Теорема Хассе-Минковского является фундаментальным результатом теории чисел, который утверждает, что две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах , т.е. эквивалентны для каждого пополнения поля (которое может быть действительным , сложный , или p-адический ). Связанный результат состоит в том, что квадратичное пространство над числовым полем изотропно.тогда и только тогда, когда она изотропна локально всюду, или, что то же самое, квадратичная форма над числовым полем нетривиально представляет нуль тогда и только тогда, когда это верно для всех пополнений поля. Теорема была доказана в случае поля рациональных чисел с помощью Герман Минковский и обобщена на число полей по Гельмут Хассе . То же самое утверждение справедливо даже для всех глобальных полей .
Важность
Важность теоремы Хассе – Минковского заключается в новой парадигме, которую она представила для ответа на арифметические вопросы: чтобы определить, имеет ли уравнение определенного типа решение в рациональных числах, достаточно проверить, есть ли у него решения над полными полями. действительных и p -адических чисел, где применимы аналитические соображения, такие как метод Ньютона и его p -адический аналог, лемма Гензеля . Это воплощено в идее локально-глобального принципа , который является одним из самых фундаментальных методов арифметической геометрии .
Приложение к классификации квадратичных форм
Теорема Хассе – Минковского сводит проблему классификации квадратичных форм над числовым полем K с точностью до эквивалентности множеству аналогичных, но гораздо более простых вопросов над локальными полями . Основными инвариантами неособой квадратичной формы являются ее размерность , которая является положительным целым числом, и ее дискриминант по модулю квадратов в K , который является элементом мультипликативной группы K * / K * 2 . Кроме того, для каждой позиции v в K существует инвариант, вытекающий из пополнения K v . В зависимости от выбора v это завершение может быть действительными числами R , комплексными числами C или полем p-адических чисел , каждое из которых имеет разные виды инвариантов:
- Случай R . По закону инерции Сильвестра сигнатура (или, наоборот, отрицательный показатель инерции) является полным инвариантом.
- Случай С . Все неособые квадратичные формы одной размерности эквивалентны.
- Случай Q p и его алгебраических расширений . Формы одной размерности классифицируются с точностью до эквивалентности по инварианту Хассе .
Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости: отношению четности (знак дискриминанта должен соответствовать отрицательному индексу инерции) и формуле произведения (отношение локально-глобальное). Наоборот, для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим соотношениям, существует квадратичная форма над K с этими инвариантами.
Рекомендации
- Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. 106 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
- Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Тексты для выпускников по математике . 7 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001 .