В математике гензелево кольцо (или кольцо Гензеля ) - это локальное кольцо, в котором выполняется лемма Гензеля . Их представила Адзумая (1951) , назвавшая их в честь Курта Хенселя . Изначально Адзумая разрешила гензелевы кольца быть некоммутативными, но теперь большинство авторов ограничивают их коммутативностью.
Некоторые стандартные ссылки на кольца Хензеля: ( Nagata 1962 , глава VII) , ( Raynaud 1970 ) и ( Grothendieck 1967 , глава 18).
Определения
В этой статье предполагается, что кольца коммутативны, хотя существует также теория некоммутативных гензелевых колец.
Локальное кольцо R с максимальным идеалом m называется гензелевым, если выполняется лемма Гензеля. Это означает, что если P - монический многочлен в R [ x ], то любую факторизацию его образа P в ( R / m ) [ x ] в произведение взаимно простых монических многочленов можно поднять до факторизации в R [ x ].
Локальное кольцо является гензелевым тогда и только тогда, когда каждое конечное расширение кольца является произведением локальных колец.
Гензелево локальное кольцо называется строго гензелево , если его поле вычетов является разъемно закрыты .
Поле с оценкой называется гензелевым, если его оценочное кольцо гензелево.
Кольцо называется гензелевым, если оно является прямым произведением конечного числа локальных гензелевых колец.
Гензелевы кольца в алгебраической геометрии
Гензелевы кольца являются локальными кольцами «точек» относительно топологии Нисневича , поэтому спектры этих колец не допускают нетривиальных связных покрытий относительно топологии Нисневича. Точно так же строгие гензелевы кольца являются локальными кольцами геометрических точек в этальной топологии .
Хенселизация
Для любого локального кольца А существует универсальное гензелево кольцо В , порожденной А , называется гензелизацией из А , введенный Нагатых (1953) , таким образом, что любой локальный гомоморфизм из А в гензелевое кольцо может быть расширен , чтобы однозначно B . Хензелизация A единственна с точностью до единственного изоморфизма. Гензелизация А является алгебраической заменой для завершения A . Гензелизация А имеет такое же завершение и поле вычетов как A и представляет собой плоский модуль над A . Если A нетерова, редуцированная, нормальная, правильная или превосходная, то такова ее хенселизация. Например, гензелизация кольца многочленов k [ x , y , ...], локализованных в точке (0,0, ...), есть кольцо алгебраических формальных степенных рядов (формальных степенных рядов, удовлетворяющих алгебраическому уравнению ). Это можно рассматривать как «алгебраическую» часть завершения.
Точно так же существует строго гензелево кольцо , порожденное А , называется строгая гензелизацией из A . Строгая хенселизация не совсем универсальна: она единственна, но только с точностью до неединственного изоморфизма. Точнее, это зависит от выбора сепарабельного алгебраического замыкания поля вычетов A , и автоморфизмы этого сепарабельного алгебраического замыкания соответствуют автоморфизмам соответствующей строгой хенселизации. Например, строгая гензелизация поля p -адических чисел задается максимальным неразветвленным расширением, порожденным всеми корнями из единицы порядка, простого с p . Он не универсален, поскольку имеет нетривиальные автоморфизмы.
Примеры
- Каждое поле является гензелевым локальным кольцом.
- Полные локальные кольца Хаусдорфа , такие как кольцо целых p-адических чисел и кольца формальных степенных рядов над полем, являются гензелевыми.
- Кольца сходящихся степенных рядов по действительным или комплексным числам являются гензелевыми.
- Кольца алгебраических степенных рядов над полем гензелевы.
- Локальное кольцо, целое над гензелевым кольцом, является гензелевым.
- Хензелизация локального кольца - это хензелево локальное кольцо.
- Каждый фактор гензелевского кольца является гензелевым.
- Кольцо A является гензелевым тогда и только тогда, когда ассоциированное редуцированное кольцо A red является гензелевым (это фактор A по идеалу нильпотентных элементов ).
- Если A имеет только один первичный идеал, то он гензелев, поскольку A красный - поле.
Рекомендации
- Адзумая, Горо (1951), "О максимально центральных алгебрах". , Нагоя математический журнал , 2 : 119-150, DOI : 10,1017 / s0027763000010114 , ISSN 0027-7630 , МР 0040287
- Данилов В.И. (2001) [1994], "Кольцо Гензеля" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Гротендик, Александр (1967), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Quatrième PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 32 : 5-361 , DOI : 10.1007 / BF02732123
- Курке, H .; Pfister, G .; Roczen, M. (1975), Henselsche Ringe und algebraische Geometrie , Mathematische Monographien, II , Берлин: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , MR 0491694
- Нагаты, Масайоси (1953), "К теории гензелевых колец" , Нагоя математический журнал , 5 : 45-57, DOI : 10,1017 / s0027763000015439 , ISSN 0027-7630 , МР 0051821
- Нагаты, Масаеси (1954), "К теории гензелевых колец II." , Nagoya математический журнал , 7 : 1-19, DOI : 10,1017 / s002776300001802x , ISSN 0027-7630 , MR 0067865
- Нагата, Масаёши (1959), «К теории гензелевых колец. III» , Мемуары Колледжа наук Университета Киото. Серия А: Математика , 32 : 93-101, DOI : 10,1215 / KJM / 1250776700 , МР 0109835
- Нагата, Масаёши (1975) [1962], Местные кольца , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13 (перепечатано под ред.), Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, стр. Xiii + 234, ISBN 978-0-88275-228-0, Руководство по ремонту 0155856
- Рейно, Мишель (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes по математике, 169 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. V + 129, doi : 10.1007 / BFb0069571 , ISBN 978-3-540-05283-8, MR 0277519