Конечные расширения локальных полей

В теории алгебраических чисел , через завершение, изучение ветвления в виде простого идеала часто может быть сведено к случаю локальных полей , где более подробный анализ можно проводить с помощью таких инструментов, как группы ветвления .

В этой статье локальное поле неархимедово и имеет конечное поле вычетов .

Неразветвленное расширение

Пусть - конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов и группой Галуа . Тогда следующие эквивалентны.${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle \ ell / k}$${\ displaystyle G}$

• (я) является неразветвленным .${\ displaystyle L / K}$
• (ii) - поле, где - максимальный идеал поля .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L} / {\ mathfrak {p}} {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$
• (iii) ${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv) Подгруппа инерции группы тривиальна.${\displaystyle G}$
• (v) Если это униформизирующий элемент из , то также униформизирующий элемент .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L}$

Когда не разветвлен, согласно (iv) (или (iii)), G может быть отождествлен с , что является конечным циклическим .${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$

Из сказанного выше следует , что существует эквивалентность категорий между конечными неразветвленными расширениями локального полем K и конечными отделимыми расширениями остатка поля  K .

Полностью разветвленное расширение

Снова, пусть - конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов и группой Галуа . Следующие варианты эквивалентны.${\displaystyle L/K}$${\displaystyle l/k}$${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle L/K}$является полностью разветвленным
• ${\displaystyle G}$ совпадает со своей подгруппой инерции.
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$где - корень многочлена Эйзенштейна .${\displaystyle \pi }$
• Норма содержит униформизатор .${\displaystyle N(L/K)}$${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Лемма Абхьянкара
• Неразветвленный морфизм

использованная литература

• Касселс, JWS (1986). Местные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. 3 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006 .
• Вайс, Эдвин (1976). Алгебраическая теория чисел (2-е изд. Без изменений). Chelsea Publishing . ISBN 0-8284-0293-0. Zbl  0348.12101 .