В алгебре (в частности , в алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел ), A оценка является функцией на поле , которое обеспечивает измерение размера или множество элементов поля. Она обобщает коммутативной алгебре понятие размера , присущего рассмотрения степенью полюса или кратности в виде нуля в комплексном анализе, степень делимости числа на простое число в теории чисел, и геометрическая концепция контакта между двумя алгебраические или аналитические многообразияв алгебраической геометрии. Поле с оценкой называется оценочным полем .
Определение
Начнем со следующих объектов:
- поле К и его мультипликативной группе К × ,
- абелева полностью упорядоченная группа (Γ +, ≥) .
Порядок и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞ } [a] по правилам
- ∞ ≥ α для всех α ∈ Γ ,
- ∞ + α = α + ∞ = ∞ для всех α ∈ Γ .
Тогда оценка K - это любое отображение
- v : K → Γ ∪ {∞}
которое удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :
- v ( a ) = ∞ тогда и только тогда, когда a = 0 ,
- v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
- v ( a + b ) ≥ min ( v ( a ), v ( b )) с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).
Нормирование v является тривиальным , если v ( ) = 0 для всех а в K × , в противном случае это нетривиальное .
Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповым гомоморфизмом . Третье свойство - это версия неравенства треугольника на метрических пространствах, адаптированная к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.
Оценку можно интерпретировать как порядок опережающего термина . [b] Третье свойство затем соответствует порядку суммы, являющейся порядком большего члена, [c] если два члена не имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут отменить, и в этом случае сумма может иметь больший порядок .
Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел[d], и в этом случае ∞ можно интерпретировать как + ∞ в расширенных действительных числах ; Обратите внимание, чтодля любого действительного числа a , и, таким образом, + ∞ является единицей минимальной двоичной операции. Вещественные числа (расширенные на + ∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом , [e], а оценка v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу при сложении двух элементов с одинаковой оценкой.
Мультипликативная запись и абсолютные значения
Мы могли бы определить [1] ту же концепцию, записывая группу в мультипликативной записи как (Γ, ·, ≥) : вместо ∞ мы присоединяем к Γ формальный символ O , при этом порядок и групповой закон расширяются правилами
- O ≤ α для всех α ∈ Γ ,
- O · α = α · O = O для всех α ∈ Γ .
Тогда оценка K - это любое отображение
- | - | v : K → Γ ∪ { O }
удовлетворяющие следующим свойствам для всех a , b ∈ K :
- | а | v = O тогда и только тогда, когда a = 0 ,
- | ab | v = | a | v · | b | v ,
- | a + b | v ≤ max ( | a | v , | b | v ) , с равенством, если | a | v ≠ | b | v .
(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)
Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последним условием является ультраметрическое неравенство, более сильная форма неравенства треугольника | a + b | v ≤ | a | v + | b | v и | - | v - абсолютное значение . В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значенийвзяв v + ( a ) = −log | a | v .
Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный предпорядок : a ≼ b ⇔ | a | v ≤ | b | v . И наоборот, если '≼' удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку | a | v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b } с умножением и порядком, основанным на K и ≼.
Терминология
В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной нотации. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:
- наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовым абсолютным значением», или «ультраметрическим абсолютным значением»;
- наша «абсолютная ценность» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «абсолютной величиной Архимеда».
Связанные объекты
Есть несколько объектов, определенных на основе данной оценки v : K → Γ ∪ {∞} ;
- группа значение или группа нормирования Γ v = v ( K × ), подгруппа Г (хотя v обычно сюръективны так , что Γ v = Γ );
- кольцо нормирования R v представляет собой набор с ∈ K с V ( ) ≥ 0,
- идеал м v является множество в ∈ K с V ( )> 0 (это на самом деле максимальный идеал из R V ),
- остаток поля к v = R v / м v ,
- место из K , связанный с V , класс V под эквивалентности определено ниже.
Основные свойства
Эквивалентность оценок
Два нормирования v 1 и v 2 поля K с оценочной группой Γ 1 и Γ 2 соответственно называются эквивалентными, если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм φ : Γ 1 → Γ 2 такой, что v 2 ( a ) = φ ( v 1 ( a )) для всех a из K × . Это отношение эквивалентности .
Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо оценки.
Класс эквивалентности нормирований поля называется место . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел. именно эти классы эквивалентности оценок для р -адических пополнений из
Расширение оценок
Пусть v нормирование в К и пусть L быть расширение поля из K . Расширение V (к L ) является оценкой ж из L такой , что ограничение на вес до K является v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления нормирований .
Пусть L / K является конечным расширением и пусть ш быть продолжением V на L . Индекс группы Г V в Г ш , е ( ш / v ) = [Γ ш : Г V ], называется пониженный индекс ветвления из ш над V . Для него выполняется e ( w / v ) ≤ [ L : K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень по ш над V определяется как F ( ш / v ) = [ R ж / м ж : R об / мин v ] (степень расширения полей вычетов). Кроме того , меньше или равна степени L / K . Когда L / K является разъемные , то индекс ветвления из ш над v определяется как е ( ш / об ) р я , где р я это неотделимо степень удлиняющей R ш / м ш над R об / м против .
Заполните поля значений
При упорядоченные абелева группа Γ является аддитивной группой из целых чисел , ассоциированные оценки эквивалентно абсолютного значения, и , следовательно , индуцирует метрику на поле K . Если K является полным относительно этой метрики, то она называется полное нормированное поле . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.
В общем, нормирование индуцирует равномерную структуру на K , и K называется полным значным полем, если оно полно как равномерное пространство. Есть связанное с этим свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если но в целом сильнее.
