Оценка (алгебра)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел ) оценка — это функция поля , которая обеспечивает меру размера или множественности элементов поля. Он обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля в комплексном анализе, степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрическое понятие контакта между двумя алгебраические или аналитические многообразияв алгебраической геометрии. Поле с оценкой на нем называется оценочным полем .

Второе свойство утверждает, что любая нормация является групповым гомоморфизмом . Третье свойство - это версия неравенства треугольника на метрических пространствах , адаптированная к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок старшего члена . ^[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена, ^[c] если два члена не имеют одного и того же порядка, и в этом случае они могут сокращаться, и в этом случае сумма может иметь больший порядок .

Для многих приложений $Γ$ является аддитивной подгруппой действительных чисел ^[d] , и в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; обратите внимание, что для любого действительного числа a и, следовательно, +∞ является единицей при двоичной операции минимума. Вещественные числа (расширенные на +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом , ^[e] и нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может дать сбой при сложении двух элементов с одинаковой оценкой. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ мин (а, + \ infty) = \ мин (+ \ infty, а) = а}$

Эта концепция была развита Эмилем Артином в его книге « Геометрическая алгебра », в которой группа записывается в мультипликативной записи как $(Γ, \cdot, \geq)$ : ^[1]

Вместо ∞ мы присоединяем формальный символ O к Γ с упорядочением и групповым законом, расширенным правилами