В математике , лемма Гензеля , также известная как подъемная лемма Гензеля , названной в честь Курта Hensel , является результатом в модульной арифметике , о том , что если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю простого числа р , то этот корень соответствует уникальному корню то же уравнение по модулю любой более высокой степени p , которое можно найти, итеративно « поднимая » решение по модулю последовательных степеней p . В более общем смысле он используется как общее название аналогов для полных коммутативных колец (включая p-адических полей в частности) метода Ньютона для решения уравнений. Поскольку p -адический анализ в некотором смысле проще реального анализа , существуют относительно точные критерии, гарантирующие корень многочлена.
Заявление
Существует много эквивалентных утверждений леммы Гензеля. Пожалуй, наиболее частым утверждением является следующее.
Общее утверждение
Предполагать - поле, полное относительно нормированной дискретной оценки (значение для у нас есть [1] стр. 121 ). Предположим, кроме того, что кольцо целых чисел (т.е. все элементы с неотрицательной оценкой), пусть быть таким, чтобы и разреши обозначим поле вычетов . Мы могли бы также написать где .
Если
- многочлен с коэффициентами в и сокращение
имеет простой корень (т.е. существует такой, что а также ), то существует единственное такой, что и сокращение в . [2]
Подтверждение с примером
Другой способ [1] стр. 129-131 сформулировать эту лемму состоит в следующем: допускает факторизацию в , так
в
для относительно простых многочленов , то существуют многочлены такой же степени, что
и их мод сокращения дает факторизацию выше. Например, [3] стр. 15-16 , с многочленом, она неприводима в поскольку он не имеет факторизации на относительно простые многочлены. Это потому, что его сокращение просто
В он допускает факторизацию в в виде
где представляет в . Отсюда получаем факторизацию
в .
Альтернативное заявление
Другой способ сформулировать это (в меньшей степени): пусть - многочлен с целыми (или p -адическими целыми) коэффициентами, и пусть m , k - положительные целые числа такие, что m ≤ k . Если r - такое целое число, что
то существует такое целое число s , что
Кроме того, это s уникально по модулю p k + m и может быть вычислено явно как целое число, такое что
где целое число, удовлетворяющее
Обратите внимание, что так что условие встречается. Кроме того, если, тогда может существовать 0, 1 или несколько s (см. Подъемник Hensel ниже).
Вывод
Мы используем разложение Тейлора f вокруг r, чтобы написать:
Из мы видим, что s - r = tp k для некоторого целого t . Позволять
Для у нас есть:
Предположение, что не делится на p гарантирует, что имеет обратный мод который обязательно уникален. Следовательно, решение для t существует однозначно по модулюи s существует однозначно по модулю
Простое заявление
Для , если есть решение из а также (как бывает, например, если не имеет решений), то существует единственный лифт такой, что . Обратите внимание, что с учетом решения где , его проекция на дает решение , поэтому лемма Гензеля дает возможность принимать решения и дать решение в .
Наблюдения
Критерий неприводимых многочленов
Используя приведенные выше предположения, если мы рассмотрим неприводимый многочлен
такой, что , тогда
В частности, для , мы находим в
но , следовательно, многочлен не может быть неприводимым. В то время как ву нас есть оба значения, совпадающие, что означает, что многочлен может быть неприводимым. Чтобы определить неприводимость, необходимо использовать многоугольник Ньютона [1] стр. 144 .
Фробениус
Обратите внимание, что с учетом эндоморфизм Фробениуса дает многочлен который всегда имеет нулевую производную
следовательно, корни p -й степени из не существуют в . Для, Из этого следует не может содержать корень единства .
