Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории алгебраических чисел , то отличается идеальной (иногда просто разные ) определяется для измерения (возможно) отсутствие двойственности в кольце целых чисел от с поля алгебраических чисел К , относительно поля следа . Затем он кодирует данные разветвления для простых идеалов кольца целых чисел. Он был введен Ричардом Дедекиндом в 1882 году. [1] [2]

Определение [ править ]

Если O K - кольцо целых чисел K , а tr обозначает след поля от K до поля рациональных чисел Q , то

является интегральной квадратичной формой от O K . Его дискриминант как квадратичная форма не обязательно должен быть +1 (на самом деле это происходит только в случае K = Q ). Определю обратные различные или codifferent [3] [4] или комплементарная модуль Дедекинда [5] как множество Я из й ∈ K такое , что тр ( х ) представляет собой целое число для всех у в O K , то я являюсь дробным идеалом из K, содержащийО К . По определению, отличается идеальной δ K является обратным дробный идеал Я -1 : это идеал O K .

Идеальная норма о б K равно идеалу Z , генерируемого поля дискриминант D K из  K .

Отличается от элемента & alpha из K с минимальным многочленом F определяется как δ (α) = F '(α) , если α порождает поле K (и ноль в противном случае): [6] можно записать

где α ( i ) пробегает все корни характеристического многочлена α, кроме самого α. [7] Различный идеал порождается дифферентом всех целых чисел а в O K . [6] [8] Это первоначальное определение Дедекинда. [9]

Различный также определяются для конечного расширения степени от локальных полей . Он играет основную роль в двойственности Понтрягина для p-адических полей .

Относительно разные [ править ]

Относительная отличается δ L  /  K определяется таким же образом , для расширения числовых полей L  /  K . Относительная норма относительного различных тогда равна относительной дискриминант Δ L  /  K . [10] В башне полого L  /  K  /  F относительные Дифференцы связаны соотношением & delta ; L  /  F = δ L  /  K δ К  /  Р . [5] [11]

Относительная разность равна аннулятору относительного кэлерова дифференциального модуля : [10] [12]

Идеальный класс относительной другой б L  /  K всегда квадрат в группе классов из O L , кольца целых L . [13] Поскольку относительный дискриминант является нормой относительной разности, он является квадратом класса в группе классов O K : [14] действительно, это квадрат класса Стейница для O L как O K - модуль. [15]

Разветвление [ править ]

Относительный различные кодирует ветвление данных о расширении полого L  /  K . Простой идеал р из K разветвляется в L , если факторизация р в L содержит расцвете L к мощности выше , чем 1: это происходит тогда и только тогда , когда р делит относительный дискриминант Д L  /  K . Точнее, если

p = P 1 e (1) ... P k e ( k )

является факторизацией p на простые идеалы L, то P i делит относительные различные δ L  /  K тогда и только тогда, когда P i разветвлен, то есть если и только если индекс ветвления e ( i ) больше 1. [ 11] [16] точный показатель , к которому разветвленному простые P делит δ называется дифференциальный показатель из Р и равен е  - 1 , если Р является слабо разветвленным : то есть, когда Р не делите . [17] В случае , когда Р является дико разветвленным показатель дифференты лежит в диапазоне е с е  +  е ν Р (е) - 1. [16] [18] [19] Дифференциальный показатель может быть вычислен из порядков что высшие группы ветвления для расширений Галуа: [20]

Локальное вычисление [ править ]

Разные могут быть определены для расширения локальных полей L  /  K . В этом случае мы можем считать расширение простым , порожденным примитивным элементом α, который также порождает базис степенного интеграла . Если f - минимальный многочлен для α, то разное порождается  f ' (α).

Заметки [ править ]

  1. ^ Дедекинд 1882
  2. Перейти ↑ Bourbaki 1994 , p. 102
  3. Перейти ↑ Serre 1979 , p. 50
  4. ^ Фрелиха & Taylor 1991 , стр. 125
  5. ^ а б Нойкирх 1999 , стр. 195
  6. ^ а б Наркевич 1990 , стр. 160
  7. ^ Hecke 1981 , стр. 116
  8. ^ Hecke 1981 , стр. 121
  9. Перейти ↑ Neukirch 1999 , pp. 197–198
  10. ^ а б Нойкирх 1999 , стр. 201
  11. ^ a b Fröhlich & Taylor 1991 , стр. 126
  12. Перейти ↑ Serre 1979 , p. 59
  13. ^ Hecke 1981 , стр. 234-236
  14. ^ Narkiewicz 1990 , стр. 304
  15. ^ Narkiewicz 1990 , стр. 401
  16. ^ a b Нойкирх 1999 , стр. 199
  17. ^ Narkiewicz 1990 , стр. 166
  18. Перейти ↑ Weiss 1976 , p. 114
  19. ^ Narkiewicz 1990 , стр. 194270
  20. Перейти ↑ Weiss 1976 , p. 115

Ссылки [ править ]

  • Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрам, Джон. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. Руководство по ремонту  1290116 .
  • Дедекинд, Ричард (1882), «Über die Discriminanten endlicher Körper» , Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 29 (2): 1–56. Проверено 5 августа 2009 г.
  • Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1991), алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования в области высшей математики, 27 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-36664-X, Zbl  0744,11001 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Гекке, Эрих (1981), Лекции по теории алгебраических чисел , Тексты для выпускников по математике , 77 , перевод Джорджа Брауэра; Джей Р. Голдман; при содействии Р. Котцена, Нью-Йорк-Гейдельберг-Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90595-2, Zbl  0504,12001
  • Наркевич, Владислав (1990), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е, существенно переработанное и расширенное издание), Springer-Verlag ; PWN-Польское научное издательство , ISBN 3-540-51250-0, Zbl  0717,11045
  • Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .
  • Серр, Жан-Пьер (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics , 67 , переведено Гринбергом, Марвином Джеем , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7, Zbl  0423.12016 CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Вайс, Эдвин (1976), алгебраическая теория чисел (2-е изд. Без изменений), Chelsea Publishing , ISBN 0-8284-0293-0, Zbl  0348,12101