В абстрактной алгебре , абелево расширение является расширение Галуа которого группа Галуа является абелевой . Когда группа Галуа также является циклической , расширение также называется циклическим расширением . В противоположном направлении расширение Галуа называется разрешимым, если его группа Галуа разрешима , т. Е. Если группа может быть разложена на серию нормальных расширений абелевой группы.
Каждое конечное расширение конечного поля является циклическим расширением.
Теория полей классов дает подробную информацию о абелевых расширений числовых полей , полей функций на алгебраических кривых над конечными полями и локальными полями .
Есть два немного разных определения термина циклотомическое расширение. Это может означать либо расширение, образованное путем примыкания корней единицы к полю, либо подрасширение такого расширения. В циклотомических полях являются примерами. Циклотомическое расширение, согласно любому определению, всегда абелево.
Если поле K содержит примитивный корень n -й степени из единицы и к нему присоединен корень n -й степени элемента поля K , полученное расширение Куммера является абелевым расширением (если K имеет характеристику p, мы должны сказать, что p не делит n , так как в противном случае это может не быть даже отделимым расширением ). В общем, однако, группы Галуа корней n -й степени элементов оперируют как корнями n -й степени, так и корнями из единицы, давая неабелеву группу Галуа как полупрямое произведение . Теория Куммерадает полное описание случая абелевого расширения, а теорема Кронекера – Вебера говорит нам, что если K - поле рациональных чисел , расширение является абелевым тогда и только тогда, когда оно является подполем поля, полученного присоединением корня из единицы .
Существует важная аналогия с фундаментальной группой в топологии , которая классифицирует все накрывающие пространства пространства: абелевы накрытия классифицируются по абелианизации, которая непосредственно относится к первой группе гомологий .
Ссылки [ править ]
- Кузьмин, Л.В. (2001) [1994], "циклотомическое расширение" , Энциклопедия математики , EMS Press
