друг в друга. Более формально $E$ $K$ $E\cong K^{n}.$ $(\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.$

{\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}

где у сумм есть слагаемые. В случае, если определение выше согласуется с результатами о кольце аделей конечного расширения $n$ $E=L,$ $L/K.$

^[7]

Кольцо аделей алгебры [ править ]

Позвольте быть конечномерной алгеброй над В частности, является конечномерным векторным пространством над Как следствие, определено и Поскольку у нас есть умножение на, и мы можем определить умножение на через: $A$ $K.$ $A$ $K.$ $\mathbb {A} _{A}$ $\mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.$ $\mathbb {A} _{K}$ $A,$ $\mathbb {A} _{A}$

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).

Как следствие, является алгеброй с единицей над Пусть конечным подмножеством , содержащим базис для более любого конечного места мы определяем как -модуль , порожденный в Для каждого конечного множества точек, мы определяем $\mathbb {A} _{A}$ $\mathbb {A} _{K}.$ ${\mathcal {B}}$ $A,$ $A$ $K.$ $v$ $M_{v}$ $O_{v}$ ${\mathcal {B}}$ $A_{v}.$ $P\supset P_{\infty },$

\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.

Можно показать, что существует конечное множество, так что это открытое подкольцо if Кроме того, объединение всех этих подкольцев, и определение, приведенное выше, согласуется с определением кольца аделей. $P_{0},$ $\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )$ $\mathbb {A} _{A},$ $P\supset P_{0}.$ $\mathbb {A} _{A}$ $A=K,$

След и норма на кольце аделей [ править ]

Позвольте быть конечным расширением. Так как и из леммы выше мы можем интерпретировать как замкнутое подкольцо в We write для этого вложения. Явное для всех мест по выше и для любого $L/K$ $\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K$ $\mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L$ $\mathbb {A} _{K}$ $\mathbb {A} _{L}.$ $\operatorname {con} _{L/K}$ $w$ $L$ $v$ $\alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.$

Позвольте быть башней глобальных полей. Затем: $M/L/K$

\operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.

Кроме того, естественная инъекция ограничивается главными аделями. $\operatorname {con}$ $K\to L.$

Позвольте быть основой расширения поля Тогда каждый может быть записан как где уникальны. Карта непрерывная. Мы определяем в зависимости от с помощью уравнений: $\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}$ $L/K.$ $\alpha \in \mathbb {A} _{L}$ $\textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},$ $\alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}$ $\alpha \mapsto \alpha _{j}$ $\alpha _{ij},$ $\alpha ,$

{\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}

Теперь мы определяем след и норму как: $\alpha$

{\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}

Это след и определитель линейного отображения

{\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}

Это непрерывные отображения на кольце аделей, и они удовлетворяют обычным уравнениям:

{\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}

Кроме того, для и идентичны следу и норме расширения поля. Для башни полей мы имеем: $\alpha \in L,$ $\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )$ $N_{L/K}(\alpha )$ $L/K.$ $M/L/K,$

{\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}

Более того, можно доказать, что: ^[8]

{\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}

Свойства кольца аделей [ править ]

Теорема. ^[9] Для каждого набора мест есть локально компактное топологическое кольцо.

S,\mathbb {A} _{K,S}

Замечание. Приведенный выше результат верен также для кольца аделей векторных пространств и алгебр над $K.$

Теорема. ^[10] дискретна и кокомпактна, в частности, замкнута в

K

\mathbb {A} _{K}.

K

\mathbb {A} _{K}.

Доказательство. Мы доказываем случай. Чтобы показать дискретность, достаточно показать существование окрестности, не содержащей другого рационального числа. Общий случай следует через перевод. Определять $K=\mathbb {Q} .$ $\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ $0$

U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).

$U$ является открытой окрестностью Мы утверждаем Пусть тогда и для всех, и поэтому Дополнительно, у нас есть и, следовательно, Далее, мы показываем компактность, определяем: $0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ $U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.$ $\beta \in U\cap \mathbb {Q} ,$ $\beta \in \mathbb {Q}$ $|\beta |_{p}\leq 1$ $p$ $\beta \in \mathbb {Z} .$ $\beta \in (-1,1)$ $\beta =0.$

W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].

Мы показываем каждый элемент имеет представителя в том , что для каждого существует такое , что Пусть произвольно и простое , для которого Тогда существует с и заменить с , и пусть будет другой премьер. Затем: $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q}$ $W,$ $\alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ $\beta \in \mathbb {Q}$ $\alpha -\beta \in W.$ $\alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ $p$ $|\alpha _{p}|>1.$ $r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}$ $z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N}$ $|\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.$ $\alpha$ $\alpha -r_{p}$ $q\neq p$

\left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.

Далее мы утверждаем:

|\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.

Обратное утверждение тривиально верно. Импликация верна, потому что два члена сильного неравенства треугольника равны, если абсолютные значения обоих целых чисел различны. Как следствие, (конечное) множество простых чисел, для которых компоненты не входят в , уменьшается на 1. С итерацией мы выводим, что существует такое, что Теперь мы выбираем такое, что Тогда Непрерывная проекция сюръективна, поэтому как непрерывное изображение компакта, компактен. $\alpha$ $\mathbb {Z} _{p}$ $r\in \mathbb {Q}$ $\alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .$ $s\in \mathbb {Z}$ $\alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].$ $\alpha -(r+s)\in W.$ $\pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q}$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,$

Следствие. Пусть - конечномерное векторное пространство над Then дискретно и кокомпактно в

E

K.

E

\mathbb {A} _{E}.

Теорема. У нас есть следующее:

$\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.$
$\mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.$
$\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ является делимой группой . ^[11]
$\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ плотный.

Доказательство. Первые два уравнения доказываются элементарно.

