Многоугольник Ньютона

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Полигон Ньютона»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Построение многоугольника Ньютона многочлена относительно 5-адического нормирования.${\displaystyle P(X)=1+5X+1/5X^{2}+35X^{3}+25X^{5}+625X^{6}}$

В математике , то многоугольник Ньютона является инструментом для понимания поведения многочленов над локальными полями .

В исходном случае локальное поле интереса было поле формальных рядов Лорана в неопределенном X , то есть поле дробей в формальных степенных рядов кольца

К [[X]],

над K , где K было полем действительных или комплексных чисел . Это по-прежнему очень полезно для расширений Puiseux . Многоугольник Ньютона - эффективное средство для понимания ведущих терминов

aX ^r

решений разложения в степенной ряд уравнений

P ( F ( X )) = 0

где P - многочлен с коэффициентами из K [ X ], кольца многочленов ; то есть неявно определенные алгебраические функции . Показатели r здесь - некоторые рациональные числа , зависящие от выбранной ветви ; а сами решения являются степенными рядами в

K [[Y]]

где Y = X ^{1 / d} для знаменателя d, соответствующего ветви. Многоугольник Ньютона дает эффективный алгоритмический подход к вычислению d .

После введения p-адических чисел было показано, что многоугольник Ньютона столь же полезен в вопросах ветвления для локальных полей и, следовательно, в алгебраической теории чисел . Многоугольники Ньютона также были полезны при изучении эллиптических кривых .

Определение [ править ]

Априори, учитывая многочлен над полем, поведение корней (при условии, что у него есть корни) будет неизвестно. Многоугольники Ньютона предоставляют один из методов изучения поведения корней.

Пусть - локальное поле с дискретной оценкой и пусть${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{K}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}$

с . Тогда многоугольник Ньютона определяется как выпуклая нижняя оболочка множества точек${\displaystyle a_{0}a_{n}\neq 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle P_{i}=\left(i,v_{K}(a_{i})\right),}$

игнорируя точки с . Проще говоря, нанесите все эти точки P _i на плоскость xy . Предположим, что индексы точек увеличиваются слева направо ( P ₀ - крайняя левая точка, P _n - крайняя правая точка). Затем, начиная с точки P ₀ , нарисуйте луч прямо вниз параллельно оси y и поверните этот луч против часовой стрелки, пока он не достигнет точки P _{k 1} (не обязательно P ₁ ). Сломай луч здесь. Теперь нарисуйте второй луч из P _{k 1.}${\displaystyle a_{i}=0}$прямо вниз параллельно оси Y и поверните этот луч против часовой стрелки, пока он не достигнет точки P _{k 2} . Продолжайте, пока процесс не достигнет точки P _n ; получившийся многоугольник (содержащий точки P ₀ , P _{k 1} , P _{k 2} , ..., P _{k m} , P _n ) является многоугольником Ньютона.

Другой, возможно, более интуитивный способ увидеть этот процесс: рассмотрим резиновую ленту, окружающую все точки P ₀ , ..., P _n . Протяните ленту вверх так, чтобы она застряла на нижней стороне некоторыми остриями (острия действуют как гвозди, частично вбитые в плоскость xy). Вершины многоугольника Ньютона и есть те точки.

Подробную схему этого см. В главе 6 §3 «Локальных полей» Дж. С. Касселя, LMS Student Texts 3, CUP 1986. Это на стр. 99 издания в мягкой обложке 1986 года.

История [ править ]

Многоугольники Ньютона названы в честь Исаака Ньютона , который первым описал их и некоторые из их использования в переписке с 1676 года, адресованной Генри Ольденбургу . ^[1]

Приложения [ править ]

Многоугольник Ньютона иногда является частным случаем многогранника Ньютона и может использоваться для построения асимптотических решений полиномиальных уравнений с двумя переменными, таких как ${\displaystyle 3x^{2}y^{3}-xy^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y=0}$

Еще одно применение многоугольника Ньютона дает следующий результат:

Позволять

${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{r}}$

быть наклонами отрезков линии многоугольника Ньютона (как определено выше), расположенных в порядке возрастания, и пусть${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$

быть соответствующие длины отрезков линий проецируются на ось х (то есть , если мы имеем отрезок линии растяжения между точками и затем длиной ). Тогда для каждого целого числа , имеет в точности корни с оценкой .${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle j-i}$ ${\displaystyle 1\leq \kappa \leq r}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \lambda _{\kappa }}$${\displaystyle -\mu _{\kappa }}$

Объяснение симметричной функции [ править ]

В контексте оценки нам дается определенная информация в виде оценок элементарных симметричных функций корней многочлена, и нам требуется информация об оценке фактических корней в алгебраическом замыкании . Это аспекты как по теории ветвления и теории особенностей . Возможные обоснованные выводы - это оценки степенных сумм с помощью тождеств Ньютона .

См. Также [ править ]

• F-кристалл
• Критерий Эйзенштейна
• Тело Ньютона – Окунькова

Ссылки [ править ]

• Госс, Дэвид (1996), Основные структуры арифметики функционального поля , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 35 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-61480-4 , ISBN 978-3-540-61087-8, MR  1423131
• Гувеа, Фернандо : p-адические числа: Введение. Springer Verlag 1993. стр. 199.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме многоугольника Ньютона .

• Апплет, рисующий многоугольник Ньютона