В алгебраической теории чисел можно показать, что каждое круговое поле является абелевым расширением поля рациональных чисел Q , имеющим группу Галуа вида. Теорема Кронекера-Вебера обеспечивает частичное обращение: каждое конечное абелево расширение из Q содержится в некотором круговом поле. Другими словами, любое целое алгебраическое число , группа Галуа которого абелева, может быть выражено как сумма корней из единицы с рациональными коэффициентами. Например,
- а также
Теорема названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера .
Теоретико-полевая формулировка
Теорема Кронекера – Вебера может быть сформулирована в терминах полей и расширений полей . Точнее, теорема Кронекера – Вебера утверждает: всякое конечное абелево расширение рациональных чисел Q является подполем кругового поля. Таким образом, всякий раз, когда поле алгебраических чисел имеет группу Галуа над Q, которая является абелевой группой , это поле является подполем поля, полученным путем присоединения корня из единицы к рациональным числам.
Для данного абелевого расширения K поля Q существует минимальное круговое поле, которое его содержит. Теорема позволяет определить проводник из K как наименьшее целое число п такое , что K лежит внутри области , порожденной п -х корней из единицы. Например, квадратичные поля имеют в качестве проводника абсолютную величину своего дискриминанта , факт, обобщенный в теории полей классов .
История
Теорема была впервые сформулирована Кронекером ( 1853 г. ), хотя его аргументы не были полными для расширений степени, равной степени 2. Вебер ( 1886 ) опубликовал доказательство, но в нем были некоторые пробелы и ошибки, на которые указал и исправил Нойман (1981 ) . Первое полное доказательство было дано Гильбертом ( 1896 г. ).
Обобщения
Любин и Тейт ( 1965 , 1966 ) доказали локальную теорему Кронекера – Вебера, которая утверждает, что любое абелево расширение локального поля может быть построено с использованием круговых расширений и расширений Любина – Тейта . Хазевинкель ( 1975 ), Розен ( 1981 ) и Любин ( 1981 ) дали другие доказательства.
Двенадцатая проблема Гильберта требует обобщения теоремы Кронекера – Вебера на базовые поля, отличные от рациональных чисел, и запрашивает аналоги корней из единицы для этих полей. Другой подход к абелевым расширениям дает теория полей классов .
Рекомендации
- Гейт, Экнат (2000), "Теорема Кронекера-Вебера" (PDF) , в Adhikari, SD; Katre, SA; Тхакур, Динеш (ред.), Циклотомические поля и связанные темы (Пуна, 1999) , Бхаскарачарья Пратиштана, Пуна, стр. 135–146, MR 1802379
- Гринберг, MJ (1974). «Элементарное доказательство теоремы Кронекера-Вебера». Американский математический ежемесячник . 81 (6): 601–607. DOI : 10.2307 / 2319208 . JSTOR 2319208 .
- Хазевинкель, Михеля (1975), "Локальная теория полей классов легко" (PDF) , достижения в области математики , 18 (2): 148-181, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (75) 90156-5 , ISSN 0001-8708 , MR 0389858
- Гильберт, Давид (1896), «Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper». , Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке): 29–39
- Кронекер, Леопольд (1853), «Убер die algebraisch auflösbaren Gleichungen» , Берлин К. Акад. Wiss. (на немецком языке): 365–374, ISBN 9780821849828, Собрание сочинений том 4
- Кронекер, Леопольд (1877), «Убер Абельше Гляйхунген» , Берлин К. Акад. Wiss. (на немецком языке): 845–851, ISBN 9780821849828, Собрание сочинений том 4
- Леммермейер, Франц (2005), "Kronecker-Weber via Stickelberger", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 17 (2): 555–558, arXiv : 1108.5671 , doi : 10.5802 / jtnb.507 , ISSN 1246-7405 , MR 2211307
- Любин, Джонатан (1981), "Локальная Кронекера-Вебера теорема", Труды Американского математического общества , 267 (1): 133-138, DOI : 10,2307 / 1998574 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1998574 , MR 0621978
- Любин, Джонатан; Тэйт, Джон (1965), "Формальное комплексное умножение в локальных полях", Анналы математики , второй серии, 81 (2): 380-387, DOI : 10,2307 / 1970622 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970622 , MR 0172878
- Любин, Джонатан; Тэйт, Джон (1966), "Формальные модули для однопараметрических формальных групп Ли" , Bulletin де ла Société Mathematique де Франс , 94 : 49-59, DOI : 10,24033 / bsmf.1633 , ISSN 0037-9484 , MR 0238854
- Нойман, Олаф (1981), "Два доказательства теоремы Кронекера-Вебера" согласно Кронекеру и Веберу " " , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 323 (323): 105–126, doi : 10.1515 / crll.1981.323 .105 , ISSN 0075-4102 , Руководство по ремонту 0611446
- Розен, Майкл (1981), "Элементарное доказательство локальной Кронекера-Вебера теорема", Труды Американского математического общества , 265 (2): 599-605, DOI : 10,2307 / 1999753 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1999753 , Руководство по ремонту 0610968
- Шафаревич И. Р. (1951), Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера , Тр. Inst. Стеклова. (на русском языке ), 38 , Москва: Изд. Акад. АН СССР, с. 382–387, МР 0049233.
- Schappacher, Норберт (1998), «Об истории двенадцатом проблемы Гильберта: комедии ошибок» , Matériaux льют l'Histoire де Mathématiques помощница XX е конца века (Ницца, 1996) , Semin. Congr., 3 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 243–273, ISBN 978-2-85629-065-1, Руководство по ремонту 1640262
- Вебер, H. (1886), "Теорье дер Zahlkörper абелевых", Acta Mathematica (на немецком языке ), 8 : 193-263, DOI : 10.1007 / BF02417089 , ISSN 0001-5962