По определению является делимым, если для любого и уравнение имеет решение. Достаточно показать, что оно делимо, но это верно, поскольку это поле с положительной характеристикой в каждой координате. $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ $n\in \mathbb {N}$ $y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ $nx=y$ $x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$

Для последнего утверждения обратите внимание, что, поскольку мы можем достичь конечного числа знаменателей в координатах элементов через элемент, как следствие, достаточно показать , что это плотное, то есть каждое открытое подмножество содержит элемент без потери общности , мы можем предположить $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ $q\in \mathbb {Q} .$ $\mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}$ $V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}$ $\mathbb {Z} .$

V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},

поскольку является системой окрестностей в По китайской теореме об остатках существует такое, что Поскольку степени различных простых чисел взаимно просты, следует. $(p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }$ $0$ $\mathbb {Z} _{p}.$ $l\in \mathbb {Z}$ $l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.$ $l\in V$

Замечание. не делится однозначно. Пусть и будет дано. Затем $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ $y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ $n\geq 2$

{\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}

оба удовлетворяют уравнению и ясно ( определено правильно, потому что делится только конечное число простых чисел ). В этом случае однозначная делимость эквивалентна отсутствию кручения, что неверно, поскольку, но и $nx=y$ $x_{1}\neq x_{2}$ $x_{2}$ $n$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ $nx_{2}=0,$ $x_{2}\neq 0$ $n\neq 0.$

Замечание. Четвертое утверждение - частный случай сильной аппроксимационной теоремы .

Мера Хаара на кольце аделей [ править ]

Определение. Функция называется простой, если где измеримы и почти для всех $f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C}$ $\textstyle f=\prod _{v}f_{v},$ $f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C}$ $f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}$ $v.$

Теорема. ^[12] Поскольку это локально компактная группа со сложением, существует аддитивная мера Хаара на этой мере, которая может быть нормализована так, что каждая интегрируемая простая функция удовлетворяет:

\mathbb {A} _{K}

dx

\mathbb {A} _{K}.

\textstyle f=\prod _{v}f_{v}

\int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},

где for - мера на таких, которая имеет единичную меру, и - мера Лебега. Продукт конечен, т.е. почти все множители равны единице.

v<\infty ,dx_{v}

K_{v}

O_{v}

dx_{\infty }

Группа иделей [ править ]

Определение. Определят идель группы $K$ , как группа единиц адельного кольца что элементы группы иделя называются идель $K,$ $I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.$ $K.$

Замечание. Мы хотели бы оснастить ее топологией, чтобы она стала топологической группой. Унаследованная от подмножества топология не является подходящим кандидатом, поскольку группа элементов топологического кольца, снабженная топологией подмножества, может не быть топологической группой. Например, обратное отображение не является непрерывным. Последовательность $I_{K}$ $\mathbb {A} _{K}$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$

{\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}

сходится к Чтобы увидеть это, пусть будет окрестностью точки без ограничения общности, мы можем предположить: $1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ $U$ $0,$

U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}

Так как для всех для достаточно большой. Однако, как мы видели выше, обратная к этой последовательности не сходится в $(x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}$ $p,$ $x_{n}-1\in U$ $n$ $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$

Лемма. Позвольте быть топологическим кольцом. Определять:

R

{\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}

Снабжен топологией, индуцированной произведением на топологии на и является топологической группой, а карта включения непрерывна. Это грубая топология, выходящее из топологии на том , что делает топологическую группу.

R\times R

\iota ,R^{\times }

R^{\times }\subset R

R,

R^{\times }

Доказательство. Поскольку это топологическое кольцо, достаточно показать, что обратное отображение непрерывно. Пусть будет открыто, тогда открыто. Мы должны показать , открыто или, что то же самое, что открыто. Но это условие выше. $R$ $U\subset R^{\times }$ $U\times U^{-1}\subset R\times R$ $U^{-1}\subset R^{\times }$ $U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R$

Мы снабжаем группу идеелей топологией, определенной в лемме, превращая ее в топологическую группу.

Определение. Для подмножества мест набора: $S$ $K$ $I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.$

Лемма. Имеют место следующие тождества топологических групп:

{\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}

где ограниченный продукт имеет топологию ограниченного продукта, которая генерируется ограниченными открытыми прямоугольниками формы

\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },

где - конечное подмножество множества всех мест и - открытые множества.

E

U_{v}\subset K_{v}^{\times }

Доказательство. Тождество для двух других докажем аналогично. Сначала мы покажем, что два набора равны: $I_{K},$

{\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}

При переходе от строки 2 к 3, а также должны иметь значение почти для всех и почти для всех Следовательно, почти для всех $x$ $x^{-1}=y$ $\mathbb {A} _{K},$ $x_{v}\in O_{v}$ $v$ $x_{v}^{-1}\in O_{v}$ $v.$ $x_{v}\in O_{v}^{\times }$ $v.$

Теперь мы можем показать, что топология с левой стороны равна топологии с правой стороны. Очевидно, что каждый открытый ограниченный прямоугольник открыт в топологии группы иделей. С другой стороны, для данного, открытого в топологии группы иделей, значение открыто, поэтому для каждого существует открытый ограниченный прямоугольник, который является подмножеством и содержит Следовательно, является объединением всех этих ограниченных открытых прямоугольников и, следовательно, открыт в ограниченной топологии продукта. $U\subset I_{K},$ $U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}$ $u\in U$ $U$ $u.$ $U$

Лемма. Для каждого набора мест является локально компактной топологической группой.

S,I_{K,S}

Доказательство. Локальная компактность следует из описания как ограниченного продукта. То, что это топологическая группа, следует из приведенного выше обсуждения группы единиц топологического кольца. $I_{K,S}$

Система соседства - это система соседства. В качестве альтернативы мы можем взять все наборы вида: $1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }$ $1\in I_{K}.$

\prod _{v}U_{v},

где находится окрестности и почти для всех $U_{v}$ $1\in K_{v}^{\times }$ $U_{v}=O_{v}^{\times }$ $v.$

Поскольку группа иделей локально компактна, на ней существует мера Хаара . Это можно нормализовать, так что $d^{\times }x$

\int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.

