В теории чисел , а точнее в локальной теории полей классов , группы ветвления представляют собой фильтрацию группы Галуа расширения локального поля , которая дает подробную информацию о явлениях ветвления расширения.
В математике теория ветвления оценок изучает множество расширений оценки v поля K до расширения L поля K . Это обобщение теории ветвления областей Дедекинда. [1] [2]
Пусть ( K , v ) — нормированное поле и пусть L — конечное расширение Галуа поля K. Пусть S v — множество классов эквивалентности расширений v на L и пусть G — группа Галуа L над K . Тогда G действует на S v по формуле σ[ w ] = [ w ∘ σ] (т . е. w является представителем класса эквивалентности [w ] ∈ S v и [ w ] отправляется в класс эквивалентности композиции w с автоморфизмом σ : L → L ; это не зависит от выбора w в [ w ]). На самом деле это действие транзитивно .
При фиксированном расширении w группы v на L группа разложения группы w является стабилизирующей подгруппой G w группы [ w ], т. е. это подгруппа группы G , состоящая из всех элементов, фиксирующих класс эквивалентности [ w ] ∈ S v .
Пусть m w обозначает максимальный идеал w внутри кольца нормирования R w для w . Группа инерции w — это подгруппа I w группы G w , состоящая из элементов σ таких, что σ x ≡ x (mod m w ) для всех x в R w . Другими словами, I w состоит из элементов группы разложения, которые тривиально действуют на поле вычетовш . _ Это нормальная подгруппа в Gw .
Приведенный индекс ветвления e ( w / v ) не зависит от w и обозначается e ( v ). Точно так же относительная степень f ( w / v ) также не зависит от w и обозначается f ( v ).