Уменьшенное кольцо

В теории колец , А кольцо R называется приведенное кольцо , если оно не имеет ненулевых нильпотентных элементов. Эквивалентно, кольцо сокращается, если оно не имеет ненулевых элементов с нулевым квадратом, то есть x ² = 0 влечет x = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется редуцированной алгеброй, если ее основное кольцо сокращено.

В нильпотентных элементах коммутативного кольца R образуют идеальный из R , называется нильрадикалом из R ; поэтому коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Более того, коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, равен нулю.

Фактор - кольцо R / I уменьшается , если и только если я являюсь радикальным идеалом .

Пусть D множество всех делителей нуля в уменьшенном кольце R . Тогда D - это объединение всех минимальных простых идеалов . ^[1]

Над нётеров кольцо R , мы говорим , конечно порожденный модуль М имеет локально постоянный ранг , если локально постоянная (или , что эквивалентно непрерывная) функция на Spec R . Тогда R редуцируется тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль локально постоянного ранга проективен . ^[2] ${\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))$

Примеры и не примеры [ править ]

Подкольца , произведения и локализации редуцированных колец снова являются редуцированными кольцами.
Кольцо целых чисел Z редуцированное кольцо. Каждое поле и каждое кольцо многочленов над полем (от произвольного числа переменных) является редуцированным кольцом.
В более общем смысле, каждая область целостности является редуцированным кольцом, поскольку нильпотентный элемент заведомо является делителем нуля . С другой стороны, не всякое редуцированное кольцо является областью целостности. Например, кольцо Z [ x , y ] / ( xy ) содержит x + (xy) и y + (xy) в качестве делителей нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов. В качестве другого примера, кольцо Z × Z содержит (1,0) и (0,1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов.
Кольцо Z / 6 Z сокращается, однако Z / 4 Z не сокращается: класс 2 + 4 Z нильпотентен. В общем, Z / n Z уменьшается тогда и только тогда, когда n = 0 или n является целым числом без квадратов .
Если R является коммутативным кольцом и N является нильрадикалом из R , то фактор - кольцо R / N уменьшается.
Коммутативное кольцо R от характерного р для некоторого простого числа р уменьшается , если и только если его эндоморфизм Фробениуса является инъективен . (ср. идеальное поле .)

Обобщения [ править ]

Приведенные кольца играют элементарную роль в алгебраической геометрии , где это понятие обобщается до понятия редуцированной схемы .

См. Также [ править ]

Полное кольцо частных # Полное кольцо дробей редуцированного кольца

Заметки [ править ]

^ Доказательство: пустьбудут все (возможно нулевые) минимальные простые идеалы. ${\mathfrak {p}}_{i}$
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ Пусть х будет в D . Тогда xy = 0 для некоторого ненулевого y . Поскольку R сокращено, (0) является пересечением всех и, следовательно, y не входит в некоторые . Поскольку ху есть во всех ; в частности, in , x находится в . ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{j}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$
$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ (украдено у Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Опускаем индекс i . Пусть . S мультипликативно замкнута, поэтому мы можем рассматривать локализацию . Позвольте быть прообраз максимального идеала. Тогда содержится в обоих D и и минимальности . (Это направление является немедленным, если R нётерово по теории ассоциированных простых чисел .) $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ $R\to R[S^{-1}]$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$
^ Эйзенбуд , Упражнение 20.13.

Ссылки [ править ]

Н. Бурбаки , Коммутативная алгебра , Герман Париж, 1972, гл. II, § 2.7
Н. Бурбаки , Алгебра , Springer 1990, гл. V, § 6.7
Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .

[1] Доказательство: пустьбудут все (возможно нулевые) минимальные простые идеалы. ${\mathfrak {p}}_{i}$
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ Пусть х будет в D . Тогда xy = 0 для некоторого ненулевого y . Поскольку R сокращено, (0) является пересечением всех и, следовательно, y не входит в некоторые . Поскольку ху есть во всех ; в частности, in , x находится в . ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{j}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$
$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ (украдено у Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Опускаем индекс i . Пусть . S мультипликативно замкнута, поэтому мы можем рассматривать локализацию . Позвольте быть прообраз максимального идеала. Тогда содержится в обоих D и и минимальности . (Это направление является немедленным, если R нётерово по теории ассоциированных простых чисел .) $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ $R\to R[S^{-1}]$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$

[2] Эйзенбуд , Упражнение 20.13.

[1]