В математическом анализе , то равномерная норма (или SUP норма ) сопоставляет в реальном масштаб или сложные -значные ограниченные функции F , определенные на множестве S неотрицательного числа
Эта норма также называется супремумом нормой, нормой Чебышева, норма бесконечности, или, когда верхняя грань в действительности максимум, то максимальная норма . Название «единообразная норма» происходит от того факта, что последовательность функций сходится к под метрикой, полученной из равномерной нормы, тогда и только тогда, когда сходится к равномерно . [1]
Метрика, порожденная этой нормой, называется метрикой Чебышева в честь Пафнутия Чебышева , который первым ее систематически изучил.
Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все же позволяет определить топологию на рассматриваемом функциональном пространстве.
Если f является непрерывной функцией на отрезке или, в более общем смысле, компактным множеством, то она ограничена и супремум в приведенном выше определении достигается теоремой Вейерштрасса об экстремальных значениях , поэтому мы можем заменить супремум на максимум. В этом случае норма также называется максимальной нормой . В частности, для случая векторав конечном одномерном пространстве координат , она принимает форму
Причина появления индекса «∞» в том, что всякий раз, когда функция f непрерывна,
где
где D - область определения f (а интеграл равен сумме, если D - дискретное множество ).
Бинарная функция
тогда является метрикой на пространстве всех ограниченных функций (и, очевидно, любого из его подмножеств) в определенной области. Последовательность { f n : n = 1, 2, 3, ...} равномерно сходится к функции f тогда и только тогда, когда
Мы можем определять замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно замкнутыми и замыкающие равномерные замыкания . Равномерное замыкание набора функций A - это пространство всех функций, которые могут быть аппроксимированы последовательностью равномерно сходящихся функций на A. Например, одно повторение теоремы Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что набор всех непрерывных функций на является равномерным замыканием множества многочленов на .
Для сложных непрерывных функций над компактным пространством это превращает его в C * -алгебру .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 151 . ISBN 0-07-054235-X.