Это нормализация, используемая для конечных мест. В этих уравнениях - конечная группа аделей, означающая группу единиц конечного кольца аделей. Для бесконечных мест мы используем мультипликативную меру Лебега $I_{K,{\text{fin}}}$ ${\tfrac {dx}{|x|}}.$

Группа иделей конечного расширения [ править ]

Лемма. Позвольте быть конечным расширением. Затем:

L/K

I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.

где ограниченный продукт относится к

{\widetilde {O_{v}}}^{\times }.

Лемма. Есть каноническое вложение in

I_{K}

I_{L}.

Доказательство. Мы отображаем к со свойством для Таким образом, можно рассматривать в качестве подгруппы An элемента в этой подгруппе тогда и только тогда , когда его компоненты удовлетворяют следующие свойства: для и для и то же места в $a=(a_{v})_{v}\in I_{K}$ $a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}$ $a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }$ $w|v.$ $I_{K}$ $I_{L}.$ $a=(a_{w})_{w}\in I_{L}$ $a_{w}\in K_{v}^{\times }$ $w|v$ $a_{w}=a_{w'}$ $w|v$ $w'|v$ $v$ $K.$

Случай векторных пространств и алгебр [ править ]

^[13]

Группа иделей алгебры [ править ]

Пусть будет конечномерной алгеброй над Поскольку не является топологической группой с подмножеством-топологией в целом, мы оснащаемся топологией, аналогичной приведенной выше, и называем группой идеелей. Элементы группы иделей называются идеелями группы. $A$ $K.$ $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ $I_{K}$ $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ $A.$

Предложение. Пусть конечное подмножество , содержащее базис над Для каждого конечного места из ЛПЭ быть - модуль , порожденный в Там существует конечное множество мест , содержащих такие , что для всех является компактным подкольцом Кроме того, содержит Для каждого открытое подмножество из и отображения непрерывно на Как следствие отображает гомеоморфно на ее изображение в Для каждого являются элементы отображения в с функцией выше. Следовательно,

\alpha

A,

A

K.

v

K,

\alpha _{v}

O_{v}

\alpha

A_{v}.

P_{0}

P_{\infty }

v\notin P_{0},

\alpha _{v}

A_{v}.

\alpha _{v}

A_{v}^{\times }.

v,A_{v}^{\times }

A_{v}

x\mapsto x^{-1}

A_{v}^{\times }.

x\mapsto (x,x^{-1})

A_{v}^{\times }

A_{v}\times A_{v}.

v\notin P_{0},

\alpha _{v}^{\times }

A_{v}^{\times },

\alpha _{v}\times \alpha _{v}

\alpha _{v}^{\times }

- открытая и компактная подгруппа в ^[14]

A_{v}^{\times }.

Альтернативная характеристика группы иделей [ править ]

Предложение. Позвольте быть конечным набором мест. Затем

P\supset P_{\infty }

\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }

- открытая подгруппа, в которой - объединение всех ^[15]

\mathbb {A} _{A}^{\times },

\mathbb {A} _{A}^{\times }

\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.

Следствие. В частном случае для каждого конечного множества мест

A=K

P\supset P_{\infty },

\mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }

является открытой подгруппой в Кроме того, является объединением всех

\mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.

I_{K}

\mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.

Норма о группе иделей [ править ]

Мы хотим перенести след и норму из кольца аделей в группу иделей. Оказывается, след так просто перенести не получится. Однако можно перенести норму с кольца аделей на группу иделей. Пусть Тогда и, следовательно, мы имеем гомоморфизм инъективной группы $\alpha \in I_{K}.$ $\operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}$

\operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.

Поскольку он обратим, он также обратим, потому что Следовательно, как следствие, ограничение функции нормы вводит непрерывную функцию: $\alpha \in I_{L},$ $N_{L/K}(\alpha )$ $(N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).$ $N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.$

N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.

Группа классов "Иделе" [ править ]

Лемма. Существует естественное вложение в, заданное диагональным отображением:

K^{\times }

I_{K,S}

a\mapsto (a,a,a,\ldots ).

Доказательство. Поскольку является подмножеством для всех вложения, корректно и инъективно. $K^{\times }$ $K_{v}^{\times }$ $v,$

Следствие. дискретная подгруппа

A^{\times }

\mathbb {A} _{A}^{\times }.

Определение. По аналогии с группой классов идеалов , элементы in называются главными идеелями группы . Фактор-группа называется группой классов идеалов. Эта группа связана с группой классов идеалов и является центральным объектом в теории полей классов. $K^{\times }$ $I_{K}$ $I_{K}.$ $C_{K}:=I_{K}/K^{\times }$ $K.$

Замечание. замкнуто в, следовательно, является локально компактной топологической группой и хаусдорфовым пространством. $K^{\times }$ $I_{K},$ $C_{K}$

Лемма. ^[16] Позвольте быть конечным расширением. Вложение индуцирует инъективное отображение:

L/K

I_{K}\to I_{L}

{\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}

Свойства группы иделей [ править ]

Абсолютное значение на and -idele $I_{K}$ $1$ [ править ]

Определение. Для определения: Поскольку это идель, это произведение конечно и, следовательно, корректно определено. $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}$ $\textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.$ $\alpha$

Замечание. Определение может быть расширено до бесконечности продуктов. Однако эти бесконечные произведения обращаются в нуль и, следовательно, исчезают на. Мы будем использовать для обозначения как функции на, так и $\mathbb {A} _{K}$ $|\cdot |$ $\mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.$ $|\cdot |$ $I_{K}$ $\mathbb {A} _{K}.$

Теорема. является непрерывным гомоморфизмом групп.

|\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}

Доказательство. Позволять $\alpha ,\beta \in I_{K}.$

{\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}

где мы используем, что все продукты конечны. Карта непрерывна, что можно увидеть с помощью аргумента, имеющего дело с последовательностями. Это сводит проблему к тому, является ли непрерывным на. Однако это ясно из-за неравенства обратного треугольника. $|\cdot |$ $K_{v}.$

Определение. Мы определяем набор -idele как: $1$

I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).

