В алгебре локально компактное поле - это топологическое поле , топология которого образует локально компактное пространство [1] (в частности, это хаусдорфово пространство). Эти типы полей были первоначально введены в p-адический анализ, так как поля - локально компактные топологические пространства, построенные по норме на . Топология (и структура метрического пространства) важна, потому что она позволяет строить аналоги полей алгебраических чисел в p-адическом контексте.
Состав
Конечномерные векторные пространства
Одна из полезных структурных теорем для векторных пространств над локально компактными полями состоит в том, что конечномерные векторные пространства имеют только класс эквивалентности нормы: sup norm [2] pg. 58-59 .
Конечные расширения поля
Учитывая конечное расширение поля над локально компактным полем , существует не более одной единственной нормы поля на расширение нормы поля ; это,
для всех который находится в образе . Обратите внимание, что это следует из предыдущей теоремы и следующего трюка: если - две эквивалентные нормы, и
тогда для фиксированной константы существует такой, что
для всех поскольку последовательность, порожденная степенями сходиться к .
Конечные расширения Галуа
Если индекс расширения имеет степень а также является расширением Галуа (так что все решения минимального многочлена любого также содержится в ), то единственная норма поля можно построить, используя норму поля [2] стр. 61 . Это определяется как
Обратите внимание, что корень n-й степени необходим для того, чтобы иметь четко определенную норму поля, расширяющую норму на с учетом любых в образе его норма
поскольку он действует как скалярное умножение на -векторное пространство .
Примеры
Конечные поля
Все конечные поля локально компактны, поскольку могут быть снабжены дискретной топологией. В частности, любое поле с дискретной топологией локально компактно, поскольку каждая точка является окрестностью самой себя, а также замыканием окрестности, следовательно, компактна.
Местные поля
Основными примерами локально компактных полей являются p-адические рациональные числа и конечные расширения . Каждый из них - примеры локальных полей . Обратите внимание на алгебраическое замыкание и его завершение не являются локально компактными полями [2] с. 72 со стандартной топологией.
Расширения поля Q p
Расширения полей можно найти с помощью леммы Гензеля . Например, не имеет решений в поскольку
равняется только нулевой мод если , но не имеет мод решений . Следовательно является квадратичным расширением поля.
Смотрите также
Рекомендации
Внешние ссылки
- Уловка неравенства https://math.stackexchange.com/a/2252625