В теории чисел идеальной группой классов (или группой классов ) поля алгебраических чисел K является фактор-группа J K / P K , где J K — группа дробных идеалов кольца целых чисел K , а P K — его подгруппа главных идеалов . Группа классов является мерой степени, в которой уникальная факторизация терпит неудачу в кольце целых чисел K . порядок _группы, которая конечна, называется числом классов группы K .
Теория распространяется на области Дедекинда и их поля частных , для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов области Дедекинда тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальной областью факторизации .
Идеальные группы классов (или, скорее, то, что фактически было идеальными группами классов) изучались за некоторое время до того, как была сформулирована идея идеала . Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае бинарных целочисленных квадратичных форм, приведенных в нечто вроде окончательной формы Карлом Фридрихом Гауссом , был определен закон композиции на определенных классах эквивалентности форм. Это дало конечную абелеву группу , как было признано в то время.
Позже Эрнст Куммер работал над теорией круговых полей . Было осознано (вероятно, несколькими людьми), что неспособность завершить доказательства Великой теоремы Ферма в общем случае факторизацией с использованием корней из единицы была по очень веской причине: неудача однозначной факторизации, т. е. фундаментальной теоремы арифметики , удержать кольца , порожденные этими корнями единства, было главным препятствием. Из работ Куммера впервые вышло исследование препятствия факторизации. Теперь мы признаем это частью идеальной группы классов: на самом деле Куммер изолировал р - кручениев этой группе для области p -корней из единицы, для любого простого числа p , как причина отказа стандартного метода атаки на проблему Ферма (см. обычное простое число ).
Несколько позже Рихард Дедекинд вновь сформулировал понятие идеала , Куммер работал иначе. На этом этапе существующие примеры могут быть унифицированы. Было показано, что, хотя кольца целых алгебраических чисел не всегда имеют уникальную факторизацию в простые числа (поскольку они не обязательно должны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение простых идеалов (то есть , каждое кольцо целых алгебраических чисел является областью Дедекинда). Размер группы идеальных классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от того, чтобы быть главной идеальной областью; кольцо является главной областью тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу идеальных классов.
Если R является целостной областью , задайте отношение ~ на ненулевых дробных идеалах R с помощью I ~ J всякий раз , когда существуют ненулевые элементы a и b R такие, что ( a ) I = ( b ) J. (Здесь обозначение ( а ) означает главный идеал R , состоящий из всех кратных а . ) Легко показать, что это отношение эквивалентности . Классы эквивалентностиназываются идеальными классами R . Идеальные классы можно умножать: если [ I ] обозначает класс эквивалентности идеала I , то умножение [ I ][ J ] = [ IJ ] корректно определено и коммутативно . Главные идеалы образуют класс идеалов [ R ], который служит элементом идентичности для этого умножения. Таким образом, класс [ I ] имеет обратный [ J ] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем, такой Jможет не существовать и, следовательно, множество идеальных классов R может быть только моноидом .