Корни единства
Хотя -корни из единства не содержатся в , есть решения . Примечание
никогда не равен нулю, поэтому, если решение существует, оно обязательно поднимается до . Потому что Фробениус дает, все ненулевые элементы решения. Фактически, это единственные корни единства, содержащиеся в. [4]
Хензель лифтинг
Используя лемму, можно «поднять» корень r многочлена f по модулю p k до нового корня s по модулю p k +1 , так что r ≡ s mod p k (взяв m = 1; взяв большее m, следует по индукции ). Фактически, корень по модулю p k +1 также является корнем по модулю p k , поэтому корни по модулю p k +1 - это в точности поднятие корней по модулю p k . Новый корень s конгруэнтен r по модулю p , поэтому новый корень также удовлетворяетТаким образом, подъем может быть повторен, и исходя из решения г к измы можем получить последовательность решений r k +1 , r k +2 , ... одного и того же сравнения для последовательно более высоких степеней p , при условии, чтодля начального корня r k . Это также показывает, что f имеет то же количество корней mod p k, что и mod p k +1 , mod p k +2 или любую другую более высокую степень p , при условии, что все корни f mod p k простые.
Что произойдет с этим процессом, если r не является простым корневым модулем p ? Предполагать
потом подразумевает Это, для всех целых t . Таким образом, у нас есть два случая:
- Если то подъем r до корня f ( x ) по модулю p k +1 не происходит .
- Если тогда любое поднятие r до модуля p k +1 является корнем f ( x ) по модулю p k +1 .
Пример. Чтобы увидеть оба случая, рассмотрим два разных многочлена с p = 2:
и r = 1. Тогда а также У нас есть что означает, что никакое поднятие 1 до модуля 4 не является корнем f ( x ) по модулю 4.
и r = 1. Тогда а также Однако, поскольку мы можем поднять наше решение до модуля 4, и оба подъема (т.е. 1, 3) являются решениями. Производная по-прежнему равна 0 по модулю 2, поэтому априори мы не знаем, можем ли мы поднять их до модуля 8, но на самом деле можем, поскольку g (1) равно 0 по модулю 8, а g (3) равно 0 по модулю 8, давая решения в 1, 3, 5 и 7 по модулю 8. Поскольку из них только g (1) и g (7) равны 0 по модулю 16, мы можем поднять только 1 и 7 до модуля 16, давая 1, 7, 9 и 15 mod 16. Из них только 7 и 9 дают g ( x ) = 0 mod 32, поэтому их можно поднять, давая 7, 9, 23 и 25 mod 32. Оказывается, что для любого целого числа k ≥ 3 существует четыре поднятия 1 по модулю 2 до корня из g ( x ) по модулю 2 k .
Лемма Гензеля для p -адических чисел
В p -адических числах, где мы можем понимать рациональные числа по модулю степеней p, пока знаменатель не кратен p , рекурсия от r k (корни по модулю p k ) к r k +1 (корни по модулю p k +1 ) можно выразить гораздо более интуитивно. Вместо того, чтобы выбирать t как (y) целое число, которое решает сравнение
пусть t будет рациональным числом ( p k здесь на самом деле не знаменатель, поскольку f ( r k ) делится на p k ):
Затем установите
Эта дробь может не быть целым числом, но это p -адическое целое число, и последовательность чисел r k сходится в p -адических целых числах к корню из f ( x ) = 0. Более того, отображаемая рекурсивная формула для (новое) число r k +1 в терминах r k - это в точности метод Ньютона для нахождения корней уравнений в действительных числах.
Работая непосредственно в p- адике и используя p -адическое абсолютное значение , можно получить версию леммы Гензеля, которая может быть применена, даже если мы начнем с решения f ( a ) ≡ 0 mod p, такого что Нам просто нужно убедиться, что номер не совсем 0. Эта более общая версия выглядит следующим образом: если существует целое число a, которое удовлетворяет:
то существует единственное целое p -адическое число b такое, что f ( b ) = 0 иПостроение b сводится к тому, чтобы показать, что рекурсия из метода Ньютона с начальным значением a сходится в p- адике, и мы позволяем b быть пределом. Единственность b как корня, удовлетворяющего условию требуется дополнительная работа.
