В теории чисел , более конкретно , в локальной теории полей классов , то ветвления группы являются фильтрация из группы Галуа в виде локального поля расширения, что дает подробную информацию о ветвлений явлениях расширения.
Теория ветвления оценок
В математике , то теория ветвления оценок изучает множество расширений одного нормирования V в виде поля K на расширение L из K . Это обобщение теории ветвления дедекиндовских доменов. [1] [2]
Структура множества расширений известна лучше, когда L / K - Галуа .
Группа разложения и группа инерции
Пусть ( K , v ) является нормированным полем , и пусть L быть конечное расширение Галуа из K . Пусть S v множество эквивалентности классов расширений V на L , и пусть G является группой Галуа из L над K . Тогда G действует на S V через а [ ш ] = [ ш ∘ σ] (т.е. ш является представителем класса эквивалентности [ ш ] ∈ S v и [ ш ] посылается к классу эквивалентности композиции из ш с автоморфизм σ: L → L , не зависящий от выбора w в [ w ]). На самом деле это действие транзитивное .
При фиксированном расширение ш из V на L , то группа разложения ш представляет собой стационарную подгруппу G ш из [ ш ], т.е. она является подгруппой из G , состоящая из всех элементов, фиксирующих класс эквивалентности [ ш ] ∈ S V .
Пусть т ш обозначим максимальный идеал в ш внутри кольца нормирования R ш в ш . Группа инерции w - это подгруппа I w группы G w, состоящая из таких элементов σ , что σ x ≡ x (mod m w ) для всех x в R w . Другими словами, я ж состоит из элементов группы разложения , которые действуют тривиально на поле вычетов из ж . Это нормальная подгруппа группы G w .
Приведенный индекс ветвления e ( w / v ) не зависит от w и обозначается e ( v ). Точно так же относительная степень f ( w / v ) также не зависит от w и обозначается f ( v ).
Группы ветвления в нижней нумерации
Группы ветвления являются уточнением группы Галуа. конечного Расширение Галуа из локальных полей . Мы напишем для оценки, кольцо целых чисел и его максимальный идеал для . Как следствие леммы Гензеля можно записать для некоторых где кольцо целых чисел . [3] (Это сильнее, чем теорема о примитивных элементах .) Тогда для каждого целого числа, мы определяем быть набором всех который удовлетворяет следующим эквивалентным условиям.
- (я) действует тривиально на
- (ii) для всех
- (iii)
Группа называется -я группа ветвления . Они образуют убывающую фильтрацию ,
Фактически нормальны по (i) и тривиальны при достаточно большихпо (iii). Для самых низких показателей принято называтьподгруппа инерции изиз-за его связи с расщеплением простых идеалов , в то время какдикая подгруппа инерции из. Частное называется ручным фактором.
Группа Галуа и его подгруппы изучаются с использованием указанной выше фильтрации или, более конкретно, соответствующих факторов. В частности,
- где - (конечные) поля вычетов . [4]
- является неразветвленным .
- является ручно разветвленным (т. е. индекс ветвления прост с характеристикой вычета).
Изучение групп ветвления сводится к совершенно разветвленному случаю, поскольку для .
Также определяется функция . (ii) в приведенных выше шоу не зависит от выбора и, кроме того, изучение фильтрации по существу эквивалентен . [5] удовлетворяет следующему: для ,
Исправить униформизатор из . потом вызывает инъекцию где . (Отображение фактически не зависит от выбора униформизатора. [6] ) Отсюда следует [7]
- циклический порядок, простой с
- является произведением циклических групп порядка .
В частности, является p -группой иявляется разрешимой .
Группы ветвления могут использоваться для вычисления различных расширения и подрасширения: [8]
Если нормальная подгруппа , то для , . [9]
Комбинируя это с приведенным выше, получаем: для подрасширения соответствующий ,
Если , тогда . [10] В терминологии Лазара это можно понимать как алгебру Ли абелева.
Пример: циклотомическое расширение
Группы ветвления для кругового расширения , где это -й первообразный корень из единицы , может быть описан явно: [11]
где e выбрано так, что.
Пример: расширение квартики
Пусть K - расширение Q 2, порожденное. Сопряженные с x 1 равны x 2 = х 3 = - х 1 , х 4 = - х 2 .
Небольшое вычисление показывает, что частное любых двух из них составляет единицу . Следовательно, все они порождают один и тот же идеал; назовите это π .порождает π 2 ; (2) = π 4 .
Теперь x 1 - x 3 = 2 x 1 , что находится в π 5 .
а также который находится в π 3 .
Различные методы показывают, что группа Галуа группы K является, циклический порядка 4. Также:
а также
так что разные
х 1 удовлетворяет условию х 4 - 4 х 2 + 2, который имеет дискриминант 2048 = 2 11 .
Группы ветвления в верхней нумерации
Если это реальное число , позволять обозначать где я наименьшее целое число. Другими словами, Определять автор [12]
где по условию равно если и равен для . [13] Тогда для . Немедленно, что непрерывна и строго возрастает, а значит, имеет непрерывную обратную функцию определено на . Определять. тогда называется v -й группой ветвления в верхней нумерации. Другими словами,. Примечание. Верхняя нумерация определена так, чтобы быть совместимой с переходом к частным: [14] если нормально в , тогда
- для всех
(тогда как более низкая нумерация совместима с переходом на подгруппы.)
Теорема Эрбрана
Теорема Эрбрана утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют (для где подрасширение, соответствующее ), и что группы ветвления в верхней нумерации удовлетворяют . [15] [16] Это позволяет определить группы ветвления в верхней нумерации для бесконечных расширений Галуа (таких как абсолютная группа Галуа локального поля) из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений.
Верхняя нумерация абелевого расширения важна из-за теоремы Хассе – Арфа . В нем говорится, что если абелева, то скачки фильтрации целые числа; т.е. в любое время не является целым числом. [17]
Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы нормальных вычетов единичными группами при изоморфизме Артина . Образ при изоморфизме
просто [18]
Смотрите также
- Теория ветвления оценок
Заметки
- ^ Fröhlich, A .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 27 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .
- ^ Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1976) [1960]. Коммутативная алгебра, Том II . Тексты для выпускников по математике . 29 . Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag. Глава VI. ISBN 978-0-387-90171-8. Zbl 0322.13001 .
- ^ Neukirch (1999) с.178
- ^ с тех пор канонически изоморфна группе разложения.
- ↑ Серр (1979), стр.62
- ^ Конрад
- ^ Использование а также
- ^ Серр (1979) 4.1 Предложение 4, стр.64
- ^ Серр (1979) 4.1. Предложение 3, стр.63
- ^ Серр (1979) 4.2. Предложение 10.
- ^ Серр, Corps locaux . Гл. IV, §4, предложение 18
- ^ Серра (1967) стр.156
- ^ Neukirch (1999) с.179
- ↑ Серр (1967), стр.155
- ^ Neukirch (1999) с.180
- ↑ Серр (1979), стр.75
- ^ Neukirch (1999) p.355
- ^ Snaith (1994) pp.30-31
Рекомендации
- Б. Конрад, Math 248A. Высшие группы ветвления
- Fröhlich, A .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 27 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .
- Нойкирх, Юрген (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория поля локальных классов». В Касселсе, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. С. 128–161. Zbl 0153.07403 .
- Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля . Тексты для выпускников по математике. 67 . Перевод Гринберга, Марвин Джей . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Руководство по ремонту 0554237 . Zbl 0423.12016 .
- Снайт, Виктор П. (1994). Структура модуля Галуа . Монографии Института Филдса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042 .