Тропическое полукольцо

В идемпотентном анализе , то тропическое полукольцо является полукольцо из расширенных действительных чисел с операциями минимума (или максимума ) , а также того , заменяя обычные ( «классические») операции умножения и сложение, соответственно.

Тропическое полукольцо имеет различные приложения (см. Тропический анализ ) и составляет основу тропической геометрии .

Определение [ править ]

Мин тропическое полукольцо (или мин-плюс полукольцом или мин-плюс алгебра ) является полукольцо (ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗), с операциями:

${\ Displaystyle х \ oplus у = \ мин \ {х, у \},}$

${\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}$

Операции ⊕ и называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Единицей для ⊕ является + ∞, а для ⊗ - 0.

Точно так же максимальное тропическое полукольцо (или полукольцо max-plus или алгебра max-plus ) - это полукольцо (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) с операциями:

${\ Displaystyle х \ oplus у = \ макс \ {х, у \},}$

${\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}$

Единицей для является −∞, а для ⊗ - 0.

Эти полукольца изоморфны при отрицании , и обычно одно из них выбирается и называется просто тропическим полукольцом . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют соглашение min , некоторые используют соглашение max .${\ Displaystyle х \ mapsto -x}$

Тропическое сложение идемпотентно , поэтому тропическое полукольцо является примером идемпотентного полукольца .

Тропическая полукольцо также называют тропическую алгеброй , ^[1] , хотя это не следует путать с ассоциативной алгеброй над тропическим полукольцом.

Тропическое возведение в степень определяется обычным образом как повторяющиеся тропические произведения (см. Возведение в степень, § В абстрактной алгебре ).

Поля со значениями [ править ]

Операции с тропическим полукольцом моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значном поле . Действительное поле K - это поле, снабженное функцией

${\ Displaystyle v \ двоеточие K \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$

которое удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

${\ Displaystyle v (а) = \ infty}$ если и только если ${\ displaystyle a = 0,}$

${\ Displaystyle v (ab) = v (a) + v (b) = v (a) \ otimes v (b),}$

${\ Displaystyle v (a + b) \ geq \ min \ {v (a), v (b) \} = v (a) \ oplus v (b),}$ с равенством, если ${\ Displaystyle v (а) \ neq v (b).}$

Следовательно, оценка v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.

Некоторые общие поля значений:

• Q или C с тривиальной оценкой, v ( a ) = 0 для всех a ≠ 0,
• Q или его расширения с p-адическим нормированием , v ( p ⁿ a / b ) = n для a и b, взаимно простых с p ,
• поле формального ряда Лорана K (( t )) (целые степени), или поле ряда Пюизо K {{ t }}, или поле ряда Хана , с оценкой, возвращающей наименьший показатель t, появляющийся в ряду.

Ссылки [ править ]