$I_{K}^{1}$ является подгруппой группы Так как она является замкнутым подмножеством группы Наконец, -топология на равняется подмножеству-топологии группы на ^[17]^[18] $I_{K}.$ $I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),$ $\mathbb {A} _{K}.$ $\mathbb {A} _{K}$ $I_{K}^{1}$ $I_{K}$ $I_{K}^{1}.$

Формула продукта Артина. для всех

|k|=1

k\in K^{\times }.

Доказательство. ^[19] Доказывается формула для числовых полей, случай глобальных функциональных полей доказывается аналогично. Пусть будет числовое поле, и мы должны показать: $K$ $a\in K^{\times }.$

\prod _{v}|a|_{v}=1.

Для конечного места, для которого соответствующий простой идеал не делится, мы имеем, и, следовательно, это верно почти для всех, которые у нас есть: $v$ ${\mathfrak {p}}_{v}$ $(a)$ $v(a)=0$ $|a|_{v}=1.$ ${\mathfrak {p}}_{v}.$

{\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}

При переходе от строки 1 к строке 2 мы использовали тождество, где - место и это место лежания выше. Переходя от строки 2 к строке 3, мы используем свойство нормы. Отметим, что норма находится внутри, поэтому без ограничения общности мы можем предположить, что Then обладает уникальной целочисленной факторизацией : $|a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},$ $v$ $K$ $w$ $L,$ $v.$ $\mathbb {Q}$ $a\in \mathbb {Q} .$ $a$

a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},

где есть почти все By теоремы Островской все абсолютные значения на эквивалентны реальную абсолютную величину или -адическое абсолютное значение. Следовательно: $v_{p}\in \mathbb {Z}$ $0$ $p.$ $\mathbb {Q}$ $|\cdot |_{\infty }$ $p$

{\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}

Лемма. ^[20] Существует константа, зависящая только от такой, что для каждого удовлетворения существует такая, что для всех

C,

K,

\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}

\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,

\beta \in K^{\times }

|\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}

v.

Следствие. Позвольте быть место и позвольте быть дано для всех со свойством для почти всех Тогда существует так, что для всех

v_{0}

K

\delta _{v}>0

v\neq v_{0}

\delta _{v}=1

v.

\beta \in K^{\times },

|\beta |\leq \delta _{v}

v\neq v_{0}.

Доказательство. Позвольте быть константа из леммы. Пусть униформизирующий элемент Определить Adele через с минимальным, так что для всех Тогда для почти всех Определить с тем чтобы это работает, потому что для почти всех По лемме существует так , что для всех $C$ $\pi _{v}$ $O_{v}.$ $\alpha =(\alpha _{v})_{v}$ $\alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}$ $k_{v}\in \mathbb {Z}$ $|\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}$ $v\neq v_{0}.$ $k_{v}=0$ $v.$ $\alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}$ $k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,$ $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.$ $k_{v}=0$ $v.$ $\beta \in K^{\times },$ $|\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}$ $v\neq v_{0}.$

Теорема. дискретна и компактна в

K^{\times }

I_{K}^{1}.

Доказательство. ^[21] Поскольку дискретно в, оно также дискретно в Чтобы доказать компактность let является константой леммы и предположим, что удовлетворение дано. Определять: $K^{\times }$ $I_{K}$ $I_{K}^{1}.$ $I_{K}^{1}/K^{\times }$ $C$ $\alpha \in \mathbb {A} _{K}$ $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C$

W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.

Ясно , компактно. Мы утверждаем, что естественная проекция сюръективна. Пусть будет произвольно, тогда: $W_{\alpha }$ $W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }$ $\beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}$

|\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,

и поэтому

\prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.

Это следует из того

\prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.

По лемме существует такое, что для всех и, следовательно, доказывается сюръективность естественной проекции. Поскольку он также непрерывен, следует компактность. $\eta \in K^{\times }$ $|\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}$ $v,$ $\eta \beta \in W_{\alpha }$

Теорема. ^[22] Существует канонический изоморфизм. Кроме того, это набор представителей для и является набором представителей для

I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.

{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}

I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }

{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }

I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.

Доказательство. Рассмотрим карту

{\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}

Это отображение корректно определено, поскольку для всех и, следовательно, очевидно, является непрерывным гомоморфизмом групп. Теперь предположим, что тогда существует такое, что, рассматривая бесконечное место, мы видим доказательство инъективности. Чтобы показать сюръективность, позвольте Абсолютное значение этого элемента, и поэтому $|a_{p}|_{p}=1$ $p$ $\textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.$ $\phi$ $((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.$ $q\in \mathbb {Q} ^{\times }$ $((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).$ $q=1$ $((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.$ $1$

|\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .

Отсюда и имеем: $\beta _{\infty }\in \mathbb {Q}$

((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.

С

\forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,

заключаем сюръективно. $\phi$

Теорема. ^[23] Функция абсолютного значения индуцирует следующие изоморфизмы топологических групп:

{\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}

Доказательство. Изоморфизмы задаются:

{\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}

Связь между идеальной группой классов и идеальной группой классов [ править ]

Теорема. Пусть - числовое поле с кольцом целых чисел, группой дробных идеалов и группой классов идеалов. Имеются следующие изоморфизмы

K

O,

J_{K},

\operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.

{\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}

где мы определили

C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }.

Доказательство. Позвольте быть конечным местом и пусть быть представителем класса эквивалентности Определите $v$ $K$ $|\cdot |_{v}$ $v.$

{\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.