Утверждение леммы Гензеля, приведенное выше (взяв ) является частным случаем этой более общей версии, поскольку условия f ( a ) ≡ 0 mod p и скажи это а также
Примеры
Предположим, что p - нечетное простое число, а a - ненулевой квадратичный вычет по модулю p . Тогда из леммы Гензеля следует, что a имеет квадратный корень в кольце целых p -адических чисел Действительно, пусть Если г является квадратным корнем в по модулю р , то:
где второе условие зависит от того, что p нечетное. Базовая версия леммы Гензеля говорит нам, что, начиная с r 1 = r, мы можем рекурсивно построить последовательность целых чисел такой, что:
Эта последовательность сходится к некоторому целому p -адическому числу b, для которого b 2 = a . Фактически, b - это единственный квадратный корень из a вконгруэнтно r 1 по модулю p . И наоборот, если a - идеальный квадрат ви он не делится на p, то это ненулевой квадратичный вычет по модулю p . Обратите внимание, что квадратичный закон взаимности позволяет легко проверить, является ли a ненулевым квадратичным вычетом по модулю p , таким образом, мы получаем практический способ определить, какие p -адические числа (при нечетном p ) имеют p -адический квадратный корень, и он может распространяется на случай p = 2 с помощью более общей версии леммы Гензеля (ниже приводится пример с 2-адическими квадратными корнями из 17).
Чтобы сделать обсуждение выше более явным, давайте найдем «квадратный корень из 2» (решение ) в 7-адических числах. По модулю 7 одно решение - 3 (мы также можем взять 4), поэтому мы полагаем. Тогда лемма Гензеля позволяет нам найти следующим образом:
На основании чего выражение
превращается в:
что подразумевает Сейчас:
И конечно же, (Если бы мы использовали рекурсию метода Ньютона непосредственно в 7-адиках, то а также )
Мы можем продолжить и найти . Каждый раз, когда мы выполняем вычисление (то есть для каждого последующего значения k ), добавляется еще одна цифра с основанием 7 для следующей более высокой степени 7. В 7-адических целых числах эта последовательность сходится, и предел представляет собой квадрат корень 2 дюйма который имеет начальное 7-адическое разложение
Если бы мы начали с первоначального выбора то лемма Гензеля даст квадратный корень из 2 в что соответствует 4 (mod 7) вместо 3 (mod 7), и фактически этот второй квадратный корень будет отрицательным из первого квадратного корня (что согласуется с 4 = −3 mod 7).
В качестве примера, когда исходная версия леммы Гензеля не верна, но более общая, пусть а также потом а также так
что означает , существует единственное 2-адическое число Ь , удовлетворяющий
т.е. b ≡ 1 mod 4. В 2-адических целых числах есть два квадратных корня из 17, различающиеся знаком, и хотя они конгруэнтны по модулю 2, они не конгруэнтны по модулю 4. Это согласуется с общей версией формулы Хензеля. Лемма дает нам только уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который конгруэнтен 1 по модулю 4, а не по модулю 2. Если бы мы начали с начального приближенного корня a = 3, то мы могли бы снова применить более общую лемму Гензеля, чтобы найти уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который сравним с 3 по модулю 4. Это другой 2-адический квадратный корень из 17.
С точки зрения подъема корней от модуля 2 k до 2 k +1 , подъемы, начиная с корня 1 по модулю 2, выглядят следующим образом:
- 1 мод 2 -> 1, 3 мод 4
- 1 мод 4 -> 1, 5 мод 8 и 3 мод 4 ---> 3, 7 мод 8
- 1 mod 8 -> 1, 9 mod 16 и 7 mod 8 ---> 7, 15 mod 16, в то время как 3 mod 8 и 5 mod 8 не поднимаются до корней mod 16
- 9 mod 16 -> 9, 25 mod 32 и 7 mod 16 -> 7, 23 mod 16, а 1 mod 16 и 15 mod 16 не поднимают до корней mod 32.
Для каждого k не менее 3 существует четыре корня из x 2 - 17 mod 2 k , но если мы посмотрим на их 2-адические разложения, мы увидим, что попарно они сходятся только к двум 2-адическим пределам. Например, четыре корня по модулю 32 разбиваются на две пары корней, каждая из которых выглядит одинаково по модулю 16:
- 9 = 1 + 2 3 и 25 = 1 + 2 3 + 2 4 .
- 7 = 1 + 2 + 2 2 и 23 = 1 + 2 + 2 2 + 2 4 .