Примеры
p-адическая оценка
Самый простой пример - p -адическая оценка v p, связанная с простым целым числом p , на рациональных числах с оценочным кольцом где это локализация в высшем идеале . Оценочная группа - это аддитивные целые числа Для целого числа оценка v p ( a ) измеряет делимость a на степени p :
а для дроби v p ( a / b ) = v p ( a ) - v p ( b ).
Запись этого мультипликативно дает p -адическое абсолютное значение , которое обычно имеет в качестве основы, так .
Завершение изотносительно v p - полеиз р-адических чисел .
Порядок исчезновения
Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F 1 , и возьмем точку a ∈ X. Для многочлена с участием , определим v a ( f ) = k, порядок обращения в нуль при x = a ; и v a ( f / g ) = v a ( f ) - v a ( g ). Тогда оценочное кольцо R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a , а пополнение - это кольцо формальных рядов Лорана F (( x - a )). Это можно обобщить на поле ряда Пюизо K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивиты (его пополнение Коши) и поле ряда Хана , при этом во всех случаях оценка возвращает наименьший показатель t. появляясь в сериале.
π -адическая оценка
Обобщая предыдущие примеры, пусть R является областью главных идеалов , K быть его поле частных , и п быть неприводимый элемент из R . Поскольку каждая область главных идеалов является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из R может быть записан (по существу) однозначно как
где e - неотрицательные целые числа, а p i - неприводимые элементы R , не ассоциированные с π . В частности, целое число e a однозначно определяется a .
Тогда π-адическое нормирование K определяется выражением
Если π '- другой неприводимый элемент R такой, что (π') = (π) (то есть они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая оценка и π'-адическая оценка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P -адическим нормированием, где P = (π).
P- адическая оценка в дедекиндовом домене
Предыдущий пример можно обобщить на дедекиндовские домены . Пусть R дедекиндово домен, K его поле частных, и пусть P быть ненулевой простой идеал R . Затем локализации из R в P , обозначается R Р , является областью главных идеалов поля, из фракций К . Конструкция предыдущего параграфа , приложенный к простому идеалу PR - P из R P дает P -адическому оценку K .
Геометрическое понятие контакта
Оценки могут быть определены для области функций в пространстве размерности больше единицы. Напомним, что оценка v a ( f ) наизмеряет кратность точки x = a в нулевом множестве f ; можно рассматривать это как порядок контакта (или число локальных пересечений ) графа y = f ( x ) с осью x y = 0 вблизи точки ( a , 0). Если вместо оси x зафиксировать другую неприводимую плоскую кривую h ( x , y ) = 0 и точку ( a , b ), можно аналогичным образом определить оценку v h натак что v h ( f ) - это порядок контакта (число пересечения) между фиксированной кривой и f ( x , y ) = 0 вблизи ( a , b ). Эта оценка естественным образом распространяется на рациональные функции.
Фактически, эта конструкция является частным случаем π-адического нормирования на PID, определенном выше. А именно рассмотрим местное кольцо , кольцо рациональных функций, определенных на некотором открытом подмножестве кривой h = 0. Это ПИД; на самом деле дискретное оценочное кольцо , единственными идеалами которого являются полномочия. Тогда оценка выше v ч является π-адическое нормирование , соответствующая неприводимому элемента я = ч ∈ R .
Пример: рассмотрим кривую определяется , а именно граф недалеко от происхождения . Эта кривая может быть параметризована в виде:
со специальной точкой (0,0), соответствующей t = 0. Теперь определимкак порядок формального степенного ряда по t, полученного ограничением любого ненулевого многочленакривой V h :
Это распространяется на область рациональных функций. от , вместе с .
Некоторые номера перекрестков:
Векторные пространства над полями оценки
Предположим, что Γ ∪ {0} - множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Затем мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценки) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).
Предположим , что Х представляет собой векторное пространство над К и что и B являются подмножествами X . Тогда мы говорим, что A поглощает B, если существует α ∈ K такое, что λ ∈ K и | λ | ≥ | α | следует , что B ⊆ А А . Называется радиальной или поглощающей , если поглощает каждое конечное подмножество X . Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Также A называется обведенным, если λ в K и | λ | ≥ | α | влечет λ A ⊆ A . Множество обведенных кружком подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Закругленная оболочка из А является пересечением всех кружек подмножеств X , содержащих А .
Предположим, что X и Y - векторные пространства над недискретным оценочным полем K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y , и пусть f: X → Y - линейное отображение. Если B обведен кружком или радиален, то так же. Если обведен то и F (A) , но если радиальная , то Р (А) будет радиальными при дополнительном условии , что е сюръективно.
Смотрите также
- Дискретная оценка
- Евклидова оценка
- Норма поля
Заметки
- ^ Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в Γ , без какого-либо другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .
- ^ С соглашением min здесь оценка скорее интерпретируется как отрицательная величина порядка ведущего члена порядка, но с соглашением max это может быть интерпретировано как порядок.
- ^ Опять же, поменял местами, так как использовал минимальное соглашение
- ^ Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел при сложении, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .
- ^ В тропическом полукольце минимум и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это операции полукольца.
Рекомендации
- ↑ Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , стр. 48
- Efrat, Идо (2006), оценка стоимости, упорядочивания и Милнором K -теория , Mathematical Surveys и монографиях, 124 , Providence, RI: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103,12002
- Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Основная алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company , ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694,16001. Шедевр по алгебре, написанный одним из ведущих авторов.
- Глава VI Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II , Тексты для выпускников по математике , 29 , Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, Zbl 0322.13001
- Schaefer, Helmuth H .; Вольф, депутат (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 3 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 10–11. ISBN 9780387987262.
Внешние ссылки
- Данилов В.И. (2001) [1994], «Оценка» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Дискретная оценка в PlanetMath .
- Оценка в PlanetMath .
- Вайсштейн, Эрик В. «Оценка» . MathWorld .