Тогда это простой идеал в . Отображение - это биекция между конечными местами и ненулевыми простыми идеалами в . Обратный задается следующим образом: простой идеал отображается в оценку, заданную ${\mathfrak {p}}_{v}$ $O.$ $v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}$ $K$ $O.$ ${\mathfrak {p}}$ $v_{\mathfrak {p}},$

{\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}

Следующая карта четко определена:

{\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}

Очевидно, что отображение является сюръективным гомоморфизмом, и первый изоморфизм следует из основной теоремы о гомоморфизме . Теперь мы разделим обе стороны на Это возможно, потому что $(\cdot )$ $\ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.$ $K^{\times }.$

{\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}

Обратите внимание на неправильное использование обозначений: слева в строке 1 этой цепочки уравнений стоит карта, определенная выше. Позже мы используем вложение в строку 2, мы используем определение карты. Наконец, мы используем дедекиндовую область, и поэтому каждый идеал может быть записан как произведение простых идеалов. Другими словами, отображение является -эквивариантным групповым гомоморфизмом. Как следствие, указанное выше отображение индуцирует сюръективный гомоморфизм $(\cdot )$ $K^{\times }$ $I_{K,{\text{fin}}}.$ $O$ $(\cdot )$ $K^{\times }$

{\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}

Чтобы доказать второй изоморфизм, мы должны показать Рассмотрим Тогда, потому что для всех С другой стороны, рассмотреть с которым позволяет писать Как следствие, существует представитель, такой что: Следовательно, и, следовательно, мы доказали второй изоморфизм теоремы . $\ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.$ $\xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.$ $\textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },$ $v(\xi _{v})=0$ $v.$ $\xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}$ $\phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },$ $\textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.$ $\textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.$ $\xi '\in {\widehat {O}}^{\times }$ $\xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.$

Для последнего изоморфизма отметьте, что индуцирует сюръективный групповой гомоморфизм с $\phi$ ${\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}$

\ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.

Замечание. Рассмотрим идеальную топологию и снабдим дискретной топологией. Поскольку открыто для каждого непрерывно. Стоит, что открыто, где так, чтобы $I_{K,{\text{fin}}}$ $J_{K},$ $(\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}$ ${\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )$ $(\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }$ $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},$ $\textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.$

Разложение и $I_{K}$ $C_{K}$ [ править ]

Теорема.

{\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}

Доказательство. Для каждого места из так , что для всех принадлежит к подгруппе порождено Поэтому для каждого в подгруппе порожденного Поэтому образом гомоморфизма является дискретной подгруппой , порожденным Поскольку эта группа является нетривиальной, оно порождается для некоторых Выберите так, чтобы тогда было прямое произведение и подгруппа, порожденная этой подгруппой, дискретна и изоморфна $\operatorname {char} (K)=p>0.$ $v$ $K,\operatorname {char} (K_{v})=p,$ $x\in K_{v}^{\times },$ $|x|_{v}$ $\mathbb {R} _{+},$ $p.$ $z\in I_{K},$ $|z|$ $\mathbb {R} _{+},$ $p.$ $z\mapsto |z|$ $\mathbb {R} _{+},$ $p.$ $Q=p^{m}$ $m\in \mathbb {N} .$ $z_{1}\in I_{K},$ $|z_{1}|=Q,$ $I_{K}$ $I_{K}^{1}$ $z_{1}.$ $\mathbb {Z} .$

$\operatorname {char} (K)=0.$ Для определения: $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$

z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}

Карта является изоморфизмом в замкнутых подгруппах в и изоморфизме задаются умножением: $\lambda \mapsto z(\lambda )$ $\mathbb {R} _{+}$ $M$ $I_{K}$ $I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.$

{\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}

Очевидно, является гомоморфизмом. Чтобы показать, что это инъективно, пусть Так как это означает, что для Более того, он существует так, что для Следовательно, для Более того, подразумевает где - количество бесконечных мест в Как следствие и, следовательно, является инъективным. Чтобы показать сюръективность, позвольте Мы определяем и, более того, мы определяем для и для Определить. Это означает, что Следовательно, является сюръективным. $\phi$ $(\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.$ $\alpha _{v}=1$ $v<\infty ,$ $\beta _{v}=1$ $v<\infty .$ $\lambda \in \mathbb {R} _{+},$ $\alpha _{v}=\lambda$ $v|\infty .$ $\beta _{v}=\lambda ^{-1}$ $v|\infty .$ $\textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,$ $\lambda ^{n}=1,$ $n$ $K.$ $\lambda =1$ $\phi$ $\gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.$ $\lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}$ $\alpha _{v}=1$ $v<\infty$ $\alpha _{v}=\lambda$ $v|\infty .$ $\textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.$ $\textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.$ $\phi$

Остальные уравнения следуют аналогично.

Характеристика группы иделей [ править ]

Теорема. ^[24] Позвольте быть числовое поле. Существует конечный набор таких мест , что:

K

S,

I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.

Доказательство. Число классов числового поля конечно, поэтому пусть будут идеалы, представляющие классы в этих идеалах, порожденные конечным числом простых идеалов. Позвольте быть конечным множеством мест, содержащих и конечных мест, соответствующих Рассмотрим изоморфизм: ${\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}$ $\operatorname {Cl} _{K}.$ ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.$ $S$ $P_{\infty }$ ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.$

I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},

индуцированный

(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.

В бесконечных местах утверждение очевидно, поэтому мы докажем утверждение для конечных точек. Включение ″ ″ очевидно. Пусть Соответствующий идеал принадлежит к классу значения для главного идеала идель сопоставлена идеала при отображении Это означает Поскольку простые идеалы в в следует за все это означает , что для всех Из этого следует, что , следовательно , $\supset$ $\alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.$ $\textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}$ ${\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },$ $(\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)$ $(a).$ $\alpha '=\alpha a^{-1}$ ${\mathfrak {a}}_{i}$ $I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.$ $\textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.$ ${\mathfrak {a}}_{i}$ $S,$ $v(\alpha '_{v})=0$ $v\notin S,$ $\alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }$ $v\notin S.$ $\alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},$ $\alpha \in I_{K,S}K^{\times }.$

Приложения [ править ]

Конечность номера класса числового поля [ править ]

В предыдущем разделе мы использовали тот факт, что номер класса числового поля конечен. Здесь мы хотели бы доказать это утверждение:

Теорема (конечность числа классов числового поля). Позвольте быть числовое поле. Затем

K

|\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .

Доказательство. Карта

{\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}

сюръективен и, следовательно, является непрерывным образом компакта Таким образом, компактно. Вдобавок он дискретен и так конечен. $\operatorname {Cl} _{K}$ $I_{K}^{1}/K^{\times }.$ $\operatorname {Cl} _{K}$

Замечание. Аналогичный результат имеется и для случая глобального функционального поля. В этом случае определяется так называемая группа дивизоров. Можно показать, что фактормножества всех делителей степени по множеству главных делителей является конечная группа. ^[25] $0$

Группа единиц и теорема Дирихле о единицах [ править ]

Позвольте быть конечным набором мест. Определять $P\supset P_{\infty }$

{\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}

Тогда является подгруппой, содержащей все элементы, удовлетворяющие для всех Поскольку дискретна в является дискретной подгруппой и с тем же аргументом, дискретна в $E(P)$ $K^{\times },$ $\xi \in K^{\times }$ $v(\xi )=0$ $v\notin P.$ $K^{\times }$ $I_{K},$ $E(P)$ $\Omega (P)$ $E(P)$ $\Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.$

Альтернативное определение: где - подкольцо, определяемое $E(P)=K(P)^{\times },$ $K(P)$ $K$

K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).

Как следствие, содержит все элементы, которые выполняются для всех $K(P)$ $\xi \in K,$ $v(\xi )\geq 0$ $v\notin P.$

Лемма 1. Пусть следующее множество конечно:

0<c\leq C<\infty .

\left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.

Доказательство. Определять

W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.

$W$ компактно, и описанное выше множество является пересечением с дискретной подгруппой в и, следовательно, конечно. $W$ $K^{\times }$ $I_{K}$

Лемма 2. Пусть будет множество всех таких, что для всех Тогда группа всех корней из единицы В частности, она конечна и циклична.

E

\xi \in K

|\xi |_{v}=1

v.

E=\mu (K),

K.

Доказательство. Все корни из единицы имеют абсолютное значение, так что, напротив, заметим, что лемма 1 с и любым подразумевает конечна. Более того, для каждого конечного множества мест. Наконец, предположим, что существует корень, не являющийся корнем из единицы Тогда для всех, противоречащих конечности $K$ $1$ $\mu (K)\subset E.$ $c=C=1$ $P$ $E$ $E\subset E(P)$ $P\supset P_{\infty }.$ $\xi \in E,$ $K.$ $\xi ^{n}\neq 1$ $n\in \mathbb {N}$ $E.$

Теорема о единицах. является прямым произведением группы и группы, изоморфной где if и if ^[26]

E(P)

E

\mathbb {Z} ^{s},

s=0,

P=\emptyset

s=|P|-1,

P\neq \emptyset .

Теорема Дирихле о единицах. Позвольте быть числовое поле. Тогда , где есть конечная циклическая группа всех корней из единицы является число вещественных вложений и этого число сопряженных пар комплексных вложений Это означает, что

K

O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},

\mu (K)

K,r

K

s

K.

[K:\mathbb {Q} ]=r+2s.

Замечание. Теорема о единицах является обобщением теоремы Дирихле о единицах. Чтобы увидеть это, позвольте быть числовым полем. Мы уже знаем этот набор и заметку. Тогда у нас есть: $K$ $E=\mu (K),$ $P=P_{\infty }$ $|P_{\infty }|=r+s.$

{\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}

Аппроксимационные теоремы [ править ]

Теорема о слабой аппроксимации. ^[27] Позвольте быть неэквивалентными оценками Пусть будет пополнение относительно Embed диагонально в Then всюду плотно в Другими словами, для каждого и для каждого существует такое, что:

|\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},

K.

K_{n}

K

|\cdot |_{n}.

K

K_{1}\times \cdots \times K_{N}.

K

K_{1}\times \cdots \times K_{N}.

\varepsilon >0

(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},

\xi \in K,

\forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .

Теорема о сильной аппроксимации. ^[28] Пусть будет место Определить

v_{0}

K.

V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.

Тогда плотно в

K

V.

Замечание. Глобальное поле дискретно в своем кольце аделей. Теорема сильной аппроксимации говорит нам, что, если мы опускаем одно место (или более), свойство дискретности превращается в плотность $K$ $K.$

Принцип Хассе [ править ]

Теорема Хассе-Минковского. Квадратичная формаравна нулю, если и только если квадратичная форма равна нулю в каждом пополнении

K

K_{v}.

Замечание. Это принцип Хассе для квадратичных форм. Для многочленов степени больше 2 принцип Хассе в общем случае не работает. Идея принципа Хассе (также известного как локально-глобальный принцип) состоит в том, чтобы решить данную проблему числового поля , выполняя это в ее дополнениях и затем заключая решение в $K$ $K_{v}$ $K.$

Персонажи на кольце аделей [ править ]

Определение. Пусть - локально компактная абелева группа. Группа характеров является набором всех характеров и обозначается как Эквивалентно - это множество всех непрерывных гомоморфизмов групп из в Мы снабжаем топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах в One, можно показать, что это также локально компактная абелева группа. $G$ $G$ $G$ ${\widehat {G}}.$ ${\widehat {G}}$ $G$ $\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$ ${\widehat {G}}$ $G.$ ${\widehat {G}}$

Теорема. Кольцо аделей самодуальное:

\mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.

Доказательство. Приведением к локальным координатам достаточно показать, что каждая из них самодуальна. Это можно сделать, используя фиксированный символ. Мы проиллюстрируем эту идею, показав самодвойственность. Определять: $K_{v}$ $K_{v}.$ $\mathbb {R}$

{\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}

Тогда следующее отображение является изоморфизмом, учитывающим топологии:

{\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}

Теорема (алгебраические и непрерывные двойственные кольца аделей). ^[29] Позвольте быть нетривиальным характером, который тривиален на Позвольте быть конечномерным векторным пространством над Позвольте и быть алгебраическими двойниками и Обозначим топологический двойственный к by и использовать и для обозначения естественных билинейных пар на и Тогда формула для всех определяет изоморфизм из на котором и Более того, если отрабатывает для всех , то

\chi

\mathbb {A} _{K},

K.

E

K.

E^{\star }

\mathbb {A} _{E}^{\star }

E

\mathbb {A} _{E}.