2-адические квадратные корни из 17 имеют разложения
Другой пример, в котором мы можем использовать более общую версию леммы Гензеля, но не базовую версию, - это доказательство того, что любое 3-адическое целое число c ≡ 1 mod 9 является кубом в Позволять и возьмем начальное приближение a = 1. Основную лемму Гензеля нельзя использовать для нахождения корней f ( x ), посколькудля каждого р . Чтобы применить общую версию леммы Гензеля, мы хотим что значит То есть, если c ≡ 1 mod 27, то общая лемма Гензеля говорит нам, что f ( x ) имеет 3-адический корень, поэтому c является 3-адическим кубом. Однако мы хотели получить этот результат при более слабом условии, что c ≡ 1 mod 9. Если c ≡ 1 mod 9, то c ≡ 1, 10 или 19 mod 27. Мы можем применить общую лемму Гензеля три раза в зависимости от значения of c mod 27: если c ≡ 1 mod 27, тогда используйте a = 1, если c ≡ 10 mod 27, тогда используйте a = 4 (так как 4 является корнем f ( x ) mod 27), и если c ≡ 19 mod 27 затем используйте a = 7. (Неверно, что каждый c ≡ 1 mod 3 является 3-адическим кубом, например, 4 не является 3-адическим кубом, поскольку он не является кубом по модулю 9.)
Аналогичным образом, после некоторой предварительной работы, лемма Гензеля может быть использована, чтобы показать, что для любого нечетного простого числа p любое p -адическое целое число c, сравнимое с 1 по модулю p 2, является p -м степенью в(Это неверно для p = 2.)
Обобщения
Предположим, что A - коммутативное кольцо , полное относительно идеала и разреши a ∈ A называется «приближенным корнем» f , если
Если f имеет приближенный корень, то он имеет точный корень b ∈ A, «близкий к» a ; это,
Кроме того, если не является делителем нуля, то b единственно.
Этот результат можно обобщить на несколько переменных следующим образом:
- Теорема. Пусть A - коммутативное кольцо, полное относительно идеала Позволять быть система п многочленов от п переменных над А . Вид как отображение из A n в себя, и пусть обозначим его матрицу Якоби . Предположим, что a = ( a 1 , ..., a n ) ∈ A n является приближенным решением f = 0 в том смысле, что
- Тогда существует некоторый b = ( b 1 , ..., b n ) ∈ A n такой, что f ( b ) = 0 , т. Е.
- Кроме того, это решение «близко» к a в том смысле, что
В частном случае, если для всех я иявляется единицей в A, то существует решение f ( b ) = 0 сдля всех я .
Когда n = 1, a = a является элементом A и Условия этой леммы Гензеля о многомерных сводятся к тем, которые были сформулированы в лемме Гензеля об одной переменной.
Связанные понятия
Полнота кольца не является необходимым условием для того, чтобы кольцо обладало гензелевым свойством: Горо Адзумая в 1950 году определил коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее гензелевскому свойству максимального идеала m, чтобы быть гензелевым кольцом .
Масаёши Нагата доказал в 1950-х годах, что для любого коммутативного локального кольца A с максимальным идеалом m всегда существует наименьшее кольцо A h, содержащее A такое, что A h является гензелевым относительно m A h . Это ч называется гензелизацией из A . Если является нетеровой , ч будет также нетеровой и ч явно алгебраическая как она строится как предел этальных окрестностей . Это означает, что A h обычно намного меньше завершения Â при сохранении гензелевского свойства и в той же категории [ требуется пояснение ] .
Смотрите также
- Теорема Хассе – Минковского
- Многоугольник Ньютона
- Локально компактное поле
- Лемма о поднятии экспоненты
Рекомендации
- ^ a b c Neukirch, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC 851391469 .
- ^ Серж Лэнг, Алгебраическая теория чисел , издательство Addison-Wesley Publishing Company, 1970, стр. 43 год
- ^ Гра, Жорж (2003). Теория поля классов: от теории к практике . Берлин. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC 883382066 .
- ^ Конрад, Кит. "Лемма Гензеля" (PDF) . п. 4.
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
- Милн, Дж. Г. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7