Дирижер (теория поля классов)

---

В алгебраической теории чисел проводник конечного абелева расширения локальных или глобальных полей обеспечивает количественную меру ветвления в расширении. Определение проводника связано с картой Артина .

Пусть L / K — конечное абелево расширение неархимедовых локальных полей . Проводник L / K , обозначенный , является наименьшим неотрицательным целым числом n таким, что высшая группа единиц${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (L / K)}$

содержится в N _{L / K} ( L ^× ), где N _{L / K} — карта нормы поля и максимальный идеал K . ^[1] Эквивалентно, n — это наименьшее целое число, при котором локальная карта Артина тривиальна на . Иногда проводник определяется как где n , как указано выше. ^[2]${\ Displaystyle {\ mathfrak {м}} _ {К}}$${\ Displaystyle U_ {К} ^ {(п)}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {м}} _ {К} ^ {п}}$

Проводник расширения измеряет разветвление. Качественно расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда проводник равен нулю, ^[3] и ручно разветвлен тогда и только тогда, когда проводник равен 1. ^[4] Точнее, проводник вычисляет нетривиальность группы высшего ветвления : если s — наибольшее целое число, для которого группа высшего ветвления G _s с « нижней нумерацией » нетривиальна, то , где η _{L / K} — функция, которая переводит из «нижней нумерации» в « верхнюю нумерацию » высшие группы ветвления.${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (L / K) = \ eta _ {L / K} (s) + 1}$^[5]

Проводник L / K также связан с проводниками Артина характеров группы Галуа Gal( L / K ). В частности, ^[6]

где χ варьируется по всем мультипликативным комплексным характерам Gal( L / K ), — кондуктор Артина для χ, а lcm — наименьшее общее кратное .${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {\ chi}}$

---