\mathbb {A} _{E}

\mathbb {A} _{E}'

\langle \cdot ,\cdot \rangle

[{\cdot },{\cdot }]

\mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'

\mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.

\langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])

e\in \mathbb {A} _{E}

e^{\star }\mapsto e'

\mathbb {A} _{E}^{\star }

\mathbb {A} _{E}',

e'\in \mathbb {A} _{E}'

e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.

e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }

\chi ([e,e^{\star }])=1

e\in E,

e^{\star }\in E^{\star }.

Тезис Тейта [ править ]

С помощью символов мы можем провести анализ Фурье кольца аделей. ^[30] Джон Тейт в своей диссертации «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Геккеса» ^[4] доказал результаты о L-функциях Дирихле, используя анализ Фурье на кольце аделей и группе иделей. Поэтому кольцо аделей и группа иделей были применены для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций. Мы можем определить адельные формы этих функций и представить их в виде интегралов по кольцу аделей или группе иделей относительно соответствующих мер Хаара. Мы можем показать функциональные уравнения и мероморфные продолжения этих функций. Например, для всех с $\mathbb {A} _{K},$ $s\in \mathbb {C}$ $\Re (s)>1,$

\int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),

где - единственная мера Хаара на нормированной такой, что имеет объем один и продолжается нулем на конечное кольцо аделей. В результате дзета-функция Римана может быть записана как интеграл по (подмножеству) кольца аделей. ^[31] $d^{\times }x$ $I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ ${\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }$

Автоморфные формы [ править ]

Теория автоморфных форм является обобщением тезиса Тейта путем замены группы иделей аналогичными группами более высокой размерности. Чтобы увидеть эту заметку:

{\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}

Основываясь на этой идентификации, естественным обобщением будет замена группы иделей и 1-иделей на:

{\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}

И наконец

\mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),

где - центр. Тогда мы определяем автоморфную форму как элемент. Другими словами, автоморфная форма - это функции, удовлетворяющие определенным алгебраическим и аналитическим условиям. Для изучения автоморфных форм важно знать представления группы. Также можно изучать автоморфные L-функции, которые можно описать как интегралы по ^[32] $Z_{\mathbb {R} }$ $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).$ $L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).$ $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })$ $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).$ $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).$

Мы могли бы обобщить еще больше, заменив числовым полем и произвольной редуктивной алгебраической группой. $\mathbb {Q}$ $\operatorname {GL} (2)$

Дальнейшие приложения [ править ]

Обобщение закона взаимности Артина приводит к связи представлений и представлений Галуа (программа Ленглендса). $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})$ $K$

Группа классов иделей является ключевым объектом теории полей классов , которая описывает абелевы расширения поля. Произведение локальных отображений взаимности в локальной теории полей классов дает гомоморфизм группы иделей группе Галуа максимального абелевого расширения глобального поля. Закон взаимности Артина , который является высокоуровневым обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса, гласит, что произведение обращается в нуль на мультипликативной группе числового поля. Таким образом, мы получаем глобальное отображение взаимности группы классов идеелей в абелеву часть абсолютной группы Галуа поля.

Из самодуальности кольца аделей функционального поля кривой над конечным полем легко следует теорема Римана – Роха и теория двойственности для кривой.

Заметки [ править ]

Какую проблему решают адели?
Несколько хороших книг об аделах

Ссылки [ править ]

^ Groechenig, Майкл (август 2017). «Теория адельского происхождения». Compositio Mathematica . 153 (8): 1706–1746. arXiv : 1511.06271 . DOI : 10.1112 / S0010437X17007217 . ISSN 0010-437X .
^ Теория геометрического поля класса, примечания Тони Фенга к лекции Бхаргава Бхатта (PDF) .
^ Теорема Вейля об униформизации, статья nlab.
^ а б Кассель и Фрёлих 1967 .
^ Вычеты дифференциалов на кривых (PDF) .
^ Это доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 64.
^ Определения основаны на Weil 1967 , стр. 60.
^ См. Weil 1967 , стр. 64 или Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 74.
^ Для доказательства см. Deitmar 2010 , стр. 124, теорема 5.2.1.
^ См. Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 64, теорема, или Вейль 1967 , стр. 64, теорема 2.
↑ Следующее утверждение можно найти в Neukirch 2007 , p. 383.
^ См. Deitmar 2010 , стр. 126, теорема 5.2.2 для рационального случая.
^ Этот раздел основан на Weil 1967 , p. 71.
^ Доказательство этого утверждения можно найти в Weil 1967 , p. 71.
^ Доказательство этого утверждения можно найти в Weil 1967 , p. 72.
^ Для доказательства см. Neukirch 2007 , p. 388.
^ Это утверждение можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , p. 69.
^ также используется для набора-idele, но мы будем использовать. $\mathbb {A} _{K}^{1}$ $1$ $I_{K}^{1}$
^ Есть много доказательств этого результата. Показанное ниже основано на Neukirch 2007 , p. 195.
^ Для доказательства см. Cassels & Fröhlich 1967 , p. 66.
^ Это доказательство можно найти в Weil 1967 , p. 76 или в Cassels & Fröhlich 1967 , p. 70.
^ Часть теоремы 5.3.3 в Deitmar 2010 .
^ Часть теоремы 5.3.3 в Deitmar 2010 .
^ Общее доказательство этой теоремы для любого глобального поля дано в Weil 1967 , p. 77.
^ Для получения дополнительной информации см. Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 71.
^ Доказательство можно найти в Weil 1967 , стр. 78 или в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 72.
^ Доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 48.
^ Доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 67
^ Доказательство можно найти в Weil 1967 , стр. 66.
^ Подробнее см. Deitmar 2010 , стр. 129.
^ Доказательство можно найти в Deitmar 2010 , p. 128, теорема 5.3.4. См. Также стр. 139 для получения дополнительной информации о диссертации Тейта.
^ Для получения дополнительной информации см. Главы 7 и 8 в Deitmar 2010 .

