Гипергомология

В гомологической алгебре , то гипергомология или гиперкогомологии ( ) является обобщением (ко) гомология функторов , который принимает в качестве входных данных не объекты в абелевой категории , но вместо цепных комплексов объектов, поэтому объекты в . Это своего рода нечто среднее между когомологиями производных функторов объекта и гомологиями цепного комплекса, поскольку гиперкогомологии соответствуют производным функторам глобальных сечений . ${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {*} (-), \ mathbb {H} ^ {*} (-)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Ch}} ({\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {*} \ Gamma (-)}$

Гипергомология больше не используется широко: примерно с 1970 года она была в значительной степени заменена примерно эквивалентной концепцией производного функтора между производными категориями .

Мотивация [ править ]

Одна из мотиваций гиперкогомологий исходит из того факта, что не существует очевидного обобщения когомологических длинных точных последовательностей, связанных с короткими точными последовательностями.

${\ Displaystyle 0 \ к М '\ к М \ к М' '\ к 0}$

т.е. существует связанная длинная точная последовательность

${\ Displaystyle 0 \ к H ^ {0} (M ') \ к H ^ {0} (M) \ to H ^ {0} (M' ') \ to H ^ {1} (M') \ to \ cdots}$

Оказывается, гиперкогомологии дают методы построения аналогичной когомологической ассоциированной длинной точной последовательности из произвольной длинной точной последовательности.

${\ displaystyle 0 \ to M_ {1} \ to M_ {2} \ to \ cdots \ to M_ {k} \ to 0}$

поскольку его входы задаются цепными комплексами, а не просто объектами из абелевой категории. Мы можем превратить этот цепной комплекс в выделенный треугольник (используя язык триангулированных категорий на производной категории)

${\ displaystyle M_ {1} \ to [M_ {2} \ to \ cdots \ to M_ {k-1}] \ to M_ {k} [- k + 3] \ xrightarrow {+1}}$

который мы обозначим через

${\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1}$

Тогда взятие производных глобальных сечений дает длинную точную последовательность, которая является длинной точной последовательностью групп гиперкогомологий. $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$

Определение [ править ]

Мы даем определение гиперкогомологии, поскольку это более распространено. Как обычно, гиперкогомологии и гипергомологии, по сути, одно и то же: одна преобразуется в другую путем дуализации, т. Е. Путем изменения направления всех стрелок, замены инъективных объектов на проективные и т. Д.

Пусть абелева категория с достаточно инъективными и F точного слева функтора в другую абелевую категории B . Если C - комплекс объектов из A, ограниченных слева, гиперкогомологии

H ⁱ ( C )

числа C (для целого числа i ) вычисляется следующим образом:

Возьмет квазиизоморфизм Ф : C → I , здесь я это комплекс инъективных элементов A .
Гиперкогомологии H ⁱ ( C ) группы C тогда являются когомологиями H ⁱ ( F ( I )) комплекса F ( I ).

Гиперкогомологии C не зависят от выбора квазиизоморфизма с точностью до единственных изоморфизмов.

Гиперкогомологии также могут быть определены с использованием производных категорий : гиперкогомологии C является лишь когомология РФ ( C ) рассматриваются как элемент производной категории B .

Для комплексов, равных нулю для отрицательных индексов, гиперкогомологии могут быть определены как производные функторы H ⁰ = FH ⁰ = H ⁰F .

Спектральные последовательности гиперкогомологий [ править ]

Есть две спектральные последовательности гиперкогомологий ; один с членом E ₂

R^{i}F(H^{j}(C))

а другой с членом E ₁

R^{j}F(C^{i})

и E ₂ срок

H^{i}(R^{j}F(C))

оба сходятся к гиперкогомологиям

H^{i+j}(RF(C))

,

где R ^J F является правым производным функтором из F .

Приложения [ править ]

Одно из применений спектральных последовательностей гиперкогомологий - изучение зародышей . Напомним, что векторные расслоения ранга n на пространстве можно классифицировать как группу когомологий Чеха . Основная идея гербов состоит в том, чтобы расширить эту идею когомологически, поэтому вместо того , чтобы рассматривать какой-либо функтор , мы вместо этого рассматриваем группу когомологий , поэтому она классифицирует объекты, которые склеены объектами в исходной классифицирующей группе. Близким предметом, изучающим герберы и гиперкогомологию, является когомология Делиня . $X$ $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)$ $F$ $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)$

Примеры [ править ]

Для многообразия X над полем k вторая спектральная последовательность сверху дает спектральную последовательность Ходжа-де Рама для алгебраических когомологий де Рама :
$E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\Omega _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)$ .
Другой пример - голоморфный лог-комплекс на комплексном многообразии. Пусть X - комплексное алгебраическое многообразие и хорошая компактификация. Это означает, что Y - компактное алгебраическое многообразие и является дивизором на с простыми нормальными пересечениями. Естественное включение комплексов пучков $j:X\hookrightarrow Y$ $D=Y-X$ $Y$
$\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }$
оказывается квазиизоморфизмом и индуцирует изоморфизм
$H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Х. Картан, С. Эйленберг, ISBN по гомологической алгебре 0-691-04991-2
В. И. Данилов (2001) [1994], "Функтор гипергомологии" , Энциклопедия математики , EMS Press
А. Гротендик, Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957), стр. 119-221.