p -адический порядок

В основной теории чисел , для данного простого числа р , то р -адическая порядка из натурального п является наивысшим показателем таким образом, что делит п . Эта функция легко распространяется на положительные рациональные числа r =${\ displaystyle \ nu _ {p}}$${\ displaystyle p ^ {\ nu _ {p}}}$ а/б по

${\ displaystyle r = p_ {1} ^ {\ nu _ {p_ {1}}} p_ {2} ^ {\ nu _ {p_ {2}}} \ cdots p_ {k} ^ {\ nu _ {p_ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {\ nu _ {p_ {i}}},}$

где простые числа и являются (уникальные) целые числа (считается 0 для всех простых чисел , не входящие в г так , что ).${\ displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ dotsb <p_ {k}}$${\ displaystyle \ nu _ {p_ {i}}}$${\displaystyle \nu _{p_{i}}(r)=\nu _{p_{i}}(a)-\nu _{p_{i}}(b)}$

Этот p -адический порядок составляет (аддитивно записанную) оценку , так называемую p -адическую оценку , которая при мультипликативной записи является аналогом хорошо известного обычного абсолютного значения . Оба типа оценок могут использоваться для завершения поля рациональных чисел, где завершение с помощью p -адического нормирования приводит к полю p -адических чисел ℚ _p (относительно выбранного простого числа p ), тогда как завершение с помощью обычные абсолютные значения приводят в поле действительных чисел ℝ . ^[1]

Распределение натуральных чисел по их 2-адическому порядку с соответствующими степенями двойки в десятичной системе. У нуля всегда бесконечный порядок

Определение и свойства [ править ]

Пусть p - простое число .

Целые числа [ править ]

Р -адическая порядок или р -адическая оценки для ℤ является функция

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$^[2]

определяется

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{v\in \mathbb {N} :p^{v}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

где обозначает натуральные числа .${\displaystyle \mathbb {N} }$

Например, и с тех пор .${\displaystyle \nu _{3}(-45)=2}$${\displaystyle \nu _{5}(-45)=1}$${\displaystyle |{-45}|=45=3^{2}\cdot 5^{1}}$

Рациональные числа [ править ]

Р -адический заказ может быть продлен в рациональные числа как функции

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} }$^[3]

определяется

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {a}{b}}\right)=\nu _{p}(a)-\nu _{p}(b).}$^[4]

Например, и с тех пор .${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}={\tfrac {3^{2}}{2^{3}}}}$

Некоторые свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(m\cdot n)&=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n)\\[5px]\nu _{p}(m+n)&\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}.\end{aligned}}}$

Более того, если , то${\displaystyle \nu _{p}(m)\neq \nu _{p}(n)}$

${\displaystyle \nu _{p}(m+n)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}}$

где min - минимум (т.е. меньший из двух).

p -адическое абсолютное значение [ править ]

Р -адическое абсолютное значение на ℚ является функцией

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

определяется

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$^[4]

Например, и${\displaystyle |{-45}|_{3}={\tfrac {1}{9}}}$${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=8.}$

Р -адического абсолютное значение удовлетворяют следующие свойства.

Неотрицательность	${\displaystyle |a|_{p}\geq 0}$
Положительная определенность	${\displaystyle |a|_{p}=0\iff a=0}$
Мультипликативность	${\displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$
Неархимедов	${\displaystyle |a+b|_{p}\leq \max \left(|a|_{p},|b|_{p}\right)}$

Симметрии следует из мультипликативности и субаддитивности из неархимедового неравенства треугольника .${\displaystyle |{-a}|_{p}=|a|_{p}}$ ${\displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$ ${\displaystyle |a+b|_{p}\leq |a|_{p}+|b|_{p}}$ ${\displaystyle |a+b|_{p}\leq \max \left(|a|_{p},|b|_{p}\right)}$

Выбор основания p в возведении в степень не имеет значения для большинства свойств, но поддерживает формулу произведения:${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|x|_{p}=1}$

где произведение берется по всем простым числам p и обычному модулю, обозначенному . Это следует из простого разложения на простые множители : каждый простой коэффициент мощности вносит обратный вклад в его p -адическое абсолютное значение, а затем обычное архимедово абсолютное значение отменяет их все.${\displaystyle |x|_{0}}$${\displaystyle p^{k}}$

Р -адическое абсолютное значение иногда называют как « р -адической норму», ^{[ править ]} , хотя это на самом деле не норма , потому что она не удовлетворяет требование однородности .

Метрическое пространство может быть образовано на множестве ℚ с ( неархимедовом , инвариантных относительно сдвига ) метрики

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

определяется

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Завершение из ℚ относительно этой метрики приводит к полю ℚ _р о р -адических чисел.

См. Также [ править ]

• p -адическое число
• Архимедова собственность
• Кратность (математика)
• Теорема Островского

Ссылки [ править ]