Источники [ править ]

Касселс, Джон ; Фрёлих, Альбрехт (1967). Алгебраическая теория чисел: материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) . XVIII . Лондон: Academic Press. ISBN 978-0-12-163251-9.CS1 maint: ref=harv (link) 366 страниц.
Нойкирх, Юрген (2007). Algebraische Zahlentheorie, unveränd. nachdruck der 1. aufl. edn (на немецком языке). XIII . Берлин: Springer. ISBN 9783540375470.CS1 maint: ref=harv (link) 595 страниц.
Вайль, Андре (1967). Основы теории чисел . XVIII . Берлин; Гейдельберг; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-662-00048-9.CS1 maint: ref=harv (link) 294 страницы.
Дейтмар, Антон (2010). Автоморф Формен (на немецком языке). VIII . Берлин; Гейдельберг (укр.): Springer. ISBN 978-3-642-12389-4.CS1 maint: ref=harv (link) 250 страниц.
Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел, Тексты для выпускников по математике 110 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.CS1 maint: ref=harv (link)

[1] Groechenig, Майкл (август 2017). «Теория адельского происхождения». Compositio Mathematica . 153 (8): 1706–1746. arXiv : 1511.06271 . DOI : 10.1112 / S0010437X17007217 . ISSN 0010-437X .

[2] Теория геометрического поля класса, примечания Тони Фенга к лекции Бхаргава Бхатта (PDF) .

[3] Теорема Вейля об униформизации, статья nlab.

[FOOTNOTECasselsFröhlich1967-4] а б Кассель и Фрёлих 1967 .

[5] Вычеты дифференциалов на кривых (PDF) .

[6] Это доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 64.

[7] Определения основаны на Weil 1967 , стр. 60.

[8] См. Weil 1967 , стр. 64 или Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 74.

[9] Для доказательства см. Deitmar 2010 , стр. 124, теорема 5.2.1.

[10] См. Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 64, теорема, или Вейль 1967 , стр. 64, теорема 2.

[11] Следующее утверждение можно найти в Neukirch 2007 , p. 383.

[12] См. Deitmar 2010 , стр. 126, теорема 5.2.2 для рационального случая.

[13] Этот раздел основан на Weil 1967 , p. 71.

[14] Доказательство этого утверждения можно найти в Weil 1967 , p. 71.

[15] Доказательство этого утверждения можно найти в Weil 1967 , p. 72.

[16] Для доказательства см. Neukirch 2007 , p. 388.

[17] Это утверждение можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , p. 69.

[18] также используется для набора-idele, но мы будем использовать. $\mathbb {A} _{K}^{1}$ $1$ $I_{K}^{1}$

[19] Есть много доказательств этого результата. Показанное ниже основано на Neukirch 2007 , p. 195.

[20] Для доказательства см. Cassels & Fröhlich 1967 , p. 66.

[21] Это доказательство можно найти в Weil 1967 , p. 76 или в Cassels & Fröhlich 1967 , p. 70.

[22] Часть теоремы 5.3.3 в Deitmar 2010 .

[23] Часть теоремы 5.3.3 в Deitmar 2010 .

[24] Общее доказательство этой теоремы для любого глобального поля дано в Weil 1967 , p. 77.

[25] Для получения дополнительной информации см. Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 71.

[26] Доказательство можно найти в Weil 1967 , стр. 78 или в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 72.

[27] Доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 48.

[28] Доказательство можно найти в Cassels & Fröhlich 1967 , стр. 67

[29] Доказательство можно найти в Weil 1967 , стр. 66.

[30] Подробнее см. Deitmar 2010 , стр. 129.

[31] Доказательство можно найти в Deitmar 2010 , p. 128, теорема 5.3.4. См. Также стр. 139 для получения дополнительной информации о диссертации Тейта.

[32] Для получения дополнительной информации см. Главы 7 и 8 в Deitmar 2010 .

[1]

Кольцо Adele

Определение [ править ]

Мотивация [ править ]

Почему ограниченный продукт? [ редактировать ]

Происхождение названия [ править ]

Примеры [ править ]

Кольцо аделей для рациональных чисел [ править ]

Кольцо аделей для функционального поля проективной прямой [ править ]

Связанные понятия [ править ]

Приложения [ править ]

Заявление о взаимности Артина [ править ]

Приведение адельной формулировки пикардовой группы кривой [ править ]

Тезис Тейта [ править ]

Доказательство двойственности Серра на гладкой кривой [ править ]

Обозначения и основные определения [ править ]

Глобальные поля [ править ]

Оценки [ править ]

Конечные расширения [ править ]

Кольцо аделей [ править ]

Кольцо аделей рациональных существ [ править ]

Альтернативное определение числовых полей [ править ]

Кольцо аделей конечного расширения [ править ]

Кольцо аделей векторных пространств и алгебр [ править ]

Кольцо аделей векторного пространства [ править ]

Кольцо аделей алгебры [ править ]

След и норма на кольце аделей [ править ]

Свойства кольца аделей [ править ]

Мера Хаара на кольце аделей [ править ]

Группа иделей [ править ]

Группа иделей конечного расширения [ править ]

Случай векторных пространств и алгебр [ править ]

Группа иделей алгебры [ править ]

Альтернативная характеристика группы иделей [ править ]

Норма о группе иделей [ править ]

Группа классов "Иделе" [ править ]

Свойства группы иделей [ править ]

Абсолютное значение на and -idele I K {\displaystyle I_{K}} 1 {\displaystyle 1} [ править ]

Связь между идеальной группой классов и идеальной группой классов [ править ]

Разложение и I K {\displaystyle I_{K}} C K {\displaystyle C_{K}} [ править ]

Характеристика группы иделей [ править ]

Приложения [ править ]

Конечность номера класса числового поля [ править ]

Группа единиц и теорема Дирихле о единицах [ править ]

Аппроксимационные теоремы [ править ]

Принцип Хассе [ править ]

Персонажи на кольце аделей [ править ]

Тезис Тейта [ править ]

Автоморфные формы [ править ]

Дальнейшие приложения [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Абсолютное значение на and -idele $I_{K}$ $1$ [ править ]

Разложение и $I_{K}$ $C_{K}$ [ править ]